1、32 基本不等式与最大(小)教学目标（1）知识与技能目标了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能运用基本不等式解决一些简单问题。（2）过程与方法目标按照创设情境、提出问题 归纳猜想证明 应用体会 思维升华 交流感悟 应用提高的过程呈现。启用观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力。通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。（3）情感态度与价值观目标体验科学探索的曲折过程，感受数形结合的奇妙作用，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。学情分析在认知上，学生已经掌
2、握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，如何让学生再认识“基本”二字是本节学习的前提。事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。因此必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质。重点难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式。教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明及运用过程。4 教学过程导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a，b 是正数，
3、那么 (当且仅当 ab 时等号成立)在这个不等式中，为 a，b 的算术平均数，为 a，b 的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：半弦不大于半径本节课我们进一步探究基本不等式的应用由此展开新课思路 2.(直接导入)通过上节课(a0 ，b0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法本节课我们进一步熟悉利用基本不等式解决函数的最值问题的思路教师打开多媒体课件，从而展开新课推进新课 回忆上节课探究的基本不等式，怎样理解基本不等式的意义？基本不等式都有哪些方面的应用？在应用基本不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的基本不等式从代数、几何两个背景推导出基本不等式
4、(a0，b0)这个不等式有着广泛的应用对这个重要不等式，要明确它成立的条件是 a 与 b都为正实数，并且 a 与 b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如 a0 ，b0，仍然能使 成立基本不等式的主要作用是求某些函数的最值及解决一些实际问题在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等” 当条件不完全具备时，应创造条件一般说来， “见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值 ”本节课我们将进一步探究基本不等式的应用，例如：你可以把一段 16 cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为 4 cm
5、的正方形；长 5 cm 宽 3 cm 的矩形；长 6 cm 宽 2 cm 的矩形，你会发现边长为 4 cm 的那个正方形的面积最大这是因为：设矩形的长为 x cm，宽为 y cm，则 xy 8. 这时，由基本不等式，得，即 xy16，当且仅当 xy 4 时，等号成立由此可知，边长为 4 cm 的那个正方形的面积最大教师引导学生进一步探究，用类似上面的方法证明：在面积为 16 cm2 的所有不同形状的矩形中，边长为 4 cm 的那个正方形的周长最小这表明，x，y 都为正数时，下面的命题成立：(1)若 xys(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xyp(积为定值)，则当 x
6、y 时，和 xy 取得最小值 2.讨论结果：略例 1 设 x，y 为正实数，且 2x5y20，求 ulg xlg y 的最大值活动：因为 ulg(xy) ，所以问题成为：已知 x，y0,2x 5y 20，求 xy 的最大值教师引导学生思考本例条件是否符合基本不等式的要求，同时提醒学生注意解答步骤解：因为 xy，y0，所以由基本不等式，得.由于 2x5y20 ，所以 10，即 xy10. 当且仅当 2x5y 时，等号成立，因此有 解得 x5，y 2.当 x5，y2 时，xy 有最大值 10.这样 ulg xlg y lg(xy)lg 101.所以，当 x5 ，y 2 时，u lg xlg y 有
7、最大值 1.点评：利用本小节命题求最大值或最小值时，应注意：x，y 一定是正数；求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为定值；求和 xy 的最小值时，看积 xy 是否为定值；等号是否能够成立以上三条我们习惯上简称为“一正、二定、三相等”.变式训练设 0x2，求函数 f(x)的最大值，并求相应的 x 值试问 0x 时，原函数 f(x)有没有最大值？ 0x1 时，f(x) 有没有最大值？若有，请你求出；若没有，请你说明理由解：0x 2，83x0.f(x) 4，当且仅当 3x83x，即 x时取“” 函数 f(x)的最大值为 4，此时 x.又 f(x)，当 0x时，f(x)递增；当 x时，f(x)
8、 递减，当 0x时，原函数 f(x)没有最大值当 0x1 时，有最大值 f(1)，即 f(1).例 2 (1)已知 x，求函数 y4x2 的最大值；(2)已知 a，b 为实数，求函数 y(xa)2(xb)2 的最小值活动：(1)因为 4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以应对 4x2 进行拆(添)项“配凑” (2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于 x 的二次函数，再通过配方法求其最小值但若注意到(xa)(bx)为定值，则用变形不等式 更简捷解：(1)x，54x0.y 4x2 323 1.当且仅当 54x ，即 x1 时，上式等号成立当 x1 时，ymax1.(2)y(
9、x a)2(xb)2(xa)2(bx)222，当且仅当 xa bx，即 x时，上式等号成立，当 x时，ymin .点评：若 x，yR，xy s ，xyp.若 p 为定值，则当且仅当xy 时，s 的值最小；如果 s 为定值，则当且仅当 xy 时，p 的值最大简称“和定积最大，积定和最小” 从本例的解答中可以看出，求最值时往往需要拆(添) 项，其目的是创设应用基本不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.变式训练已知在ABC 中，ACB90，BC3 ，AC4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC，BC 的距离乘积的最大值是_活动：本例可建立适当的直角坐标系，借助直线方
10、程和基本不等式来解也可运用相似三角形，找出 P 到 AC，BC 的距离之间的关系，再利用基本不等式来解解析：以 CA，CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB 方程为1 ，设 P(a，b)，则1(a 0，b0)ab12122 3，当且仅当“a” 时等号成立答案：3例 3已知 a、b 、c 是正实数求证：ab c.分析 由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式证明 a、b、c 是正实数，22c(当且仅当，即 ab 时，取等号)；22a( 当且仅当，即 bc 时，取等号)；22b(当且仅当，即 ac 时，取等号)上面三个不等式相加得2222a 2b2
11、c(当且仅当 abc 时，取等号) ab c.方法总结 1. 使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立2对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘) 得结论例 4 若正数 a，b 满足 aba b3，则 ab 的取值范围是_活动：这是一道高考题，题目优美精干，内容丰富、典型性强，较全面地考查了基本不等式的应用及不等式的解法与运算能力通过思考 ab 与 ab 的关系联想到基本不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域由于视角的不同，有多种方法，现给出两种解法解析：方法一：令 t(t 0)，由 aba b 323 ，得t22t3，解得 t3，即3 ，
12、故 ab9.方法二：由已知得 abb a3，b(a1)a3，b (a 1)aba (a1)1a3 a14a1 525 9 ，当且仅当 a1时取等号，即 ab 3 时， ab 的最小值为 9.ab 的取值范围是9， )答案：9，)例 5 如右图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 分析 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则问题 (1)是在 4x6y36 的前提
13、下求 xy 的最大值；而问题(2)则是在 xy24 的前提下求 4x6y 的最小值因此，使用均值定理解决解析 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知： 4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.解法一：由于 2x3y2 2，218 ，得 xy，由，解得故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大解法二：由 2x3y 18，得 x9 y.x0，9y0 ，0y6，Sxyy(6y)y.0y6，6y0，S2.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为
14、 l，则 l4x 6y.解法一：2x3y 2224 ，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立由解得故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小解法二：由 xy24 得 x.l4x6y6y662 48.当且仅当y ，即 y4 时，等号成立，此时 x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长变式训练某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析 年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、汽油费以及
15、维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用解析 设使用 x 年平均费用最少由条件知：汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列因此，汽车使用 x 年总的维修费用为万元设汽车的年平均费用为 y 万元，则有y1123.当且仅当，即 x10 时，y 取最小值答：汽车使用 10 年平均费用最少课本本节练习 1 13.1由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2教师点拨，本节课我们用基本不等式解决了函数的一些最值问题，以及不等式的证明问题在用基本不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数
16、；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用基本不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等在利用基本不等式证明一些不等式时，也应注意基本不等式成立的条件及构建基本不等式的结构课本习题 33 A 组 4.设计感想1本教案设计意在体现基本不等式的应用，应用基本不等式求解函数的最值并注意了一题多解的训练2本教案设计关注了教学进程的和谐发展整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高3本教案设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的操作活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方实际上，一堂课上下来，如果让人只感觉到学生和知识的存在，感觉不到老师存在的话，那才是教学的最高境界
