1、18.圆 锥 曲 线 方 程 知 识 要 点一 、 椭 圆 方 程1. 椭 圆 方 程 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 与 两 个 定 点 F1， F2的 距 离 的 和 等 于 定 长 （ 定 长 通 常 等 于 2a， 且 2aF1F2）的 点 的 轨 迹 叫 椭 圆 。 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆212121 2121 2121 ,2 ,2 ,2 FFFFaPFPF FFaPFPF FFaPFPF （ 1） 椭 圆 的 标 准 方 程 ： i. 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x 轴 上 ： )0(12222 babyax .ii. 中 心 在 原 点
2、， 焦 点 在 y 轴 上 ： )0(12222 babxay .注 ： A.以 上 方 程 中 ,a b的 大 小 0a b ， 其 中 2 2 2b a c ；B.在 2 22 2 1x ya b 和 2 22 2 1y xa b 两 个 方 程 中 都 有 0a b 的 条 件 ， 要 分 清 焦 点 的 位 置 ， 只 要 看 2x 和2y 的 分 母 的 大 小 。 一 般 方 程 ： )0,0(122 BAByAx . 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 12222 byax 的 参 数 方 程 为 sincosby ax （ 一 象 限 应 是 属 于 20 ） . 椭 圆 的 性
3、质 顶 点 ： ),0)(0,( ba 或 )0,)(,0( ba . 轴 ： 对 称 轴 ： x 轴 ， y 轴 ； 长 轴 长 a2 ， 短 轴 长 b2 . 焦 点 ： )0,)(0,( cc 或 ),0)(,0( cc . 焦 距 ： 2221 ,2 baccFF . 准 线 ： cax 2 或 cay 2 . 离 心 率 ： )10( eace .【 0a c ， 0 1e ， 且 e越 接 近 1， c就 越 接 近 a， 从 而 b 就越 小 ， 对 应 的 椭 圆 越 扁 ； 反 之 ， e越 接 近 于 0 ， c就 越 接 近 于 0 ， 从 而 b 越 接 近 于 a，
4、这 时 椭 圆 越 接近 于 圆 。 当 且 仅 当 a b 时 ， 0c ， 两 焦 点 重 合 ， 图 形 变 为 圆 ， 方 程 为 2 2 2x y a 。 】 焦 （ 点 ） 半 径 ：i. 设 ),( 00 yxP 为 椭 圆 )0(12222 babyax 上 的 一 点 ， 21,FF 为 左 、 右 焦 点 ， 则ii.设 ),( 00 yxP 为 椭 圆 )0(12222 baaybx 上 的 一 点 ， 21,FF 为 上 、 下 焦 点 ， 则 0201 , exaPFexaPF 0201 , eyaPFeyaPF2由 椭 圆 第 二 定 义 可 知 ： )0()(),
5、0()( 0002200201 xaexxcaepFxexacaxepF 归 结 起 来 为 “左 加 右 减 ”.注 意 ： 椭 圆 参 数 方 程 的 推 导 ： 得 )sin,cos( baN 方 程 的 轨 迹 为 椭 圆 . 通 径 ： 垂 直 于 x 轴 且 过 焦 点 的 弦 叫 做 通 径 .坐 标 ： ),(2 222 abcabd 和 ),( 2abc 焦 点 三 角 形 的 面 积 ： 若 P 是 椭 圆 ： 12222 byax 上 的 点 . 21,FF 为 焦 点 ， 若 21PFF ， 则 21FPF的 面 积 为 2tan2 b （ 用 余 弦 定 理 与 aP
6、FPF 221 可 得 ） 。 若 是 双 曲 线 ， 则 面 积 为 2cot2 b 。（ 3） 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆 )0(12222 babyax 的 离 心 率 是 )( 22 bacace ， 方 程ttbyax (2222 是 大 于 0 的 参 数 ， )0 ba 的 离 心 率 也 是 ace 我 们 称 此 方 程 为 共 离 心 率 的 椭 圆 系 方 程 .2.椭 圆 的 第 二 定 义 ： 平 面 内 到 定 点 F 的 距 离 和 它 到 一 条 定 直 线 L（ F 不 在 L 上 ） 的 距 离 的 比 为 常 数 e（ 0 1e
7、 ） 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 。 其 中 定 点 F 为 椭 圆 的 焦 点 ， 定 直 线 L 为 椭 圆 焦 点 F 相 应 的 准 线 。二 、 双 曲 线 方 程1. 双 曲 线 的 第 一 定 义 :平 面 内 到 到 两 个 定 点 F1， F2的 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ 定 长 通 常 等 于 2a， 且 2a1） 的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 。 其 中 定 点 F 为 双 曲 线 的 焦 点 ， 定 直 线 L 为 双 曲 线 焦 点 F 相 应 的 准 线 。 y xMMF1F2 y xM MF1 F24三 、 抛 物 线 方 程（ 1
8、） 抛 物 线 的 概 念平 面 内 与 一 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l 的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 叫 做 抛 物 线 (定 点 F 不 在 定 直 线 l 上 )。定 点 F 叫 做 抛 物 线 的 焦 点 ， 定 直 线 l 叫 做 抛 物 线 的 准 线 。方 程 022 ppxy 叫 做 抛 物 线 的 标 准 方 程 。注 意 ： 它 表 示 的 抛 物 线 的 焦 点 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ， 焦 点 坐 标 是 F（ 2p ,0） ， 它 的 准 线 方 程 是 2px ；（ 2） 抛 物 线 的 性 质设 0p ， 抛 物 线 的 标 准 方
9、 程 、 类 型 及 其 几 何 性 质 ：pxy 22 pxy 22 pyx 22 pyx 22 图 形 y xO y xO y xO y xO焦 点 )0,2( pF )0,2( pF )2,0( pF )2,0( pF 准 线 方 程 2px 2px 2py 2py 范 围 Ryx ,0 Ryx ,0 0, yRx 0, yRx对 称 轴 x轴 y 轴顶 点 （ 0， 0）离 心 率 1e焦 半 径 12 xpPF 12 xpPF 12 ypPF 12 ypPF 通 径 2p 2p 2p 2p焦 点 弦 x1+x2+p x1+x2+p y1+y2+p y1+y2+p注 ： 通 径 （ 过
10、 焦 点 且 垂 直 于 坐 标 轴 的 线 段 ） 为 2p， 这 是 过 焦 点 的 所 有 弦 中 最 短 的 . pxy 22 （ 或 pyx 22 ） 的 参 数 方 程 为 pty ptx 22 2 （ 或 222 pty ptx ） （ t 为 参 数 ） .5四 、 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义1. 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ： 平 面 内 到 定 点 F 和 定 直 线 l 的 距 离 之 比 为 常 数 e的 点 的 轨 迹 .当 10 e 时 ， 轨 迹 为 椭 圆 ； 当 1e 时 ， 轨 迹 为 抛 物 线 ； 当 1e 时 ， 轨 迹 为 双 曲 线
11、 ； 当 0e 时 ， 轨 迹为 圆 （ ace ， 当 bac ,0 时 ） .【 弦 长 公 式 4)(1(1 212212212 xxxxkxxkAB 】2.椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质椭 圆 双 曲 线 抛 物 线定 义 1 到 两 定 点 F1,F2的 距 离 之和 为 定 值 2a(2a|F1F2|)的点 的 轨 迹2 与 定 点 和 直 线 的 距 离 之比 为 定 值 e 的 点 的 轨 迹 .（ 01） 与 定 点 和 直 线 的 距 离 相 等 的点 的 轨 迹 .轨 迹 条 件 点 集 ： (M MF1+ MF2=2a,
12、F 1F2 2a. 点 集 ： M MF1 - MF2 .= 2a, F2F2 2a. 点 集 M MF =点 M 到 直线 l 的 距 离 .图 形方程 标 准方 程 12222 byax ( ba 0) 12222 byax (a0,b0) pxy 22 参 数方 程 为 离 心 角 ）参 数 ( sincos by ax 为 离 心 角 ）参 数 ( tansec by ax pty ptx 22 2 (t为 参 数 )范 围 axa， byb |x| a， yR x06中 心 原 点 O（ 0， 0） 原 点 O（ 0， 0）顶 点 (a,0), ( a,0),(0,b) , (0,
13、b) (a,0), ( a,0) (0,0)对 称 轴 x 轴 ， y轴 ；长 轴 长 2a,短 轴 长 2b x轴 ， y 轴 ;实 轴 长 2a, 虚 轴 长 2b. x轴焦 点 F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2( pF准 线 x= ca2准 线 垂 直 于 长 轴 ， 且 在 椭 圆外 . x= ca2准 线 垂 直 于 实 轴 ， 且 在 两 顶 点 的内 侧 . x=- 2p准 线 与 焦 点 位 于 顶 点 两 侧 ，且 到 顶 点 的 距 离 相 等 .焦 距 2c （ c= 22 ba ） 2c （ c= 22 ba ）离 心 率
14、 )10( eace )1( eace e=1【 备 注 1】 双 曲 线 ：（ 1） 等 轴 双 曲 线 ： 双 曲 线 222 ayx 称 为 等 轴 双 曲 线 ， 其 渐 近 线 方 程 为 xy ， 离 心 率 2e .（ 2） 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 ： )0(2222 byax 的 渐 近 线 方 程 为 02222 byax 如 果 双 曲 线 的 渐 近 线为 0 byax 时 ， 它 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 )0(2222 byax .【 备 注 2】 抛 物 线 ：（ 1） 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 2y =2px(p0)，
15、则 抛 物 线 的 焦 点 到 其 顶 点 的 距 离 为 2p ， 顶 点 到 准 线 的 距离 2p ， 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 p.（ 2） 已 知 过 抛 物 线 2y =2px(p0)焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 A、 B 两 点 ， 则 线 段 AB 称 为 焦 点 弦 ， 设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 弦 长 AB = 21 xx +p或 2sin2pAB ( 为 直 线 AB 的 倾 斜 角 )， 221 pyy ，2,4 1221 pxAFpxx ( AF 叫 做 焦 半 径 ). 弦 长 公 式 ： | | ( ) ( )AB x x y y 1 2 2 1 2 2 1 42 1 2 2 1 2k x x x x( ) 1 2 1 2k x x| |
