1、直线与方程1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴 相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围： 0180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.:3、直线的斜率:一条直线的倾斜角 ( 90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在, 但是
2、 斜率 k 不一定存在.4、 直线 的斜率公式 :给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两 点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率 相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前 提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直
3、线的 点斜式方 程：直线 经过点 ，且斜率为 l),(0yxPk)(00xky2、 、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 lky),(bbkxy3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点 其中 ),(),(221yxP),(2121yxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 Blx)0,(ay，其中),0(b0,ba3.2.3 直线的 一般式方程1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A ，B 不yx, 0Cyx同时为 0）来2、各种直线方程之间的互化。2212 1Pxy3.3 直线
4、的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ： 3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-3420xy2，y=2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2 ，2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直 线的距离公式1点到直线距离公式：点 到直线 的距离为：),(0yxP0:CByAxl 20BACyxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l01CByAx： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 21Cd直线与方程公式整理（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与
5、直线向上方 向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线， 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。tank当 时， ； 当 时， ； 当 时，90,180,9k90不存在。k过两点的直线的斜率公式： )(212xxyk注意下面四点：(1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角21x为 90；(2)k 与 P1、 P2 的顺序无关； (3)以后求斜率 可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4
6、)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率 k，且过点)(11xky1,yx注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线 的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程 是 x=x1。斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 bbkxy两点式： （ ）直线两点 ，1122yx212,xy1,x2,y截矩式： ab其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别lx(0)ay(0)blxy为 。,ab一般式： （ A， B 不全为 0）0
7、CByAx注意： 各式的适用范围 特殊的方程如：1 2平行于 x 轴的直线： （ b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线： （ a 为y x常数） ； （4）直线系方程：即具有 某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 （ 是不全为 0 的常数）的直线系：00CyBxA0,BA（ C 为常数）0yBxA（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系： ，直线过定点 ；00xky0,yx（）过两条直线 ， 的交点的直线:11CBxAl :22CBAl系方程为（ 为参数） ，其中直线 不在直线系中。02211 yxCyBxA2l（5）两直线平行与垂直当 ， 时，11:bxkyl22:bxky
8、l；212121,/l1221l注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6 ）两条直线的交点相交0:11CyBxAl 0:22CyBxAl交点坐标 即方程组 的一组解。2211方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合21/l1l2（7）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，12(,),AxyB， （ ）则 2211|()()ABx（8）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离0,yxP0:1CByAxl20BACyxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化 为点到直线的距离进行求解。例 1、在 ABC 中，已知 A(5，2)、 B(7,3)，且 AC
9、 边的中点 M 在 y 轴上，BC 边的中点 N 在 x 轴上，求：(1)顶点 C 的坐标；(2)直线 MN 的方程解：(1)设点 C 的坐标为( x， y)，则有 0， 0，x 523 y2x5， y3. 即点 C 的坐标为(5，3)(2)由题意知， M(0， )， N(1,0)， 直线 MN 的方程为 x 1 ，52y52即 5x2 y 50.例 2、已知两点 A(1,2)， B(m,3)(1)求直线 AB 的方程；(2)已知实数 m 1， 1，求直线 AB 的倾斜角 的取值范33 3围解：(1)当 m1 时，直线 AB 的方程为 x1，当 m1 时，直线 AB 的方程为 y2 (x1)1
10、m 1(2)当 m1 时， ；2当 m1 时， m1 ，0)(0， ，33 3k (， ，) ，1m 1 333 ， )( ， 62223综合知，直线 AB 的倾斜角 的取值范围为 ， 623例 3、为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪 (如图所 示)，另外， AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量 AB100 m， BC80 m， AE30 m， AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如图所示直角坐标系，则 E(30,0)， F(0,20)，于是，线段 EF 的方程是 1(0 x30)，x30y20在线段 EF 上取点 P(m， n)，作 PQ BC 于点 Q， PR CD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S，则：S| PQ|PR|(100 m)(80 n)，因为 1 ，所以 n20(1 )，m30n20m30所以 S(100 m)(8020 m)23 (m5) 2 (0m30)，2318 0503于是，当 m5 时， S 有最大值，这时 .|EP|PF|51答：当草坪矩形的两边在 BC， CD 上，一个顶点在线段 EF 上，且这个顶点分EF 成 51 时，草坪面积最大
