1、 专业整理 WORD 格式 高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：找 ：直线向上方向、x 轴正方向；平行：=0；范围：0180 。2、斜率：找 k ：k=tan （90） ；垂直：斜率 k 不存在；范围： 斜率 k R 。3、斜率与坐标： 121tanxyxy构造直角三角形（数形结合） ；斜率 k 值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系： 2211:,: bxkylbxkyl 相交：斜率 （前提是斜率都存在）2特例-垂直时： ；0211 kkxl不 存 在 ， 则轴 ， 即斜率都存在时： 。平行： 斜率都存在时： ；21,bk斜率都不存在时：两直线都与
2、x 轴垂直。重合： 斜率都存在时： ；21,二、方程与公式：1、直线的五个方程：点斜式： 将已知点 直接带入即可；)(00xkykyx与 斜 率),(0斜截式： 将已知截距 直接带入即可；bb与 斜 率两点式： 将已知两点 直),(21211212 yxxy其 中， ),(,21yx接带入即可；截距式： 将已知截距坐标 直接带入即可；bax ),0(ba一般式： ，其中 A、B 不同时为 00CByA用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可专业整理 WORD 格式 3、距离公式：两点间距离： 212121 )()(yxP点到直线距离：
3、20BACd平行直线间距离： 214、中点、三分点坐标公式：已知两点 ),(),(21yxAB 中点 ： ),(0yx2(1yxAB 三分点 ： 靠近 A 的三分点坐标,21ts)3,211靠近 B 的三分点坐标(2yx中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P（x 0，y 0）,对称后的点坐标为 P（x，y） ，则pp的斜率与已知直线的斜率垂直，且 pp的中点坐标在已知直线上。3、解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）：建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；依据代
4、数关系（点在直线或曲线上） ，进行有关代数运算，并得出相关结果；将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明” 。2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”： 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边” ； 的最值：函数思想 “转换成一元二次函数，找对称轴 ”。2PBA3、直线必过点： 含有一个参数-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必过点(-2,3)含有两个参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解
5、= 必过点(-1/7,3/7)4、易错辨析： 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。 ）yxo专业整理 WORD 格式 直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。圆的方程1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2. 圆的方程表示方法：第一种：圆的一般方程 02FEyDxyx 其中圆心 2,EDC，半径 24FEDr.当 02时
6、，方程表示一个圆，当 时，方程表示一个点 2,ED.当 42FE时，方程无图形 .第二种：圆的标准方程 2)()(rbyax.其中点 ),(baC为圆心， r为半径的圆第三种：圆的参数方程圆的参数方程： sincoryx（ 为参数）注：圆的直径方程：已知 0)()(),(),( 212121 yxByA3. 点和圆的位置关系：给定点 ,0M及圆 :rbyaxC. M在圆 C内 220)()(rbyax 在圆 上 0（ 在圆 外 220)()(rbyax4. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C： )0()()(22r； 直线 l： )0(2BACyAx；圆心 ),(ba到直线 l的距离 2BACba
7、d. rd时， l与 C相切； 时， 与 相交；， 时， l与 相离. 5、圆的切线方程：一般方程若点( x0 ,y0)在圆上，则( x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆 2ryx上一点 P的切线方程为 2r.(注:该点在圆上，则切线方程专业整理 WORD 格式 只有一条)若点( x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则 1)(2001Rxakyb，联立求出 k切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ）6.圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C 1:x2+y2+D1x+E1y+
8、F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x 2+y2+D2x+E2y+F2）=0过两圆的交点的直线方程：x 2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7.与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*R 2-d2 其中 R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离AB=（1+k 2）*X 1-X2 其中 k 是直线的斜率，X 1与 X2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8.圆的一些最值问题圆上的点到直
9、线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设 P（x，y）是在某个圆上的动点，则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为：设 T=x+y 或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。9.圆的对称问题已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其
10、如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义： 第二定义：1212()PFaF (01)PFceda专业整理 WORD 格式 2、标准方程： 或 ；21(0)xyab21(0)yxab3、参数方程 （ 为参数） 几何意义：离心角cosiny4、几何性质：（只给出焦点在 x 轴上的的椭圆的几何性质）、顶点 (,0)ab、焦点 c、离心率 (1)ea准线： （课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）2xc5、焦点三角形面积： （设 ）(推导过程必须会)12tanPFSbA 12FP6、
11、椭圆面积： （了解即可）椭7、直线与椭圆位置关系：相离（ ） ；相交（ ） ；相切（ ）000判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（ ）已知时， 切线0xy21()xyab021xyab切线2()022）切线斜率 k 已知时， 切线21()xyab2ykxab切线2(0)29、焦半径：椭圆上点到焦点的距离（左加右减）21(0)xyab0raex（下加上减）2()0y双曲线专业整理 WORD 格式 1、定义： 第二定义：12PFa(1)PFceda2、标准方程： （焦点在 x 轴）2(0,)xyb（焦点在 y 轴）21(,)a参数方程： （ 为参数）
12、 用法：可设曲线上任一点 Psectnxyb(sec,tan)b3、几何性质 顶点 (,0) 焦点 c22ab 离心率 e1 准线2axc 渐近线 或21(0,)ybbyxa20y或2(,)xa24、特殊双曲线、等轴双曲线 渐近线21xya2eyx、双曲线 的共轭双曲线2b21xab性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系 相离（ ） ； 相切（ ） ； 相交（ ）000判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式 专业整理 WORD 格式 点 P 在右支上 （左加右减）21(0
13、,)xyab0rexa点 P 在左支上 （左加右减）0()点 P 在上支上 （下加上减）21(0,)yxab0reya点 P 在上支上 （下加上减）0()7、双曲线切线的求法 切点 P 已知 切线0(,)xy21(,)xyab021xyab切线2(0,)02 切线斜率 K 已知 21xyab2()bykxaka2 2()8、焦点三角形面积： （ 为 ）12cotPFSbA 12FP抛物线1、定义：平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质：P 几何意义：焦准距 焦点到准线的距离设为 P标准方程： 2(0)ypx2(0)ypx图 像： 范 围： 0x0x对 称 轴： x 轴
14、 x 轴顶 点： （0，0） （0，0）焦 点： （ ） （ ）,2p ,2p离 心 率： 1e1e准 线： xx标准方程： 2(0)py2(0)py专业整理 WORD 格式 图 像： 范 围： 0y0y对 称 轴： y 轴 y 轴定 点： （0，0） （0，0）焦 点： （0， ） 2p(,)2p离 心 率： 1e1e准 线： yy3、参数方程 （t 为参数方程）2xp2(0)ypx4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长 抛物线通径长 2P2ba5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点） 2）相切（有一个交点） ；3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法1）切点
15、 P 已知： 的切线；0(,)xy2(0)px00()ypx2）切线斜率 K 已知： :2k2()yxyx220:pkp22():xyx此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用附加：弦长公式： 与曲线交与两点 A、B 则ykb22112dABxyk解题指导：轨迹问题：(一)求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点 p（x，y）专业整理 WORD 格式 2、立式：写出适条件的 p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式 f（x，y）=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上（二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求
16、出轨迹2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。弦长问题：|AB|= 。4)(k121212xx弦的中点问题：中点坐标公式-注意应用判别式。.求曲线的方程1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例 1 （1994 年全国）已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶
17、点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y 2=2px(p0).设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（ ） ，B /（ ） 。因为 A/、B /均在抛物线上，代入，消去12,2k1)(8,622kp，得：k 2-k-1=0.解得：k= ,p= .5所以直线 L 的方程为：y= x,抛物线 C 的方程为 y2= x.21542曲线的形状未知-求轨迹方程例 3 （1
18、994 年全国）已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x 2+y2=1, MNQO专业整理 WORD 格式 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 （ 0）,求动点 M 的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设 MN 切圆 C 于点 N，则动点 M 组成的集合是：P=M|MN|= |MQ|，由平面几何知识可知：|MN| 2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将 M 点坐标代入，可得：( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.当 =1 时它表示一条直线；当 1 时，它表示圆。这种方法叫做直接法。.研究圆锥曲线有关的问题1有关最值问题例 6 (1990
19、 年全国)设椭圆中心为坐标原点，长轴在 x 上，离心率，已知点 P（0， ）到这个椭圆上的点的最远距离是23，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 的点的坐标。7 7分析：最值问题，函数思想。关键是将点 P 到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为 ，则由 e= 得：a 2=4b2，所以 x2=4b2-4y2.12byax3设 Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:|PQ|= = (-b y b).22)3(yx 493)23(4222 byy 若 b 与 b0)，过 M（a,0）且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p
20、。O A xBC专业整理 WORD 格式 （1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1） ，可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a 的范围，即：“求范围，找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围；对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想” 。解：(1)直线 L 的方程为：y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得：设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A（x 1,y1）,B(x 2,y2)，则 ,又 y1=x1-a,y2=x2-21)(04)(axpa,2)(80,)2(8,|0 )2(842| 1111 papapAB apyx 解得: .42(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q，令其坐标为（x 3,y3） ，则由中点坐标公式得：,pax213 .2)()(2113 paxy所以|QM| 2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|= ，所以 SNAB = ,即P 22|2|1 pABpQNABNAB 面积的最大值为 2。
