1、高等代数课件,陇南师范高等专科学校数学系2008年制作,第六章 线性方程组,6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化,6.1 消元解法,一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题,一. 线性方程组的初等变换,例1.用消元法解线性方程组:,线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换:1) 交换两个方程的位置2) 用一个非零数乘某一个方程3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程,定理6.1.1 初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.,二. 矩阵及
2、其初等变换,1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表,叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素.,2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的下列变换之一:1) 交换矩阵的两行(列);2) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列), 即用一个非零数乘矩阵的某一行(列)的每一元素;3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列), 即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上.,定理4.1.2 设A是一个m行n列的,和第一种列初等变换可以把A化为以下形式:,r行,矩阵:,用行初等变换,可进一步化为:,三. 矩阵与线性方程组的解,1.
3、线性方程组的系数矩阵与增广矩阵,称矩阵,和,分别为方程组,的系数矩阵和增广矩阵.,2.线性方程组的解,由定理4.2.1知, 对方程组,的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩阵化为如下形式:,而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组,的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有以下两种情形:情形1. 当 rm, 且dr+1, dr+2, , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解.情形2. 当r=m或
4、rm而dr+1, dr+2, , dm全为零时, 方程组(3)与,同解. 当r=n时, 方程组(4)有唯一解当rn时, 方程组(4)可以写为:,此时, 给未知量,任意指定取值, 它们连同它们代入(5),后所决定的,将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这,时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.,四. 线性方程组有解的条件,考虑线性方程组:,分别用A和 表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2, n以及表示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2, xn使 x11+ x22+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(
5、的维数)相同. 即秩A=秩 . 反之, 如果A=秩 ,则1, 2, n的一个极大无关组也是1, 2, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2, n线性表示. 这说明线性方程组有解. 我们又一次得到: 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.,线性方程组有解的判别法,定理4.2.2 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.定理4.2.2 如果一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r, 那么当r与这个方程组的未知量个数n相等时, 这个方程组有唯一解, 当rn时, 方程组有无穷多解.,例2.解方程组,例2.解方程组,四. 例题,6.3 齐次 线性方程组解
6、的结构,一. 线性方程组的公式解,定理4.3.1 设线性方程组,有解, 它的系数矩阵和增广矩阵的秩都是r0. 那么可以在这个方程组的m个方程中选出r个方程, 使得剩下的 mr 个方程中的每一个都是这r个方程的结果, 因而解方程组 (1)可以归结为解由这r个方程构成的方程组.,说明: 1) 如果方程组(1)的系数矩阵的秩是r, 则它有一个r阶子式D0, 设D的元素分别来自系数矩阵的第i1, i2, , ir行, 则方程组(1)中的第 i1, i2, , ir 个方程就是定理中要找的r个方程.2) 当r=n时, 线性方程组(1)的公式解由克莱姆法则给出3) 当rn时, 不妨设由定理4.3.1找出的
7、r个方程就是方程组(1)的前r个方程, 并进一步把这r方程写为,把方程组(2)中等号右边的项看作常数项, 利用克莱姆法则就可以得出方程组(1)的求解公式.,二. 齐次线性方程组的解,定义 称常数项都等于零的线性方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组的一般形式为:,让所有未知数都等于零, 就得到齐次线性方程组(3)的一个解, 称此解为零解. 如果(3)还有其它解, 则称这些解为(3)的非零解. 齐次线性方程组永远有解, 它至少有一个零解. 因此对于齐次线性方程组, 我们关心的是它有没有非零解. 下面的几个结论给出了齐次线性方程组有非零解的条件.,齐次线性方程组有非零解的条件定理4.3.2 一个
8、齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数.推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数行列式等于零.推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中, 方程的个数小于未知量的个数, 则这个方程组一定有非零解.,三. 齐次线性方程组的解的结构,设一个齐次线性方程组的系数矩阵是A, 我们可以把它写为:的形式. 齐次线性方程组的每个解都可看做中Fn的一个向量, 叫做方程组的解向量. 设 是它的两个解, a, b是F中的任意两个数, 则:又因为齐次线性方程组至少有一个零解. 所以n元齐次线性方程组的解向量构成Fn的一个子空间, 叫做该
9、方程组的解空间.,方程组(1),现在设A的秩是r, 那么经过初等行变换和必要的列交换, 可把A化为: 的形式. 原方程组就转化为 的形式. 其中y1, y2 , yn是未知量 x1, x2 , xn的一个重新排列(因做必要的列交换引起). 此方程组的nr个自由未知量是yr+1, yn. 依次让它们取值(1,0,0), (0,1,0,0), ,(0,0,1), 则得它的nr个解向量:显然, 这nr个解向量是线性无关的.,方程组(2),设(k1, k2, kn) 是方程组(2)的任一解, 则它满足方程(2), 即:,由此得:,这说明, 方程组(2)的任一解向量都可以用r+1, r+2, n线性表示
10、, 因此r+1, r+2, n告成方程组(2)的解空间的一个基. 适当交换i中坐标的顺序就得的方程组(1)的解空间的一个基.,由上面的讨论可得:定理5.7.3 数域F中一个n元齐次线性方程组的所有解构成Fn的一个子空间, 称之为该方程组的解空间. 如果方程组的系数矩阵的秩是r, 那么解空间的维数是nr.齐次线性方程组的解空间的一个基叫做它的一个基础解系.例 1 求齐次线性方程组的一个基础解系.,6.4 一般非齐次线性方程组的解的结构,把非齐次线性方程组(3)的常数项换为零后得到的齐次线性方程组(4)称为方程组(3)的导出齐次方程组.定理5.7.3 如果方程组(3)有解, 那么方程组(3)的一个解与其导出齐次方程组(4)的任一解的和还是方程组(3)的解. 反之, 方程组(3)的任一解都可写成它的一个固定解与它的导出齐次方程组(4)的某个解的和.,方程组(4),方程组(3),
