1、4 n 级行列式的性质,8 Laplace定理行列式乘法法则,3 n 级行列式,2 排列,1 引言,5 行列式的计算,7 Cramer法则,6 行列式按行(列)展开,第二章 行列式,一、排列,二、逆序 逆序数,2.2 排列,三、奇排列 偶排列,四、对换,一、排列,定义,称为一个 级排列,由1，2，n 组成的一个有序数组,123，132，213，231，312，321,如，所有的3级排列是,共6=3！个.,( 阶乘),注：,所有不同 级排列的总数是,二、逆序 逆序数,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,定义,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数,
2、在一个排列中，如果一对数的前后位置,与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，,则称这对数为一个逆序；, 排列 123 称为标准排列，其逆序数为,注：, 排列 的逆序数常记为, 后面比 小的数的个数,后面比 小的数的个数.,后面比 小的数的个数,或 前面比 大的数的个数,前面比 大的数的个数,前面比 大的数的个数,方法一,方法二,例1排列 31542 中，逆序有,31，,32，,54，,52，,42,的逆序数.,例2求 级排列,解：,方法一,逆序数为奇数的排列称为奇排列；,逆序数为偶数的排列称为偶排列,三 、奇排列、偶排列,定义,标准排列 123 为偶排列,注：,练习：求下列排列的逆序数并讨论其
3、奇偶性,（1）,（2）,答案:,（2）,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,当 为偶数时为偶排列，,当 为奇数时为奇排列.,方法一,方法二,四 、对换,定义,把一个排列中某两个数的位置互换，而,其余的数不动，得到另一个排列，这一变换,称为一个对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,证明,1) 特殊情形：作相邻对换,除 外，其它元素所成逆序不改变.,对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，,奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列,定理1,设排列为,当 时，,经对换后 所成逆序不变 ， 的逆序减少1个.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,2) 一般情形,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.,设在全部 阶排列中，有 个奇排列， 个 偶排列，下证,将 个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，,同理，将 个偶排列的前两个数对换，则这 个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，,推论,证明,故,一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个,任意一个排列与标准排列 都可经过,排列的奇偶性相同,定理2,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,因此知结论成立.,证明,而标准排列是偶排列（逆序数为0）,思考题,如果排列 的逆序数为 k ，则排列,的逆序数是多少？,
