高等代数习题.doc

1、1高等代数习题第一章 基本概念 1.1 集合 1、设 Z 是一切整数的集合，X 是一切不等于零的有理数的集合Z 是不是 X 的子集？2、设 a 是集 A 的一个元素。记号a表示什么？ a A 是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设 A 是含有 n 个元素的集合A 中含有 k 个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正 (i) (ii) (iii) (iv) 27证明下列等式： (i) (ii) (iii) 1.2 映射 1、设 A 是前 100 个正整数所成的集合找一个 A 到自身的映射，但不是满射 2、找

2、一个全体实数集到全体正实数集的双射 3、 是不是全体实数集到自身的映射？ 4设 f 定义如下： f 是不是 R 到 R 的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令 A=1,2,3.写出 A 到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设 a ,b 是任意两个实数且 ab.试找出一个0,1到a ,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合 A 到自身的两个映射 f 和 g 来说，f g 与 g f 一般不相等。 8、设 A 是全体正实数所成的集合。令 (i)g 是不是 A 到 A 的双射？ 3(ii)g 是不是 f 的逆映射？ (iii)如果 g 有逆映射，g 的逆映射是什么？ 9、设 是映射，又

3、令 ，证明 (i)如果 是单射，那么 也是单射； (ii)如果 是满射，那么 也是满射； (iii)如果 都是双射，那么 也是双射，并且 10判断下列规则是不是所给的集合 A 的代数运算: 集 合 A 规 则 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 ba|),(1.3 数学归纳法 1、证明: 2、设 是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理:4这里 ， 是 个元素中取 个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于 。1.4 整数的一些整除性质 1、对于下列的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数 : ; ; ;

4、 . 2、设 是整数且不全为 0,而 , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要 . 3、设 是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数 叫做 与 的最小公倍数: ; 如果 且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 令 是 与 的最小公倍数而 ,则 . 4、设 是一个大于 1 的整数且具有以下性质 :对于任意整数 ,如果 ,则或 .证明, 是一个素数(定理 1.4.5 的逆命题). 5、设 是两两不相同的素数,而 . 5证明 ; 利用 证明,素数有无限多个 1.5 数环和数域 1证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数 2证明, 是数域 3证明, 是一个数环, 是不

5、是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5设 是一整数,令 由例 1, 是一个数环. 设 ,记 证明: 是一个数环 ,这里 是 与 的最大公因数 第二章 多项式 62.1 一元多项式的定义和运算 1设 和 是实数域上的多项式证明：若是 (6) ，那么 2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和 3证明： 2.2 多项式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2证明： 必要且只要 3令 都是数域 F 上的多项式，其中 且证明： 4实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5设 F 是一个数域， 证明： 整除

6、 76考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数证明： 7证明： 整除 必要且只要 整除 2.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (ii) 2. 设 证明：若 且 和不全为零，则 反之，若 则 是 与 的一个最大公因式 3. 令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且 证明： 4 证明： （i） 是 和 的最大公因式； （ii） 此处 等都是 的多项式。 85 设 都是有理数域 Q 上的多项式。求 使得 6 设 令 是任意正整数，证明： 由此进一步证明，对于任意正整数 ，都有 7 设 证明： 8 证明：对于任意正整数 都有 9 证明：若是 与 互素，并

7、且 与 的次数都大于 0，那么定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数， 的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的。 10 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的。11 证明：如果 那么对于任意正整数 ， 12 设 是数域 F 上的多项式。 与 的最小公倍式指的是 Fx中满足以下条件的一个多项式 ：且 ； 如果 Fx且 ，那么 证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。 9设 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 表示 和 的最高次项系数是 1 的那个最小公倍式。证明 13 设 并且 证明： 14 设 证明： 互素的充要条件是存在多项式

8、使得 15 设 令 比照定理 1.4.2，证明： 有最大公因式提示：如果 不全为零，取 是 I 中次数最低的一个多项式，则 就是 的一个最大公因式 2.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积： 2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积. 3. 证明： 当且仅当 104. 求 在 内的典型分解式； 求 在 内的典型分解式 5.证明：数域 F 上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正整数 使得 6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意 只要 就有 或 那么 不可约. 2.

9、5 重因式 1. 证明下列关于多项式的导数的公式： 2. 设 是 的导数 的 重因式 .证明： 未必是 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式 11没有重因式. 4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ 5. 证明：数域 F 上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的 是 F 中的数 。2.6 多项式函数 多项式的根 1设 ,求 . 2数环 R 的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判断 5 是不是多项式 的根.如果是的话,是几重根? 3设 求提示:应用综合除法 4将下列多项式 表成 的多项

10、式. ; . 125求一个次数小于 4 的多项式 ,使 6求一个 2 次多项式,使它在 处与函数 有相同的值. 7令 是两个多项式 ,并且 可以被 整除. 证明 8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明: 在 J 中存在唯一的最高次项系数是 1 的多项式 ,使得 中每一多项式都可以写成 的形式,这里 .在 中不可约. 如果 ,求上述的 提示 :取 是 J 中次数最低的、最高次项系数是 1 的多项式. 9设 中多项式 且 , 是一个大于 1 的整数. 证明: 的根只能是零或单位根. 提示:如果 是 的根 ,那么 都是 的根. 2.7 复数和实数域上多项式 1设 次多项式 的根是

11、.求 以 为根的多项 式,这里 是一个数。 13（ii）以 , , (假定 都不等于零)为根的多项式.12n2设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是 g ,那么 ; 若是 是 和 的一个最大公因式 ,并且 的最高次项系数是 1,那么 是一个实系数多项式 ). 3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积. 5证明:数域 F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. 2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约: ; ; . 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数

12、而 是一个大于 1 的整数,那么 是一个无 理数. 143设 是一个整系数多项式.证明:若是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4求以下多项式的有理根: ; ; . 第三章 行列式3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列1计算下列排列的反序数： 523146879； 2假设 n 个数码的排列 的反序数是 k,那么排列 的反序数是多少？ 3写出 4 个数码的一切排列 3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号： 152写出下列四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。 3证明： 阶行列式 4考察下列行列式： ， ， 其中 是 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5

13、计算 阶行列式 6计算行列式 7证明：行列式 168设在 阶行列式 中，3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式 依第三行展开，然后加以计算 2计算以下行列式: 1819提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。 3令 计算行列式 。 3.5 克拉默规则 1解以下线性方程组： 2设 是 个不同的数, 是任意 个数,而多项式 有以下性质: , .20用线性方程组的理论证明, 的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,若是 有 个不同的根,那么 是零多项式. 第四章 线性方程组4.1 消元法 1解以下线性方程

14、组： 2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。 3设 阶行列式0. 21证明：用行初等变换能把 行 列矩阵化为。 4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把 化为 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1对第一和第二种行初等变换证明定理 4.2.1 2利用初等变换求下列矩阵的秩： 3证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 1 4证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 22有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例 5 有解？ 6 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？ 4.3 线性方程

15、组的公式解 1考虑线性方程组：23这里 2 3设线性方程组： （9） 有解，并且添加一个方程： 于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中 个方程的结果 4设齐次线性方程组 的系数行列式 ，而 中某一元素 的代数余子式 证明：这个方程组的解都可以写成 的形式,此处 k 是任意数. 5设行列式 24令 是元素 的代数余子式.证明:矩阵 的秩 第五章 矩 阵 5.1 矩阵的运算 1计算 ； ； ； ； 25 2证明，两个矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 i 行等于 A 的第 i 行右乘以 B，第 j 列等于 B 的第 j 列左乘以 A 3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结

16、合律： (i) 设 B=( )是一个 n p 矩阵令 = 是 B 的第 j 列，j=1,2,p又设 是任意一个 p 1 矩阵证明：B = (ii)设 A 是一个 m n 矩阵利用 (i)及习题 2 的结果，证明： A(B )=(AB) (iii)设 C 是一个 pxq 矩阵利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C 4设 A=证明：当且仅当 B=时，AB=BA。 265令 是第 i 行第 j 列的元素是 1 而其余元素都是零的 n 阶矩阵求 6求满足以下条件的所有 n 阶矩阵 A (i) i,j=1,2,n, (ii)AB=BA ；这里 B 是任意 n 阶矩阵。 7举例证明，当 AB=AC

17、时，未必 B=C 8证明，对任意 n 阶矩阵 A 和 B，都有 AB-BAI提示，考虑 AB-BA 的主对角线上的元素的和 9令 A 是任意 n 阶矩阵，而 I 是 n 阶单位矩阵，证明： ( )( )= 10.对任意 n 阶矩阵 A，必有 n 阶矩阵 B 和 C，使 A=B+C，并且5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 1设对 5 阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的 3 倍加到第三行，把第二列的 3 倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？ 2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵 3求下列矩阵的逆矩阵： 274设 A 是一个 n 阶矩阵，并且存在一个正整数 m 使得

18、 (i) 证明 可逆，并且 (ii)求下列矩阵的逆矩阵。 5设 证明， 总可以表成 和 型初等矩阵的乘积 6令 是 n 阶矩阵 的伴随矩阵，证明 (区别 detA0 和 detA=0 两种情形) 7设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB 可逆,则 A 和 B 都可逆 8设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB=I,则 A 和 B 互为逆矩阵 9证明，一个 n 阶矩阵 A 的秩1 必要且只要 A 可以表为一个 n 1 矩阵和一个1 n 矩阵的乘积 2810.证明：一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和 11设 A 是一个 n n 矩阵， 都是 n 1 矩阵用记号

19、 表示以 代替 A 的第 i 列后所得到的 矩阵 (i)线性方程组 可以改写成 I 是 n 阶单位矩阵 (ii)当 detA0 时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则 5.3 矩阵的分块 1求下面矩阵的逆矩阵2设 A，B 都是 n 阶矩阵，I 是 n 阶单位矩阵，证明 3设 都是 n=r+s 阶矩阵，而 是一个 n 阶矩阵，并且与 S,T 有相同的分法求 SA,AS,TA 和 AT.由此能得出什么规律？ 4证明，2n 阶矩阵 总可以写成几个形如 的矩阵的乘积 295设 是一个对角线分块矩阵证明: 6证明，n 阶矩阵 的行列式等于(detA)(detB) 7设 A,B,C,D 都是

20、 n 阶矩阵，其中 detA0 并且 AC=CA，证明 第六章 向量空间 6.1 定义和例子 1令 F 是一个数域，在 F3里计算 （i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1） 2证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么 a = b = c = 0 303找出不全为零的三个有理数 a， b， c（即 a， b， c 中至少有一个不是 0），使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0） 4令 1 = （1，0，0）， 2

21、 = （0，1，0）， 3 =（0，0，1）证明，R 3中每个向量 可以唯一地表示为 = a1 1 + a2 2 + a3 3 的形式，这里a1，a 2，a 3 R 5证明，在数域 F 上向量空间 V 里，以下算律成立： （i） a ( ) = a - a ； (ii) (a- b) = a - b , 这里 a， b F ， , V 6证明：数域 F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量 7证明，对于任意正整数 n 和任意向量 ，都有 n = + 8证明，向量空间定义中条件 3，8）不能由其余条件推出 9验证本节最后的等式： （ 1， n）(AB) =（ 1， n）

22、A）B 6.2 子空间 1判断 R n中下列子集哪些是子空间： (i) （ a1， 0， ， 0， an）| a1， an R； (ii) （ a1 ， a2 ， ， an ） | ai =0； 31(iii) （ a1 ， a2 ， ， an ）| ai =1； (iv) （ a1 ， a2 ， ， an ）| ai Z ， i = 1，n. 2M n (F)表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所组成的向量空间（参看 6.1，例 2）令 S= A Mn (F) |A= A， T= A Mn (F) |A= A 证明，S 和 T 都是 M n (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T， S

23、 T=0 3设 W1，W 2是向量空间 V 的子空间，证明：如果 V 的一个子空间既包含 W1又包含W2 ，那么它一定包 W1 +W2 在这个意义下， W1+W2是 V 的既含 W1又含 W2的最小子空间 4设 V 是一个向量空间，且 V 0证明： V 不可能表成它的两个真子空间的并集 5设 W， W1， W2都是向量空间 V 的 子空间，其中 W1 W2且 W W1=W W2， W + W1=W + W2 .证明：W 1=W2 6设 W1， W 2是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间， , 是 V 的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2， 证明： （i） 对于任意 k F, +k W2 ； （ii） 至多有一个 k F，使得 +k W1 7设 W1， W2 ， ， Wr 是向量空间 V 的子空间，且 Wi V，i=1，r. 证明：存在一个向量 V，使得 Wi， i=1， r