1、莃高 等 代 数( 上)(No. 8)芁一、填空题(每小题 1 分, 共 8 分) 罿 1一非空复数集 P 为数域, 若其 包含 0 和 1, 且对加减乘除四种运算封闭. 螅 2 设 d(x)为 f (x), g(x) 的一个最大公因式, 则 d(x)与 (f (x), g(x)的关系 蒂 倍数关系即 d(x)k (f (x), g(x) . 蚀 3设i 1,i2,in=1,2, n,则( i1i2in)+ ( inin1i1)= . n(n1)2虿 4设 n2, a 1,an 两两不同, 则 的不同根为 a1, a2,an . xaxn.22袇 5设 t1,tr 两两不同, 则 i=(1,t
2、i, ), i=1, r 线性 无关 . 1ri袄 6若可由 1,r 唯一表示, 则 1,r 线性 无关 . 肀 7设 1,m 为 n 维向量组 , 且 R (1,m)=n, 则 n m. 蒀 8若 A 为 n 级实对称阵且 AA= O, 则 A= O . 蚄二、选择题(每小题 1 分, 共 8 分) 羂 1 对于“命题甲：将 n(1)级行列式 D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D；命题乙：对换行列式中两行的位置 , 则行列式反号”有( B ) . 蕿 A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 袆 C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立螅 2整系数多项式 f (x)在 Z
3、 不可约是 f (x)在 Q 上不可约的( B ) 条件. 肁 A. 充分 B. 充分必要 C. 必要 D. 既不充分也不必要羈 3设 D=|aij|n, Aij 为 aij 的代数余子式, 则 =( C ) . nnnA.212121蚆 A. D B . D C. Dn D. (1)nD螇 4下述中, 错误的是( D ) . 蒃 A. 奇数次实系数多项式必有实根 B. 代数基本定理适用于复数域蚂 C. 任一数域包含 Q D. 在 Px中, f (x)g(x)= f (x)h( x)g(x)=h(x) 莇 5设 A, B 为 n 级方阵, mN, 则“命题甲：| A|=A；命题乙：( AB)m
4、= AmBm”中正确的是( D ) . 薄 A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 薁 C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立肁 6. 任 n 级矩阵 A 与A, 下述判断成立的是( B ) . 膇 A. |A|=|A| B. AX=0 与( A)X=0 同解 蚅 C. 若 A 可逆, 则(A) 1=(1)nA1 D. A 反对称, -A 反对称羄 7 向量组 1,s 线性无关( C ) . 蒁 A. 不含零向量 B. 存在向量不能由其余向量线性表出袈 C. 每个向量均不能由其余向量表出 D. 与单位向量等价蚇 8 设 A, B 均为 P 上矩阵, 则由( A ) 不能断言
5、AB. 肂 A. R(A)= R(B) B. 存在可逆阵 P 与 Q 使 A=PBQ 羀 C. A 与 B 均为 n 级可逆 D. A 可经初等变换变成 B蚈三、简要回答(每小题 5 分, 共 20 分) 蒄 1设 f (x), g(x)Px, g(x)0, 若 f (x)= g(x)q(x)+r(x), 则 (f (x), g(x)=(f (x), r(x)成立吗？为什么？蒅答: 不一定成立. 如：f (x)=6x2, g(x)=2x, q(x)=3x, r(x)=0, (f (x), g(x)= x, (f (x), r(x)=x2.荿 2 设 , 则当 a,b,c,d 满足何条件时, A
6、=A？ A=A2？为什么？dcaA莈答: 当 b=c 时, A 是一个对称矩阵 , 因此 A=A.当 a+d=1 或 c=b=0 且 a, d0,1时, A=A 2.直接根据矩阵相等的定义. 薆 3若 1,s 与 1, s 均相关, 则 1+1,s+ s 相关吗？为什么？薃答: 不一定 . 如： 1=(0, 2, 0), 2=(1, 0, 1), 3=(2, 1, 2), 1=(0, 1, 0), 2=( 1, 0, 0), 3=(1, 1, 0), 显然 1, 2, 3; 1, 2, 3 两组向量均相关, 但 1+1, 2+2, 3+3 是线性无关的.蝿 4若 A, B 均为 n 级阵, 且
7、 AB, 则 A 与 B 的行向量组等价吗？为什么？聿答：等价。因为 AB, 所以存在可逆矩阵 P, Q, 使得 A=PBQ, 设A=(1,n)T, B=(1, n)T, P=(pij), Q=(Q1, , Qn), 则根据矩阵相等的定义得到薇同理可得到 ，其12212121 ),.(),.( QpQpininiii 中 P1=( ).ijp蚁四计算题(每小题 10 分, 共 40 分) 12 蒂把 f (x)=5x46x3+x2+4 按 x1 的方幂展开. 衿解：利用综合除法可得莄 1 肄 1袁6/5蕿 1蒆1/5膂1/5莁 0肆 0薇4/5薅 0螆 1莄1/5蚃 1膀 0薇4/5莆 0螁4
8、/5虿4/5蒇 1膄4/5肈 1肇4/5芄9/5节4/5芆 19/51 13/51 14/5螂螀1所以 f (x)= 5x46x3+x2+45( x4 x3+ x2+ )65 15 45=5(x1)4+ (x1)3+ (x1)2+ (x1)+ 145 135 45 45=5(x1)4+14(x1)3+13(x1)2+4(x1)+4方法 2 用待定系数法。3 计算 . xyyxyDn0.00.解：D n 1110)(0 nnn yyxx4 求向量组 1= (1,1,2,4), 2=(0,3,1,2), 3=(3,0,7,14), 4=(1,1,2,0), 5=(2,1,5,6)的极大无关组, 并
9、求出组中其余向量被该极大无关组线性表出的表达式.解： 401133260142573所以 5=1+2+4, 3=31+2 , 1, 2 ,4,为向量组的极大线性无关组。解：设 A= , 则| A|=60, 则 A 可逆. 从而可求出 A 的逆 A1.0所以 ，从而 X=31621A 132613162五、证明题(每小题 8 分, 共 24 分) 1 若(x 3+x2+x+1)|(f (x2)+xg(x2), 则(x+1)|f (x), (x+1)|g(x). 证明：因为 x3+x2+x+1= (xi) (x+i) (x +1), 所以 x=i, x=i, x=1 为其根,因此由已知条件可得 x
10、=i, x=i, x=1 为 f (x2)+xg(x2)的根, 所以从而 f (1)=g(1) =0, 故(x+ 1)|f (x), (x+1)|g(x).2 试证： .2211222111 cbaacb证明： 222111bc= 22112211 cacba21cba3 设 1, , s 为 AX=B0 的解, 若 k1+ks=1, 则 x= k11+ +kss 也为AX=B 的解. 证明：因为 1, , s 为 AX=B0 的解, 所以 A1= A2= As=B0, 则Ax= A(k11+ +kss)= A(k11)+ + A(kss)= k1A1+ + ksAs=k1B +ksB=B.
11、故 x= k11+ +kss 也为 AX=B 的解.以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , , . For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.
