1、2018/10/18,最大公因式,1.4 最大公因式,2018/10/18,最大公因式,一、公因式与最大公因式,1. 公因式,设 f (x), g(x)Px,若(x)Px,满足(x)| f (x)且(x)| g(x),则称(x)为f (x), g(x)的公因式,2018/10/18,最大公因式,2最大公因式,设 f (x), g(x)Px，若d(x)Px，满足i) d(x)| f(x), 且d(x)| g(x)ii) 若(x)| f(x),且(x)| g(x), 则(x)| d(x). 则称d(x)为f (x), g(x)的最大公因式 f(x), g(x)的首项系数为1的最大公因式,简称首1最
2、大公因式，记作(f(x), g(x).,2018/10/18,最大公因式,注：,1) f (x) P x, f (x)是f(x)与0的最大公因式.,2) 两个零多项式的最大公因式为0,3) 最大公因式不唯一,若d1(x), d2(x)为f(x), g(x)的最大公因式,则d1(x)= cd2(x), c为非零常数,4) (f(x), g(x)唯一,2018/10/18,最大公因式,二、最大公因式的存在性与求法,引理：若等式f (x)=q(x)g(x)+r(x)成立，则f(x), g(x)与g(x), r(x)有相同的因式，从而(f (x), g(x)=(g(x), r(x),2018/10/1
3、8,最大公因式,证：(x),若(x)|f(x)且(x)|g(x),则 (x)| r(x). (x)也是g(x),r(x)的公因式. 反之,(x),若(x)|g(x)且(x)|r(x),则(x)| f (x). (x)也是f(x), g(x)的公因式.,2018/10/18,最大公因式,定理,对f (x), g(x)Px，在Px中存在 f (x)与 g(x)一个最大公因式d(x),且d(x)可表成f(x), g(x)的一个组合,即存在u(x), v(x)Px,使 d(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x),2018/10/18,最大公因式,证明,若f (x), g(x)有一为0,如g(x)=
4、0,则f(x)就是一个最大公因式,且f (x)=1 f (x)+1 g (x).,考虑一般情形：f (x)0 , g(x) 0 ，,用g(x)除f (x)得,f (x)=q1(x)g(x)+r1(x),其中(r1(x) (g(x)或r1(x)=0,2018/10/18,最大公因式,若r1(x)0, 用r1(x)除g(x), 得,g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),其中(r2(x) (r1(x)或r2(x)=0,若r2(x)0, 用r2(x)除r1(x), 得,r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),其中(r3(x) (r2(x)或r3(x)=0,2018/10/18,最大公因式,
5、如此辗转下去,显然,所得余式的次数不断降低,即,(g(x) (r1(x) (r2(x),因此有限次后,必然有余式为零设rs+1(x)=0.于是我们有一串等式,f(x)=q1(x)g(x)+r1(x),g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x),r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x),2018/10/18,最大公因式, ri2(x)=qi(x)ri1(x)+ri (x),rs1(x)=qs+1(x)rs(x)+0,rs2(x)=qs(x)rs1(x)+rs (x),从而有,(f(x), g(x)=(g(x), r1(x) =,(r1(x), r2(x) =(rs1(x), rs(x)=rs
6、(x),2018/10/18,最大公因式,再由上面倒数第二个式子开始，逐个地消去rs1(x) , r1(x), 再并项就得到,rs(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x), 定理中最大公因式d(x)的表达式中的u(x), v(x)不唯一.,注:, 定理中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法,2018/10/18,最大公因式, 对于d(x), f(x), g(x)Px, 如果存在u(x),v(x)Px,使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),但是这不能保证d(x)是f (x), g(x)的最大公因式., 若d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),且d(x)|f(x), d(
7、x)|g(x), 则d(x)为f (x), g(x)的最大公因式。,2018/10/18,最大公因式,例1 设f (x)=x4+3x3x24x3, g(x)=3x3+10x2+2x3, 求(f (x), g(x), 并求u(x), v(x)使 (f (x), g(x)=u(x)f(x) + v(x) g(x),2018/10/18,最大公因式,注:若仅求(f(x), g(x) ，为了避免辗转相除时出现分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(使得商位首1的多项式），这是因为f(x)和cf(x)具有完全相同的因式即,(f (x), g(x)= (c1f (x), g(x)=(f (x), c2g(x
8、)= (c1f (x), c2g(x),2018/10/18,最大公因式,例2,设 f (x)=x4+2x3x24x2, g(x)= x4+x3 x22x 2, 求(f (x), g(x).,2018/10/18,最大公因式,三、互素,由定义f (x), g(x)互素(f (x), g(x)=1 f (x), g(x) 除去零次多项式外无其它公因式,1.定义:设f (x), g(x)Px，若(f (x), g(x)=1, 则称f (x), g(x)为互素的(或互质的),2018/10/18,最大公因式,2互素的判定与性质,定理 设 f (x), g(x)Px，则f (x), g(x)互素的充要
9、条件存在 u(x) v(x) P x, 使 u(x)f (x) + v(x)g(x)=1,2018/10/18,最大公因式,若(f (x), g(x)=1,且f (x)|g(x)h(x), 则f (x)|h(x) .,如果 f1(x)|g(x), f2(x)|g(x), 且(f1(x),f2(x)=1,则f1(x) f2(x)|g(x),推论,定理4,2018/10/18,最大公因式,3推广,设f1(x), f2(x), fs(x)Px, 若d(x)Px,满足i) d(x)|fi(x), i=1,2,s;ii) (x),若(x)|fi(x), i=1,2,s, 则(x)|d(x). 则称d(x)为f1(x), f2(x), fs(x)的最大公因式,定义,2018/10/18,最大公因式,注：, (f1(x), f2(x), fs(x)表示首1的最大公因式., (f1(x), f2(x), fs(x)=(f1(x), fs1(x), fs(x), u1(x), u2(x), us(x)Px,使(f1(x), fs(x)=u1(x)f1(x)+ us(x) fs(x),2018/10/18,最大公因式,
