1、1.6 若干特殊矩阵,一、对称矩阵与反对称矩阵,定义 设A是n阶方阵。若 ，则称A是对称矩阵；若 ，则称 A是反对称矩阵。,例 设A是任一n阶方阵，则 是对称矩阵，是反对称矩阵。,例 设A是任一方阵，则 A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。,例 设 A与B是两个 n阶对称矩阵，I是 n阶单位矩阵。 证明：若A与 均可逆，则,也是对称矩阵。,证明 只需证,因为,二、对角矩阵,定义 主对角元以外的元素全为零的n阶方阵,称为n阶对角矩阵。,对角矩阵通常简记为,或,当 时,例 对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。,例 对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵。,例 对角矩阵 A = 可逆的充分必要条
2、件是 全不为零。当 A可逆时，,称之为数量矩阵。若k = 1，则数量矩阵即是单位矩阵。,定义 设 A 是分块矩阵,若子块 全是方阵，则称 A是准对角矩 阵，可简写为,例 设 A是准对角矩阵,则 A可逆的充分必要条件是子块 均可逆。 当 A可逆时，,三、三角矩阵,定义 设A与B是两个n阶方阵,则称 A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。,例 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全 不为零。,小结：1. 熟练掌握矩阵的基本运算与性质加法、数乘、乘法、幂、转置2. 熟练掌握用初等行变换把矩阵化为阶梯形3. 熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程4. 熟练掌握Gauss消元法解的
3、判别、求解,例 解矩阵方程的初等变换法：,（1）已知已知矩阵方程 AX=B，其中A可逆A，B I，A1B=I，X,（2）已知已知矩阵方程 XA=B，其中A可逆。,例 已知矩阵 A与矩阵 B,满足 AX=B，求 X。,解 （法一）由前例已得,故,（法二）, A，B =,由此得,X,例 已知结论“若方阵 A满足 且 ，则 A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对 不正确的方法，请举例说明其问题所在：,（法一） 因为 ，故,. ,因为 ，故 。于是由 得，A=0。因此A不可逆。,（法二） 反证：若 A可逆，则由 得,即 A=I，与已知条件矛盾。因此 A不可逆。,例 可逆的上(下)三角矩阵的逆
4、矩阵也是上(下)三角矩阵。,证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法：,n = 2：设,可逆，则,故结论对2阶上三角矩阵成立。,n - 1：设结论对 n - 1阶上三角矩阵成立。,n：证明结论对 n阶上三角矩阵成立。,设,若A可逆，则 均不为零。而 也 是上三角阵，故 可逆。又 是 阶的，故由归 纳法假设可得： 的逆矩阵也是上三角矩阵。,根据 A，对 A的逆矩阵 分块,其中 是 n - 1阶方阵。,因,由此得,因,可逆，故,所以，,因 是上三角矩阵，故 也是上三角矩阵。,例 设 A= 是n阶方阵。若下列方阵,（称为A的顺序主子阵）均满秩，则 A可表示成,A = LU,其中L是主对角元全为1的n阶下三角
5、矩阵，U是n阶可逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解（ LU分解）。,对线性方程组,若系数矩阵 A有三角分解 A = LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组,对 LY=b 只需前代、对 UX=Y 只需回代既可求解。,例 某林场计划种植供圣诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表：,林场管理者需面对两个问题：（1）经营活动（企业生产）的可持续性；（2）在可持续性的前提下，每年获得最大收益。,讨论：（1）为满足此条件，要求： 每次只能采伐部分树木； 每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗； 补种后，树林的结构应保持相同（
6、生长期之前）,生长初期,采伐前,一个生长期,采伐后,|,|,|,|,补种,出售,补种后,令 表示生长期开始时，第i类中树的棵数，称,为非采伐向量。,显然，,是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所 确定。而 x 即为保持可持续生产所应维持不变的树林 结构。,令 表示第 i 类树中在一个生长期内上升到第 i+1类中的比值，称,为生长矩阵，,这里 由树木的品种、,当地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定。,因,故 表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的结构。,令 表示在一次采伐中，从第i类中砍取的树木棵数，称,为采伐向量。显然，,表示在一次采伐中砍取的树木总量。,令,则,表示在一次采伐后
7、应补种的树木的结构。于是，可持 续生产的要求可表示为,即,又,故由(4), (5)得,又,故由(6)又可得,反之，若一个非负元素的列向量 x 满足(7)，则由(5)和(6)可确定一个非负元素的列向量y，并且x 与 y 满足要求(4)。据此，可确定一个持续的林场经营策略。,例 某林场要种植 s棵杉树。根据市场调查，这类杉树按高度分为类，售价分别为（单位：元）,已知这种杉树的生长矩阵为,试确定一种合理的种植与采伐方案，并计算每次采伐 所获收益。,解 取,由此可得,则 为非负列向量。易证,即 x 满足公式(7) 且,于是，x确定一个合理的种植与采伐方案，即 x是非采 伐向量。,利用(5)、(6)，由 x 得,易证 与 x满足要求(4)，即 y是采伐 向量。,此时，一次采伐的收益为,（2） 可以证明，上例中确定的方案一定获得最 大收益。一般地，一次采伐只砍取某一类中的全部树 木，则可获得最大收益。实际上，在安排种植计划 时，应使在一个生长周期内，树苗至多上升到该类， 然后，再把此类(最高类)中的树木全部采伐完。,
