1、高等代数,多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 欧几里得空间,第1章 多项式,多项式理论是高等代数的重要内容之一。它不但为高等代数所讲授的基本内容提供了理论依据，其中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常用到。本章介绍一元多项式的基本理论。,第1章 多项式,数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式,1 数域,要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围内解的情形不同。 常遇到的数的
2、范围：有理数集 、实数集、复数集共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概念数域。,1 数域,1.数域的定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P中，则称P为一个数域.常用到的数域：有理数域Q 、实数域R、复数域C. 2.数域定义的另一形式 包含0与1的数集P，如果对于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）运算封闭，则称P为一个数域.,例1 所有形如 (a、b是有理数)的数 构成一个数域 .,解 (i),(ii)对四则运算封闭.事实上,3.
3、有理数域是一个最小的数域 （任何数域都包含有理数域作为它的一部分）,证：设P为一个数域.由定义知1P，又P对加法封闭知：1+1=2， 1+2=3，P包含所有自然数；由0P及P对减法的封闭性知：P包含所有负 整数，因而P包含所有整数；任何一个有理数都可以表为两个整数的商， 由P对除法的封闭性知：P包含所有有理数.即任何数域都包含有理数域作为它的一部分.,2 一元多项式（以固定数域P为基础）,1.定义 设x是一个符号(文字)，n为非负整数.形式表达式,称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上的一元多项式.,i 次项,i 次项系数,首项(an0),习惯上记为f (x)，g(x)或f, g上述形
4、式表达式可写为,符号x 可以是为未知数， 也可以是其它待定事物.,几个概念:,零多项式 系数全为0的多项式 多项式相等 f (x)=g(x)当且仅当同次项的系数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 f (x)的最高次项对应的幂次，记作(f (x) 或deg (f (x) .如： f (x) =3x3+4x2-5x+6的次数为3，即deg (f (x)=3,2.多项式的运算,例 f(x)=2x2+3x1,g(x)=x3+2x2-3x+2，则,f (x)+g(x) =(2x2+3x1)+(x3+2x2-3x+2),f (x)g(x) =(2x2+3x 1)(x3+ 2x2- 3x
5、+2),乘法较为复杂，应用竖式方便、明了：,f (x)-g(x) =(2x2+3x1)-(x3+2x2-3x+2),2.多项式的运算,f(x)=2x2+3x 1 g(x)=x3+ 2x2- 3x+2 2x5+ 3x4- x3 4x4+ 6x3- 2x2-6x3 - 9x2 +3x4x2+ 6x-2 f(x) g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+ 9x-2 或为更简明，应用分离系数法进行：,2.多项式的运算,设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令,加法： f (x)g(x),乘法：f (x)g(x),结论: (1)(f (x)g(x)max(f (x), (g(x)(2) (f
6、 (x)g(x)=(f (x)+(g(x) ,当f (x)0,g(x) 0且乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积,2.多项式的运算,运算律 设f (x),g(x),h(x)为数域P上的一元多项式,则,（1）f (x)+g(x)= g(x)+ f (x)（2）(f (x)+g(x)+ h(x) = f (x) +(g(x)+ h(x)（3）f (x)g(x)= g(x) f (x)（4）(f (x)g(x)h(x) = f (x)(g(x)h(x)（5） f (x)(g(x) + h(x) ) = f (x)g(x) + f (x) h(x)（6）若f (x)g(x) = f (x) h(x)
7、且f (x)0, 则g(x) = h(x),证（4）(f (x)g(x)h(x) = f (x) (g(x) h(x),考虑等式两端 t次项的系数.左边：f (x)g(x)中s次项的系数为,故t次项的系数,右边：g(x) h(x)中r次项的系数为,故t次项的系数,证毕.,例1 当a,b,c取何制值时，多项式 f (x)=x-5与 g(x)= a(x-2)2+b( x+1)+c(x2-x+2）相等？,解,由于g(x)= ( a+ c) x 2 +(-4a+b c) x+ (4 a+b +2c ） 根据多项式相等的定义，得,例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f
8、 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0,若f (x)0，则f 2(x) 0.由f 2(x) = x g2(x)+ x h2(x) = x( g2(x)+h2(x) 知g2(x)+ h2(x) 0.因此(f 2(x) =(x( g2(x)+h2(x) ) 但(f 2(x) 为偶数,而(x( g2(x)+x h2(x) )为奇数,因此f 2(x) x g2(x)+ x h2(x) 与已知矛盾，故f (x)=0.此时 x( g2(x)+ h2(x)=0.但 x 为一非 零多项式，故有 g2(x)+ h2(x)=0 由于 g(x)、h(x)为实系数多项式
9、，必有g(x)=h(x)=0.于是f (x)=g(x)=h(x)=0 .,证：反证.,为什么？,若g(x)0，由于实数域内，非0数的平方为正数,所以f 2(x) 的最高次项系数为正数.当g2(x)+ h2(x)=0 时, h2(x)的最高次项系数必为负数.这是不可能的！所以g(x)=0.同理h(x)=0.,3.多项式环,数域P上的一元多项式的全体，称为数域P上的 一元多项式环，记作Px.PPx的系数域.,思考与练习,3. 例2中，若f (x), g(x)为复数域上多项式. 能否由f 2(x)+g2(x)=0 f (x)=g(x) =0 ？ 考虑f (x)=ix, g(x)=x. 显然 f 2(
10、x)+g2(x)=0 但 f (x)0,g(x) 0.,3 整除的概念（在Px 中进行）,引言 在一元多项式环Px中,有f(x)g(x), f (x)g(x).是否有除法？应该如何描述Px中两个多项式相除的关系？两个多项式除法的一般结果是什么？下进行讨论和研究.引例 (以中学代数多项式除法为基础)考虑f (x)=3x3+4x2-5x+6g(x)= x2-3x+1求出f (x)除以g(x)的商和余式.,采用长除法,f(x),g(x),商q(x),余式 r(x),即 3x3+4x2-5x+6 =(3x+13)(x2-3x+1)+(31x-7)结果： f (x) = q(x) g(x) + r(x)
11、,采用竖式除法,商,余式,即 3x3+4x2-5x+6 =(3x+13)(x2-3x+1)+(31x-7)结果： f (x) = q(x) g(x) + r(x),1.带余除法,定理 设f(x) , g(x) Px, g(x) 0，则存在唯一的多项 式q(x) , r(x) Px, 使f (x) = q(x) g(x) + r(x) 其中r(x)=0或 (r(x) ( g(x) ).称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x)除f (x)的余式.,商,余式,（带余除法）定理证明,存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x
12、)=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法.当nm时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.当nm时,假设次数小于n时结论成立，即存在多 项式q(x) , r(x) Px, 使f (x) = q(x) g(x) + r(x).以下证 明次数为n时结论也成立. 设f (x)、 g(x) 的首项分别为axn及b xm.令f 1(x)= f (x)- b-1a xn-mg (x) (*) 注意到b-1a xn-mg (x)与f (x)有相同的首项,知(f1(x)n或为f1(x) =0.,（带余除法）定理
13、证明（续1）,若f1(x)=0，取q(x)= b-1a xn-m ， r(x) = 0，有f (x) = q(x) g(x) + r(x) ； 若(f1(x) n, 由归纳法假设，有q1(x) , r1(x) Px,使f 1(x) = q1(x) g(x) + r1(x) （*） 其中(r1(x)( g(x) )或r1(x) =0. 于是由式 (*)、(*)有f (x) = (q1(x)+ b-1a xn-m) g(x) + r1(x),r(x),q(x),由归纳法原理，对任意的f (x), g(x)0， q(x) , r(x)的 存在性证毕.,（带余除法）定理证明（续2） 唯一性,若还有q*
14、(x) , r*(x) Px ,使f (x) = q*(x) g(x) + r*(x) 其中(r*(x)(r*(x)- r(x),矛盾.因此q(x) =q*(x), r*(x)= r(x). ,例1 求g(x) 除f (x) 所得的商q(x)和余式r(x)，这里 f(x)= x5+3x4+ x3+x2+ 3x+1,g(x)= x4+2x3+x+2.,商,余式,即有 x5+3x4+ x3+x2+ 3x+1 =(x+1)(x4+2x3+x+2)+(-x3-1) 所求商q(x)= x+1， 余式 r(x)= -x3-1.,解：,带余除法表明： f (x) = q(x) g(x) + r(x)用多项式
15、g(x) 0去除多项式f (x) ，可以得到一个商q(x)及余式r(x)，余式一般不为零.当余式等于0时，得到两个多项式之间的一种关系整除.,2.整除的概念,(1)定义 设f(x) , g(x) Px, 如果存在多项式h(x) Px, 使f (x) = h(x) g(x) 称g(x) 整除f (x)(或f (x)能被g(x)整除)，记为g(x)| f(x) . 此时称g(x) 为f (x) 的因式， f (x)为 g(x)的倍式.,g(x)的倍式,f (x)的因式,例如， f(x) =3x3+4x2-x, g(x)= 5x,有g(x)| f(x) . 因 3x3+4x2-x =,(2)整除性判
16、别定理 设f(x), g(x) Px, g(x) 0, g(x)| f(x) g(x) 除f (x)的余式为零.,证 () 若余式r(x)=0，则f (x) =q(x)g(x),即g(x) | f(x)；()若g(x) | f(x)，则f(x) =q(x)g(x)= q(x)g(x)+0即r(x)=0. |,h(x),例2 设f(x) =2x4-3x3+5x2-6, g(x)= x2-x-1,判断g(x)能否整除 f(x) .,r(x)0,解 由,例3 m,p,q 满足什么条件， g(x)=x2+mx-1能整除f(x)=x3+px+q？,解 由带余除法，得,利用整除的定义，比较 g(x)与 f
17、(x)的次数及首项系数. g(x)| f(x) 存在h(x)=x+a 使 x3+px+q=(x+a)(x2+mx-1) 比较等式两边同次项的系数，得,x3+px+q=(x-m)(x2+mx-1)+(m2 +p+1)x+(q-m) g(x)| f(x) (m2 +p+1)x+(q-m) =0 m2 +p+1=0且q-m=0 p= -1- m2 且q= m .,方法1,方法2,例4 证明：如果g(x)| f1(x)+ f2(x) ，g(x) | f1(x)- f2(x) , 则g(x)| f1(x) ， g(x)| f2(x) .,证 由假设，有h1(x), h2(x)使,由整除的定义， 知g(x
18、)| f1(x) ， g(x)| f2(x) .,f1(x)+ f2(x) = h1(x) g(x) f1(x)- f2(x) = h2(x) g(x) 因此,(3)整除的性质,f(x)| f(x) 任意一个多项式可整除其自身； f(x)| 0 任意一个多项式可整除零多项式； c| f(x) 零次多项式可整除任一多项式； 若f(x)| g(x) ， g(x)| f(x)，则 f(x)=cg(x) ; 若f(x)| g(x) ， g(x)| h(x)，则 f(x)|h(x) ;（传递性） 若f(x)| g(x) ，则 c 0,cf(x)|g(x) ; 若f(x)| gi(x) ( i=1,2,r
19、) ,则ui(x) Pxf(x)| (u1(x)g1(x)+ u2(x)g2(x)+ ur(x)gr(x),gi(x)的组合 i=1,2,r,整除性质的证明,f(x)=1f(x) ；0 = 0 f(x)；f(x)= cc-1f(x)； 设f(x)| g(x) ， g(x)| f(x). 有f(x)= h1(x) g(x) ， g(x)= h2(x) f(x)；若f(x)， g(x) 有一个是0多项式，则另一个必为0， 因此任取非零常数c，即有f(x)= c g(x).若f(x)、 g(x)均不为0 ，有 f(x)= h1(x) h2(x) f(x) h1(x) h2(x) =1 deg(h1(
20、x) h2(x) )=deg(h1(x)+deg(h2(x) )=0deg(h1(x)=deg(h2(x) )=0.即h1(x)为非0常数.,整除性质的证明,传递性（略） ； 显然； 由f(x)| gi(x) ( i=1,2,r) ,有hi(x) ( i=1,2,r) Px 使gi(x) = hi(x) f(x) i=1,2,r而ui(x) Px，有u1(x)g1(x)+ u2(x)g2(x)+ ur(x)gr(x)= u1(x)h1(x)+ u2(x)h2(x)+ ur(x)hr(x) f(x) 由整除的定义， 知f(x)| (u1(x)g1(x)+ u2(x)g2(x)+ ur(x)gr(
21、x) ,作业与练习,习题1 1 . 1），2. 2），3. 证明： g(x)| f1(x)+2 f2(x) ，g(x) | 3f1(x)-4f2(x) , 则g(x)| f1(x) ， g(x)| f2(x) . 证明：(1)f(x)| g1(x) ， f(x) | g2(x) ,则f(x) | g1(x)+ g2(x)；(2)若f(x)| g1(x) , f(x)| g2(x) ， f(x)能否整除 g1(x) + g2(x)？举例说明.,不一定.,3 整除的概念（小结）,带余除法 设f(x) , g(x) Px, g(x) 0,则存在唯一的多项式 q(x) , r(x) Px, 使 f (
22、x) = q(x) g(x) + r(x) （*） 其中r(x)=0或 (r(x) ( g(x) ). 整除性1.定义 设f(x),g(x) Px, 如果存在多项式h(x) Px, 使f (x) = h(x) g(x) ，称g(x)| f(x).2.整除性判别 g(x)| f(x) (g 0 ) （*）式中r(x)=0.3.整除的性质 （略）,4 最大公因式,f(x)与g(x)的最大公因式定义、存在性与唯一性及其性质、最大公因式的求法（展转相除法）互素定义、判定定理、性质n个多项式的最大公因式,(1)公因式 设f(x),g(x)Px,若有(x)Px，使 (x) | f(x)， (x) | g(
23、x)，称 (x) 为f (x)与g(x)的一 个公因式.由于任意两个多项式总有公因式(非0常数)， 因此公因式中占有重要地位的最大公因式. (2)最大公因式 定义 设f(x),g(x) Px.若有d(x)Px满足(i) d(x)是f(x)，g(x)的公因式；(ii) f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式. 则称d(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式.,1. f (x)与g(x)的最大公因式,说明:,最大公因式在相差一个非零常数的意义下是唯一确定的.事实上,若d1(x)、d2(x)是f(x), g(x)的最大公 因式,由最大公因式定义,知d1(x)为d2(x)的因式,d2(x) 也
24、为d1(x)的因式,即d1(x)d2(x), d2(x)d1(x) 由整除的性质知:d1(x)=c d2(x). (f(x),g(x)f(x)与g(x)首项系数为1的最大公因式.,最大公因式的存在性及其求法,引理 设f(x),g(x) Px.如果等式f (x) = q(x) g(x) + r(x) (*) 成立，则f(x),g(x) 和g(x),r(x)有相同的公因式.证明 由(*)知, f (x)是g(x)与r(x)的一个组合,故若(x) | g(x) ,(x) | r(x),必有(x) | f(x)，此即g(x), r(x) 的公因式都是f(x),g(x)的公因式；又由(*)，有 r(x)
25、 = f (x)-q(x) g(x) 故若 (x) | f(x) , (x) | g(x),必有(x) 整除 f(x)与 g(x) 的组合r(x)，此即f(x),g(x)的公因式都是g(x), r(x)的公 因式.综上所述，f(x),g(x) 和g(x),r(x)有相同的公因式.,例1 求f(x)= x5+3x4+ x3+x2+ 3x+1与 g(x)= x4+2x3+x+2 的最大公因式.,解 先用g(x) 除f(x)：,得商q(x)= x+1，余式 r(x)= -x3-1.即f(x) = (x+1) g(x) +(-x3-1),但由引理，知 (f(x) , g(x) )=(g(x) , r(
26、x)，因此求 (f(x) , g(x) )可用r(x)除g(x)：,解(续),由于r(x)g(x)，知r(x)是g(x)与r(x)的一个最大公因 式，因此(f(x) , g(x) )=(g(x) , r(x)= x3+1.,例1 求f(x)= x5+3x4+ x3+x2+ 3x+1与 g(x)= x4+2x3+x+2 的最大公因式.(解法小结),(1)先用g(x) 除f(x),得f(x) = q(x) g(x) + r(x)=(x+1) g(x) +(-x3-1) r(x)0，(r(x) (g(x) (2)用r(x)除g(x),得g(x)= q1(x) r(x)+ r1(x),=0,辗转相除而
27、得,因此 (f(x) , g(x) )=(g(x) , r(x)=(r(x), r1(x)=(r(x) ,0) =x3+1.,最大公因式的存在性及其求法,定理 f(x),g(x)Px, 在Px中存在一个最大 公因式d(x),且d(x)可以表达成f(x),g(x)的一个组合, 即有u(x),v(x) Px使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x),注意：等式 d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x) 成立, d(x)未必就是f(x)与g(x)的最大公因式.例如, f(x)=x2 +1, g(x)=x , u(x)=x, v(x)=x+1, d(x)=2x(x2+1). 显
28、然有d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x) 但d(x)不是f(x)与g(x)的最大公因式.,最大公因式存在性定理证明,证 (i)如果f(x),g(x)有一个为零多项式，比如 g(x)=0，则f(x)就是f(x),g(x)一个最大公因式，即 d(x)=f(x)，且f(x)= 1f(x)+10=1f(x)+1g(x)(ii)一般情形:不妨设g(x)0.由带余除法,用 g(x)除f(x), 得到商q1(x), 余式r1(x)；即f(x) = q1(x)g(x) + r1(x)若r1(x)=0,则r1(x), g(x)的最大公因式为g(x),从 而f(x),g(x)最大公因式d(x)仅与
29、g(x)相差一个非0常 数因子，此时d(x)=cg(x)=0f(x)+cg(x),最大公因式存在性定理证明（续1）,若r1(x)0, 再用r1(x)除g(x),得到商q2(x),余式 r2(x);又若r2(x)0, 就用r2(x)除r1(x), 得出商q3(x), 余式r3(x); 如此辗转相除下去 ，所得余式的 次数不断降低，即(g(x) (r1(x) (r2(x) 经有限次之后,必有余式为零(因次数有限).即f(x) = q1(x) g(x) + r1(x)g(x) = q2(x) r1(x) + r2(x)ri-2(x) = qi(x) ri-1(x) + ri(x),最大公因式存在性定
30、理证明（续2）,rs-3(x) = qs-1(x) rs-2(x) + rs-1(x)rs-2(x) = qs(x) rs-1(x) + rs(x)rs-1(x) = qs+1(x) rs(x) + 0 rs(x)与0的最大公因式是rs(x),由引理知,rs(x)也是 rs(x)与rs-1(x)的一个最大公因式;也是rs-1(x)与rs-2(x) 的一个最大公因式,以此逐步上推,rs(x)就是f(x) 与g(x)的一个最大公因式.为得到定理结论中的等式，由上面的倒数第二 个等式，我们有 rs(x) = rs-2(x) - qs(x)rs-1(x),最大公因式存在性定理证明（续3）,而由倒数第三
31、式,有rs-1(x)=rs-3(x) - qs-1(x)rs-2(x) 带入上式,消去rs-1(x)，得到rs(x) = (1+qs(x)qs-1(x)rs-2(x)-qs(x)rs-3(x)以同样的方法逐个消去rs-2(x)， , r1(x)， 并项后，得到rs(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)综上所述，证毕.,定理中求最大公因式的方法称为辗转相除法.,例2 设f(x)= 4x4-2x3-16x2+5x+9, g(x)= 2x3 - x2 - 5x+4 求(g(x) ,f(x),并求u(x),v(x)使 (g(x) ,f(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).,解 利用辗
32、转相除法,解(续1) 上述辗转相除过程为：,=0,因此，r2(x)=-x+1为f(x)与g(x)的一个最大公 因式,而首项系数为1的最大公因式为(f(x), g(x)=x-1. 以下求u(x),v(x). 由前式，得 r2(x)=g(x)-q2(x)r1(x)=g (x)-q2(x)f (x)-q1(x)g(x)=(1+q1(x)q2(x) ) g(x) q2 (x) f (x),f(x) = q1(x) g(x) + r1(x) g(x) = q2(x) r1(x) + r2(x) r1(x) = q3(x) r2(x) + r3(x),解(续2) 即,两端同乘以-1，得,因此，有,2.互素
33、多项式,(1)定义 设f(x),g(x)Px, 如果(f(x), g(x)=1,称f(x)与g(x)互素（也称互质）. 易知，两个互素多项式的公因式只有零次多项式.(2)互素的充分必要条件 定理 Px中多项式f(x),g (x)互素存在有u (x), v (x) Px，使 u(x)f (x)+v(x)g(x)=1。 证明 ()因(f(x), g(x)=1，由最大公因式存在定理， 有u (x),v (x)Px，使 1=u(x)f (x)+v(x)g(x) .,证明(续),()设有u (x),v (x)Px使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 若(x)是f (x)与g(x)的一个最大公因式,则
34、 (x)f(x),(x)g (x),从而(x)u(x)f(x)+v(x)g(x)即(x)1 (x)=c.因此，(f (x),g(x) )=1. 综上所述，证毕.,(3)互素多项式的性质,定理 若(f(x), g (x)=1,且f (x)g(x)h (x),则f (x)h(x). 证明 由(f(x), g(x)=1可知，有u(x)，v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 等式两边乘h(x),得u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) (*) 因f (x)g(x)h (x)， f (x)f(x)，有f (x) u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x) 即f
35、(x)h (x). 证毕.,(*)左端,(*)右端,推论 若f1 (x)g(x), f2 (x)g(x)且(f1(x),f2(x)=1，则 f1 (x)f2 (x)g(x). （证明略）,习题1 10.若f(x),g (x)不全为0，则,证 若f(x),g (x)不全为0，则(f(x),g (x)= d(x) 0.由 最大公因式存在定理，有u(x),v (x)使d(x)= u(x)f(x)+v(x) g (x) 所以,由互素的充要条件，有,3. n个多项式的最大公因式,(1)定义 已知fi(x) (i=1,2,s2)Px.若有d(x)Px 满足(i) d(x)是fi(x) (i=1,2,s)的
36、公因式；(ii) fi(x) (i=1,2,s)的公因式全是d(x)的因式. 则称d(x)为fi(x) (i=1,2,s)的一个最大公因式. (2)求法 (f1(x), f2(x), fs(x) )=(f1(x), f2(x), fs-1(x), fs(x)且 ui(x) (i=1,2,s)Px使 u1(x)f1(x)+ us(x)fs(x)= (f1(x), f2(x), fs(x) ),例3 设f1(x)= x6-7x4+8x3 - 7x+7,f2(x)= 3x5-7x3+3x3 7 f3(x)= x4+x3 - 7x2-4x-1, f4(x)= x3+x2- x-1 求(f1(x),f2
37、(x) , f3(x) ,f4(x).,解 利用 (f1(x),f2(x) , f3(x) ,f4(x)= (f1(x),f2(x) , f3(x) ,f4(x) 逐步计算.(f1(x),f2(x) )= x3 +1(x3 +1, f3(x) )= x +1(x +1,f4(x)= x +1 所以(f1(x),f2(x) , f3(x) ,f4(x)= x +1.,(3)互素 如果(f1(x), f2(x), fs(x) )=1，称f1(x),f2(x), fs(x) 互素.(4)两两互素 如果 f1(x), f2(x), fs(x) 中任意两个都互素，称f1(x), f2(x), fs(x)
38、两两互素. 例 f1(x)=x+1, f2(x)= x-1, f3(x)=x2+1 互素且两 两互素.f1(x)=x+1, f2(x)= x-1, f3(x)=x2-1 互素但不 两两互素.,作业与练习,习题1 5 . 2），6. 2），714.,习题1 12.若(f(x),g (x)=1, (f(x),h (x)=1,则(f(x),g (x)h(x)=1.,证 由(f(x),g (x)=1, 有u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x) g (x)=1 从而 h(x)u(x)f(x)+ v(x) g (x)h(x) = h(x) 即f(x)与 g (x)h(x)的公因式都是f(x)与 h
39、(x)的公因式. 但 (f(x),h (x)=1 故f(x)与 g (x)h(x)的公因式只能是非零常数.因此(f(x),g x)h(x)=1.,5 因式分解定理（在Px 中进行）,不可约多项式概念、性质因式分解及唯一性定理多项式因式分解的标准形式,1. 不可约多项式,(1)定义 如果数域P上次数1的多项式p(x)不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积,称其为域P上的不可约多项式.按照定义：一次多项式总是不可约多项式；多项式是否可约依赖于数域；如 f(x)= x2+2在实数域上不可约,在复数域上 可约.不可约多项式p(x)的因式只有c及cp(x)(c 0).,的证明,设(x
40、)为p(x)的因式，则(x)| p(x)，即有h(x)使 p(x)= h(x)(x). 因p(x) 不可约，即它不能表为两个次数比它低的多 项式的乘积，因此(h(x)=0或(x)=0 若(h(x)=0,有 h(x)=a 0,(x)=a-1 p(x)=cp(x);若(x)=0, 有 (x)=c. 即：不可约多项式p(x)的因式只有c及cp(x) (c0).,(2)不可约多项式的性质,定理 如果p(x)是不可约多项式，则 (i) f(x)Px,或者p(x)f(x);或者 f(x)与p(x)互素； (ii) f(x),g(x)Px,由p (x)f (x)g(x)一定推出p (x)f (x)或者p (
41、x)g (x). 证明 (i)设(f(x),p(x)=d(x)，则d(x)p(x),但p(x)是 不可约多项式 d(x)=1或d(x)=cp(x)（c0, cp(x) 首 项系数为1）.若d(x)=1,则f(x)与p(x)互素；若d(x)=cp(x),则p(x)f(x).(ii) 若p(x)f(x),结论已经成立.,证明（续）,若p(x)f(x),由(i)必有(f(x),p(x)=1.再由互素 多项式的性质:(f(x),g (x)=1,且f x)g(x)h(x),则 f (x)h(x),有p (x)g (x).一般地，有如下结论： 定理 如果不可约多项式 p(x)整除一些多项式f1(x),f2
42、(x),fs(x)的乘积 f1(x)f2(x) fs(x),则p(x)一定整除这些多项式之中的一个.（用数学归纳法证明) 略.,2. 因式分解及唯一性定理,定理 数域P上每一个次数1的多项式f(x)都可以 唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.唯 一性指：若有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x) 则必有s=t，且适当排列因式的次序后有pi(x)=ciqi(x)，i=1,2,s 其中，ci (i=1,2,s)是一些非零常数.证明 (存在性)对f(x)的次数做数学归纳法. 由于一次多项式都是不可约的,所以n=1时结论 成立.,证明(续1),设(f
43、(x)=n,并设结论对于次数低于n的多项式 已经成立.若f(x)是不可约多项式,结论显然.不妨设f(x)不 是不可约的,即有f(x)=f1(x)f2(x) 其中f1(x),f2(x)的次数都低于n.由归纳法假定f1 (x)和 f2(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积. 把f1(x),f2(x)的分解式合起来得到f (x)的一个分解式.由归纳法原理,结论普遍成立.,证明(续2)(唯一性),设f(x)可以分解成不可约多项式的乘积f(x)=p1(x)p2(x) ps(x)若f(x)还有另一分解式f(x)=q1(x)q2(x) qt(x) 其中qi(x)(i=1,2, ,t)都是不可约多项
44、式.于是 f(x)=p1(x)p2(x) ps(x)=q1(x)q2(x) qt(x) 我们对s做归纳法. 当s=1时, f(x)是不可约多项式. 由定义必有 s=t=1,且 f(x)=p1(x)=q1(x).假设不可约因式的个数为s-1时唯一性已证.由 有： p1(x)|q1(x)q2(x) qt(x),证明(续3),因此,p1(x)必能整除其中某一个.不妨设 p1(x)|q1(x). 由于q1(x)也是不可约多项式，故有 p1(x)=c1q1(x) 在式两边消去q1(x)，就有p2(x) ps(x)=c1-1q2(x) qt(x) 由归纳法假定，有s-1=t-1，即s=t, 且适当排列次序
45、后，有p2(x)=c2c1-1q2(x)=c2q2(x),pi (x)=ciqi (x)(i=3,s) 综合、 、分解的唯一性证毕.,3.标准分解式,在f(x)的分解式中，可以把每一个不可约因 式的首项系数提出来,使其成为首项系数为1的多 项式，再将相同的不可约因式合并，于是有(1)标准分解式,其中c为f(x)的首项系数,pi(x)(i=1,2,s)是不同 的首项系数为1的不可约多项式,ri (i=1,2,s)为 正整数.,(2)标准分解式的用途,求两个多项式的最大公因式： f(x)与g(x)的最大 公因式d(x)等于那些同时在f(x)与g(x)的标准分解式 中出现的不可约多项式的方幂的乘积，
46、所带方幂等 于它在f(x)与g(x)标准分解式中所带方幂的较小的一 个.讨论整除的关系：g(x)| f(x) g(x)的不可约因式p(x)都是f(x)的 因式，且p(x)在g(x)中的幂次小于或等于在f(x)中 的幂次.,6 重因式(因式分解问题的继续),重因式定义重因式的判定与性质消除重因式,1.重因式定义,定义 p(x)为不可约多项式,如果pk(x)|f (x),而pk+1(x)f(x),称p(x)为多项式f(x)的k重因式.若k=0,p(x)根本不是f(x)的因式；若k=1,p(x)称为f(x)的单因式；若k1,p(x)称为f(x)的重因式.许多问题中,要求所讨论的多项式没有重因式, 多
47、项式的近似求根法也要求所考虑的多项式没有重 根.因此判别多项式有无重因式、求其重因式及去 掉重因式是我们必须要考虑的问题.,2.重因式的判别,(1)微商(导数)的概念定义：设有多项式,性质,其微商(导数)规定为,同理，可定义高阶微商f(k)(x)（略）,(2)重因式的判定,定理 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k1), 则它是微商f(x)的k-1重因式.反之不然.证明 p(x)是f(x)的k重因式,故有f(x)= pk(x)g(x) 其中p(x)g(x).由f (x)= pk-1(x)(kg(x)p (x)+p(x)g (x) 知pk-1(x)f(x).令h(x)= kg(x)p (x)+p(x)g (x) 因p(x) p(x)g (x), p(x) g(x) p(x),故p(x) h(x). 此即证明了pk(x) f(x). 即p(x)是f (x)的k-1重因式.,
