1、金融工程 1 数学基础,随机变量的定义和分类,一. 随机变量（Random Variable, r.v.)的定义,变量X 取值不确定 但是有规律,1.离散型：考试过关与否、一段时间的事故数目,二. 随机变量的分类根据随机变量的取值,2.连续型：晚上的气温、明天的股市收盘价,3.混合型：期权合约的回报,随机变量（X）的全面刻画分布律、密度函数,1.离散型：分布律,2.连续型：密度函数（pdf）需满足下列条件,例：正态分布,（Poisson分布）,表达式,标准正态分布,随机变量（X）的全面刻画分布函数,3.混合型：密度函数画图+概率密集点具体表明,标准正态分布,密度函数（pdf）：,分布函数（cd
2、f）：,通用的刻画方式：分布函数统一但不直观,随机变量（X）的特征刻画期望,期望（均值）,确实存在的一个数，一般未知,1.离散型：分布律,定义：,2.连续型：密度函数,定义：,表示随机变量取值 大致上的一般水平,随机变量（X）的特征刻画方差,方差,确实存在的一个数，一般未知,1.离散型：分布律,定义：,2.连续型：密度函数,定义：,表示随机变量取值 大致上的分散程度,总之：,方差的性质,方差,性质1.,用途：,性质2.,定义：标准差（均方差）,性质3.,用途：,随机变量的取值整体上下移动时，方差不变,第一章 金融工程概述金融产品的定价方法,1. 绝对定价法：股票和债券,2. 相对定价法：,期货
3、，期权,标的物的价格过程是给定的（外生的），通过标的物和衍生品价格之间的内在关系，确定衍生品的价格。,内在价值（intrinsic value）：产品带来的未来现金流的折现。,易于理解，但难以应用,已知股票价格过程,满足几何布朗运动：,远期合约的价格过程：,无套利定价原理,衍生品定价,模拟计算,标准Brown运动（第十一章）,随机过程：,随机变量：,随机变量,时间序列：,在时间段,股价变动,未来第t天的股价,收益率,随时间段的加大，收益率的期望值加大，收益率的方差也加大,标准Brown运动,随机过程：,（1）在某一段时间,内，,（2）在两个不重叠的时段：,增量,是相互独立的，既有：,满足上面条
4、件的随机过程被称为：,连续时间情形：微小的时间段,上对应的变化量,（1）,（2）,标准布朗（brown)运动,一般Brown运动,随机过程：,性质：,间断时间情形：,若满足：,则称之为：,若：,漂移项,波动项,趋势,一般布朗运动,几何Brown运动,随机过程：,假如没有随机因素：,若满足：,则称之为：,漂移率,波动率,股票的收益率,性质：,几何布朗运动,伊腾(Ito)引理,随机过程：,若满足：,则称之为：几何布朗运动,为,为衍生产品的价格过程，此过程应满足下列方程：,随机过程,伊腾（Ito)引理：,为股票的价格过程（Ito过程）,其中：,伊腾（Ito)过程,伊腾(Ito)引理的证明,伊腾（It
5、o)引理：若,证明：,满足,则,满足,伊腾(Ito)引理的应用1：股票价格的对数过程,已知股票价格过程,对比：,满足几何布朗运动：,求解,Ito引理：,一般布朗运动,的运动过程,伊腾(Ito)引理的应用1：股票价格的对数过程,股票的对数价格过程,满足：,站在0期看t期：,股价的模拟,其中：,股价的对数正态性,作业1,已知：一只股票，根据历史数据，其年收益率为20，收益率每天的波动为标准差0.02,当前的股价为15元。,求：1)尝试用2种方法计算该股票价格20天后价格的期望值和标准差。,要求：所有计算均采用 Monte Carlo模拟版面漂亮，公式均用 mathtype 编辑，?月?日交电子版。
6、,?, 文件名上注明：姓名，班级，学号,2)画出20天后股票价格的密度函数图像，并计算VaR（20；99）,股票价格模拟(一) - Monte Carlo,其中：,for t (10,200,10) ; z=s0*exp(u-0.5*sgm*sgm)*t+sgm*sqrt(t)*rndn(n,1) ); e=sumc(z)/n; sg=sqrt(sumc(z-e)2)/n); (or sg=stdc(z) print t e sg; endfor;,n=1000; u=0.15/250; sgm=0.03; s0=15;,Z为t期股票价格的n个模拟观测值,站在0期预测t期股票的价格。 u为股票
7、的期望收益率（年收益率15%），sgm为股价的日标准差（0.03）。,股票价格模拟（二）,股票价格过程,s=ones(n,1+t); s.,1=s0*ones(n,1); for i(1,30,1); s.,i+1=s.,i.*exp(u-0.5*sgm2)+sgm*rndn(n,1); ds=u*s.,i+sgm*s.,i.*rndn(n,1); s.,i+1= s.,i+ds; endfor;,n=1000; u=0.15/250;sgm=0.03;s0=15;t=30; s=zeros(n,1)+s0; for i(1,30,1); ds=u*s+sgm*s.*rndn(n,1); s=
8、s+ds; endfor; print sumc(s)/n stdc(s);,利率变动过程：,Nonparametric (非参数）核估计方法,随机变量：,用频率估计概率,X是连续的随机变量：,核函数,总体,样本值,密度函数的构成,h=1.06*stdc(D)*n(-0.2);,已知样本值,n=10000;D=10*rndn(n,1);,模拟生成数据：,计算窗宽：,fn f(data,x)=sumc(pdfn(data-x)/h)/(n*h);,构造密度函数：,计算给定的函数值：,print f(D,0);,函数图象的显示,library pgraph; graphset; xy(xx,yy)
9、;,size=0.01; k=4000; xx=zeros(k,1); yy=zeros(k,1); for i(1,k,1); xxi,1=-20+i*size; yyi,1=f(D, xxi,1); endfor;,n=10000;D=10*rndn(n,1); h=1.06*stdc(D)*n(-0.2); fn f(data,x)=sumc(pdfn(data-x)/h)/(n*h); print f(D,0);,已进行：,画图程序：,（步长）,（步数）,（载入库）,（参数重置）,（画图）,图象显示,h=1.06*stdc(z)*n(-0.2); fn f(data,x)=sumc(p
10、dfn(x-data)/h)/(n*h);,library pgraph; graphset; xy(xx,yy);,size=0.01; k=5000; xx=zeros(k,1); yy=zeros(k,1); for i(1,k,1); xxi,1=i*size; yyi,1=f(z,i*size); endfor;,Z为t期股票价格的n个模拟观测值,在险价值 VaR,在险价值 VaRValue at Risk,在给定的可靠性水平下，在给定的时间内，一种证券（或资产组合）可能遭受的意外损失额。,例如： VaR（30；99）,设：Z1为30天后股票远期价值的1000个可能观测值,给定 c=
11、99% :,给定 t=30 :,VaR（30；99）=,倒数第10个可能值和平均值的差距,股票的VaR值计算（ Monte Carlo ）,其中：,站在0期预测t期股票的价格。 u为股票的期望收益率，sgm为股价的日标准差。,z=s0*exp(u-0.5*sgm*sgm)*t+sgm*sqrt(t)*rndn(n,1) ); e=sumc(z)/n; sg=sqrt(sumc(z-e)2)/n); print t e sg;,n=1000; u=0.15/250; sgm=0.03; s0=15; t=30 ;,Z为t期股票价格的n个可能观测值,y=sortc(z,1); var=e-y10; print var y10 e;,求：VaR（30；99）,股票价格过程中参数的说明,股票的价格过程,满足：,股票比例收益率的期望值,股票连续复利收益率的标准差,Gauss 数据导入,1. Excel 文件中去掉变量名(或者在.txt文件中去掉),2. 把excel 文件另存为.csv文件,3. 把.csv改为.txt文件附属名,供gauss程序提取,4. Gauss中调用语句：load d30,2=e:ww.txt;,
