1、第页 12018 届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 ( )N=x|2x4A. B. MN=x|22【答案】C【解析】 .M=xx2-5x+40=x1x4,N=x|x2所以 , .MN=x|20,b0) E x2+y22x+4y=0 C为( )A. B. C. 2 D. 552 2【答案】A【解析】圆 ： 的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .E x2+y2-2x+4y=0 E(1,-2) C y=bax依题意得 .ba=2故其离心率为 .e= a2
2、+b2a2 = 1+b2a2= 1+4= 5故选 A.6. 已知数列 为等比数列，且 ，则 ( )an a2a3a4=a27=64 tan(a4a63)=A. B. C. D. 3 3 3 33【答案】A【解析】依题意，得 ，所以 .a2a3a4=a33=-64 a3=-4由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.a27=64 a7=-8 a7=8 a7 a3所以 .a4a6=a3a7=32.tan(a4a63)=tan(323)=tan(11-3)=-tan3=- 3故选 A.7. 执行如图的程序框图，若输出的 的值为-10，则中应填( )SA. B. C. D. n0 6Sn=a2n+3
3、a,nN*若 恒成立，则 的最小值是( )nN*,kTn kA. B. C. 49 D. 71 149 8441【答案】B【解析】当 时， ，解得 或 .n=1 6a1=a21+3a1 a1=3 a1=0由 得 .由 ，得 .an0 a1=3 6Sn=a2n+3an 6Sn+1=a 2n+1+3an+1两式相减得 .6an+1=a2n+1-a2n+3an+1-3an所以 .(an+1+an)(an+1-an-3)=0因为 ，所以 .an0 an+1+an0,an+1-an=3即数列 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 .an an=3+3(n-1)=3n所以 .所以 .Tn=17(
4、18-1- 182-1+ 182-1- 183-1+ 18n-1- 18n+1-1)=17(17- 18n+1-1)Tn k149故选 B.点睛：由 和 求通项公式的一般方法为 .an Snan= S1,n=1Sn-Sn-1,n2 数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 已知在 中， ， ，若边 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则ABC |BC|=|ABCB| AB=
5、(1,2) AB D (3,1) C (t,2)第页 6_t=【答案】1【解析】依题意，得 ，故 是以 为底边的等腰三角形，故 ，|BC|=|AC| ABC AB CDAB所以 .所以 .CDAB=(3-t,-1)(1,2)=3-t-2=0 t=114. 已知 的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为(x12x)n(nN*) p q p+64q_【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .p=2n x=1 q=12n所以 .p+64q=2n+642n22n642n=16当且仅当 .即 时，取等号，此时 的最小值为 16.2n=642n n=3 p+64q15. 已知
6、， 满足 其中 ，若 的最大值与最小值分别为 ， ，则实数的取值范围为x y3x+yt,x6,y0, t2 sin(x+y) 1 12_【答案】 56,76【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线 ，z=x+y l:x+y=z当直线过点 时， 取得最小值 ；当直线过点 时， 取得最大值 .B(6,0) z 6 A(6,t-2) z t-3即 ，6x+yt-3当 或 时， .x+y=6 56 sin(x+y)=12当 时， .x+y=2 sin(x+y)=1第页 7所以 ，解得 .2t-356 56t76点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：
7、一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中，MABC平面 ， ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_MA ABC MA=AB=BC=2【答案】 2482【解析】设 的中点为 ，如图，MC O由 ，且 为直角三角形，得 .AB=BC=2 ABC ABC=90由等体积法，知 .13(SABC+SMAC+SMAB+SMBC)r=13SABCMA即 ，1312(222+222
8、2)r=1312222解得 .r= 2-1故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 .4(R2+r2)=4(3+3-22)=24-82三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数 ， .f(x)=cos2x+ 3sin(x)cos(+x)12 xR（）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；f(x)（）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，求ABC A B C a b c f(A)=1 a=3 bsinC=asinA的面积.ABC【答案】 （1）最小正周期 ，对称轴方程为 ；（2） .T=22= x=k2+3(kZ) 934【解析】试题分析
9、：（1）化简函数得 ，其最小正周期 ，令 即可f(x)=-sin(2x-6) T=22= 2x-6=2+k(kZ)解得对称轴；第页 8（2）由 ，解得 ，由正弦定理及 ，得 ，利用 即可得解.f(A)=-1 A=3 bsinC=asinA bc=a2=9 SABC=12bcsinA试题解析：（1）原式可化为，f(x)=cos2x- 3sinxcos-12，=1+cos2x2 - 32sin2x-12，=sin(6-2x)=-sin(2x-6)故其最小正周期 ，T=22=令 ，2x-6=2+k(kZ)解得 ，x=k2+3(kZ)即函数 图象的对称轴方程为，f(x).x=k2+3(kZ)（2）由（
10、1） ，知 ，因为 ，所以 .0| n BDF试题解析：（1）当 时， 平面 .=12 CE/ BDF证明如下：连接 交 于点 ，连接 .AC BD G GF ，CD/AB,AB=2CD .CGGA=CDAB=12 ， .EF=12FA EFFA=CGGA=12 .GF/CE又 平面 ， 平面 ，CE BDF GF BDF 平面 .CE/ BDF（2）取 的中点 ,连接 .则 .AB O EO EOAB平面 平面 ，平面 平面 ，且 ，ABE ABCD ABE ABCD=AB EOAB 平面 .EO ABCD ，且 ，BO/CD BO=CD=1四边形 为平行四边形， .BODC BC/DO又
11、， .BCAB AB/DO由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .OA,OD,OE Oxyz则 ， ， ， ， ， .O(0,0,0) A(0,1,0) B(0,-1,0) D(1,0,0) C(1,-1,0) E(0,0, 3)当 时，有 ，=1 EF=FA可得 .F(0,12, 32) ， ， .BD=(1,1,0) CE=(-1,1, 3) BF=(1,32, 32)设平面 的一个法向量为 ，BDF n=(x,y,z)第页 10则有 即nBD=0,nBF=0, x+y=0,32y+32z=0, 令 ，得 ， .z= 3 y=-1 x=1即 .n=(1,-1, 3)设 与平面 所成的
12、角为 ，CE BDF 则 .sin=|cos|=|-1-1+3|55 =15当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .=1 CE BDF15点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； 求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借助网络进行了
13、关于网络外卖的问A A卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？A（）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人A数为 ，求 的数学期望和方差.X X参考公式： ，其中 .n=a+b+c+d参考数据：第页 11【答案】 （1）见解析；（2） ，见解析
14、.710【解析】试题分析：（1）计算 的值，进而可查表下结论；K2（2）由分层抽样的抽样比计算即可；由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为 ，将频率视为概率，即从 市市民中22110200=1120 A任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 ，由题意得 .1120 XB(10,1120)试题解析：（1）由列联表可知 的观测值， .K2 k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(5040-5060)2110901001002.020b0) F1 F2 12 23（）求椭圆 的标准方程；C（）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的
15、直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：四F1 l1 C MN F2 l2 C P Q l1/l2边形 不可能是菱形.MNPQ【答案】 （1） ；（2）见解析.x24+y23=1【解析】试题分析：（1）由 ， 及 ，可得方程；ca=12b= 3 c2=a2-b2（2）易知直线 不能平行于 轴，所以令直线 的方程为 与椭圆联立得 ，MN x MN x=my-1 (3m2+4)y2-6my-9=0第页 12令直线 的方程为 ，可得 ，进而由 是菱形，则 ，即 ，PQ x=my+1 |MN|=|PQ| MNPQ OMON OMON=0于是有 由韦达定理代入知无解.x1x2+y1y2=0试题解析：（
16、1）由已知，得 ， ，ca=12 b= 3又 ，c2=a2-b2故解得 ，a2=4,b2=3所以椭圆 的标准方程为 .Cx24+y23=1（2）由（1） ，知 ，如图，F1(-1,0)易知直线 不能平行于 轴.MN x所以令直线 的方程为 ，MN x=my-1， .M(x1,y1) N(x2,y2)联立方程 ，3x2+4y2-12=0,x=my-1, 得 ，(3m2+4)y2-6my-9=0所以 ， .y1+y2=6m3m2+4 y1y2= -93m2+4此时 ，|MN|= (1+m2)(y1+y2)2-y1y2同理，令直线 的方程为 ，PQ x=my+1， ，P(x3,y3) Q(x4,y4
17、)此时 ， ，y3+y4=-6m3m2+4 y3y4= -93m2+4此时 .|PQ|= (1+m2)(y3+y4)2-4y3y4故 .|MN|=|PQ|所以四边形 是平行四边形.MNPQ第页 13若 是菱形，则 ，即 ，MNPQ OMON OMON=0于是有 .x1x2+y1y2=0又 ，x1x2=(my1-1)(my2-1)，=m2y1y2-m(y1+y2)+1所以有 ，(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=0整理得到 ，-12m2-53m2+4=0即 ，上述关于 的方程显然没有实数解，12m2+5=0 m故四边形 不可能是菱形.MNPQ21. 已知函数， 其中 为自然对数的底数.f
18、(x)=ex(1+a)xb(a,bR) e（）讨论函数 的单调性及极值；f(x)（）若不等式 在 内恒成立，求证： .xRb(a+1)2 0（2）当 时， 在 内单调递增，可知 在 内不恒成立，当 时， a-1 f(x) R f(x)0 xR a-1 f(x)min=f(ln(1+a)=，即 ，所以 .令a+1-b-(a+1)ln(a+1)0 a+1-(a+1)ln(a+1)b (a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)，进而通过求导即可得最值.g(x)=x2-x2lnx(x0)试题解析：（1）由题意得 .f(x)=ex-(1+a)当 ，即 时， ， 在 内单调递增，没有极值.1+a
19、0 a-1 f(x)0 f(x) R当 ，即 ，1+a0 a-1令 ，得 ，f(x)=0 x=ln(a+1)当 时， ， 单调递减；xln(a+1) f(x)0 f(x)故当 时， 取得最小值 ，无极大值.x=ln(a+1) f(x) f(ln(a+1)=a+1-b-(1+a)ln(a+1)综上所述，当 时， 在 内单调递增，没有极值；a-1 f(x) R当 时， 在区间 内单调递减，a-1 f(x) (-,ln(1+a)第页 14在区间 内单调递增， 的极小值为 ，无极大值.(ln(1+a),+) f(x) a+1-b-(1+a)ln(a+1)（2）由（1） ，知当 时， 在 内单调递增，a
20、-1 f(x) R当 时， 成立.a=-1b(a+1)2 =0-1 f(x)min=f(ln(1+a)=a+1-b-(a+1)ln(a+1)0即 ，a+1-(a+1)ln(a+1)b所以 .(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)令 ，g(x)=x2-x2lnx(x0)则 .g(x)=x(1-2lnx)令 ，得 ，g(x)0 0 e故 在区间 内单调递增，g(x) (0, e)在区间 内单调递减.( e,+)故 ，g(x)max=g( e)=e-elne=e2即当 时， .a+1= ea= e-1 g(x)max=e2所以 .(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)e2
21、所以 .b(a+1)2 e4而 ，e0第页 15的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立f(x)min0 f(x)g(x) f(x)ming(x)max请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ ， 为参数）.以坐标原点 为极点，xOy C x=tcos,y=sin t0 O轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .x 2sin(+4)=3（）当 时，求曲线 上的点到直线的距离的最大值；t=1 C（）若曲线 上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.C【答案】 （1） ；（2） .2+322 (0,22)【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程 ，进而由圆的参数方程得曲线 上x+y-3=0 C的点到直线的距离， ，利用三角函数求最值即可；| 2sin(+4)-3|2（2）曲线 上的所有点均在直线的下方，即为对 ，有 恒成立，即C R tcos+sin-30 00 . .t2+13t+3t
