1、第页 12018 届河北省衡水金卷全国高三大联考文科数学试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ）M=x|x25x+40 MNA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题得，集合 ，所以 .M=x|x2-5x+40=x|1x4 MN=1,2,3集合 中元素的个数为 3.MN故选 C.2. 已知命题 ： ， ，则命题 为（ ）p xR (2x)120 xR (1x)120C. ， D. ，xR (1x)120 x0R (2x0
2、)120【答案】D【解析】含有一个量词的命题的否定写法是“变量词，否结论” ，故 为 ， .p x0R (2-x0)120故选 D.3. 已知复数 （为虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）z=5i2i1 zA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D所以复数 在复平面内对应的点的坐标为(2,-1)，位于第四象限.z故选 D.4. 已知双曲线 ： 的一个焦点为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）C (5,0) CA. B. 4x3y=0 16x9y=0第页 2C. D. 4x 41y=0【答案】A【解析】由题意得， ，则 ，即 .a2=c2-16=9 a=
3、3所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 .C y=43x 4x3y=0故选 A.5. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 36310mm2 3635mm2 36320mm2【答案】B【解析】根据题意可估计军旗的面积大约是 .S=30100112=36310mm2故选 B.6. 下列函数中，与函数 的定义域
4、、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）y=12x2xA. B. y=sinx y=x2C. D. y=1x【答案】D【解析】函数 为奇函数，且在 R 上单调递减，y=12x-2x对于 A， 是奇函数，但不在 R 上单调递减；y=sinx对于 B， 是奇函数，但在 R 上单调递增；y=x3对于 C，y=1x定 义 域 不 同 ；第页 3对于 D，画出函数图象可知函数 是奇函数，且在 R 上单调递减，故选 D.7. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直
5、径可知其侧视图为 A.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）a=log54log52 b=ln23+ln3 c=1012lg5 a ， b ， cA. B. C. D. a
6、log2e1所以 ，即 1 a2.072所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关.A（2） （i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中，经常使用共享单车的有 （人） ，560100=3第页 10偶尔或不用共享单车的有 （人）.540100=2（ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 .a ， b ， c d ， e则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共(a,b) (a,c) (a,d) (a,e) (b,c) (b,d) (b,e) (c,d
7、) (c,e) (d,e)10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 ，共 1 种.(d,e)故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 .P=1-110=910点睛：典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20. 已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，直线： 与椭圆 交于 两点.Cx2a2+y2b2=1(ab
8、0) (2,1) 22 kxy+2=0 C A ， B（1）求椭圆 的标准方程；C（2）是否存在实数 ，使得 （其中 为坐标原点）成立？若存在，求出实数 的值；若k |OA+OB|=|OAOB| O k不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2） .x24+y22=1 k= 2【解析】试题分析：（1）根据题意得 ，从而可得方程；2a2+1b2=1,ca=22,a2=b2+c2, （2）直线和椭圆联立得 ，设 ， ，由 ，得(1+2k2)x2+8kx+4=0 A(x1,y1) B(x2,y2) |OA+OB|=|OA-OB|，即 ，由韦达定理代入即得.OAOB=0 x1x2+y1y2=0试题解
9、析：（1）依题意，得2a2+1b2=1,ca=22,a2=b2+c2, 解得 ， ， ，a2=4 b2=2 c2=2故椭圆 的标准方程为 .Cx24+y22=1第页 11（2）假设存在符合条件的实数 .k依题意，联立方程 y=kx+2,x2+2y2=4, 消去 并整理，得 .y (1+2k2)x2+8kx+4=0则 ，=64k2-16(1+2k2)0即 或 .k22 k0 1-2x0解得 ；012故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .f(x) (0,12) (12,+)（2）由题得， .g(x)=f(x)+4x+alnx=1x+alnx依题意，方程 有实数根，1x+alnx-a=0即函
10、数 存在零点.h(x)=1x+alnx-a又 .h(x)=-1x2+ax=ax-1x2令 ，得 .x=1a当 时， .a0h(e1-1a)= 1e1-1a+a(1-1a)-a= 1e1-1a-10 h(x) h(x) x所以 为函数 的极小值，也是最小值.h(1a)=a+aln1a-a=-alna h(x)当 ，即 时，函数 没有零点；h(1a)0 00所以函数 存在零点.h(x)综上所述，当 时，方程 有实数根.a(-,0)1,+) g(x)=a点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参
11、数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C x=2cosy=sin x直线的极坐标方程为 .2sin(+4)=3（1）求曲线 的普通方程及直线的直角坐标方程；C（2）求曲线 上的点到直线的距离的最大值 .C【答案】 （1）曲线 的普通方程为 ，直线的普通方程为 ；（2） .Cx24+y2=1 x+y3=0 10
12、+322【解析】试题分析：（1）利用 消去参数得曲线 的普通方程为 ，利用sin2+cos2=1 Cx24+y2=1得直线的普通方程为x=cos，y=sin x+y-3=0；（2）利用圆的参数方程得 ，进而由三角求最值即可.d=|2cos+sin-3|2 =| 5sin(+)-3|2试题解析：（1）由曲线 的参数方程 （ 为参数） ，C x=2cosy=sin 得曲线 的普通方程为 .Cx24+y2=1由 ，2sin(+4)=3得 ，(sin+cos)=3即 .x+y=3直线的普通方程为 .x+y-3=0（2）设曲线 上的一点为 ，C (2cos,sin)则该点到直线的距离 d=|2cos+s
13、in-3|2第页 14（其中 ）.=| 5sin(+)-3|2 tan=2当 时，sin(+)=-1.dmax=| 5+3|2 =10+322即曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .C10+32223. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .f(x)=|2x1|+|x+1|（1）解不等式 ；f(x)3（2）记函数 的值域为 ，若 ，试证明： .g(x)=f(x)+|x+1| M tM t22t3【答案】 （1） ；（ 2）见解析.x|1x1【解析】试题分析：（1）利用分段去绝对值解不等式；（2） ，得 ，由 即可g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|2x-1-2x-2|=3 M=3,+) t2-2t-3=(t-3)(t+1)证得.试题解析：（1）依题意，得f(x)=-3x,x-1,2-x,-10第页 15 .(t-3)(t+1)0 .t2-2t3
