1、第 1 页（共 19 页）等腰三角形补充练习一选择题（共 3 小题）1在ABC 中，B=30，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，AD=BD ，DE=CE ，若ADE 为等腰三角形，则C 的度数为（ ）A20 B20或 30 C30 或 40 D20 或 402如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A、B 是格点，以 A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为（ ）A7 个 B8 个 C9 个 D10 个3如图所示，在ABC 中， AB=AC，BAD=，且 AE=AD，则EDC=（ ）A B C D 2填空题（共 14 小题）5在同一平面内，已知点 P 在等边ABC 外
2、部，且与等边ABC 三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC 的度数为 6等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 45，则这个三角形的底角为 第 2 页（共 19 页）7有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是 度8如图，BAC= （090） ，现只用 4 根等长的小棒将BAC 固定，从点A1 开始依次向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根小棒，且 A1A2=AA1，则角 的取值范围是 9如图，在ABC 中，AC=BC AB，点 P 为ABC 所在平面内一点，且点 P 与ABC 的任意两个顶点构成PAB，PBC，
3、PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点 P 的个数为 个10如图所示，ABC 为等边三角形， AQ=PQ，PR=PS，PR AB 于 R，PS AC于 S，则四个结论正确的是 P 在 A 的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP第 3 页（共 19 页）11如图，在ABA 1 中，B=20 ，AB=A 1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1 到A2，使得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得 A2A3=A2D；，按此做法进行下去，A n 的度数为 12已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9 和 12 两部分，则腰长为 ，底边
4、长为 13如图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的两动点，且总使AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AGCD 于点 G，则 = 14如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC=80 ，P 在ABC 内，PBC=10，PCB=30，则PAB= 15线段 AB 和直线 l 在同一平面上则下列判断可能成立的有 个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使ABP 为等腰三角形第 4 页（共 19 页）直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使ABP 为等腰三角形直线
5、l 上恰好只有个 5 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使ABP 为等腰三角形16如图，ABC 为正三角形，面积为 SD 1，E 1，F 1 分别是ABC 三边上的点，且 AD1=BE1=CF1= AB，可得 D 1E1F1，则D 1E1F1 的面积 S1= ；如，D2，E 2，F 2 分别是 ABC 三边上的点，且 AD2=BE2=CF2= AB，则D 2E2F2 的面积S2= ；按照这样的思路探索下去，D n，E n，F n 分别是ABC 三边上的点，且ADn=BEn=CFn= AB，则 Sn= 17已知等腰ABC 的周长为 10，若设腰长为 x，则 x 的
6、取值范围是 18如图，一个顶角为 40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 度第 5 页（共 19 页）2017 年 08 月 23 日 139*2832 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 4 小题）1 （2016 秋资中县期末）在ABC 中，B=30 ，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC边上，AD=BD，DE=CE ，若ADE 为等腰三角形，则C 的度数为（ ）A20 B20或 30 C30 或 40 D20 或 40【解答】解：如图所示，AD=BD，B=30 ，ADC=60，DE=CE ，可设C=EDC= ，则ADE=60，AED=2 ，根据三角形内角
7、和定理可得，DAE=120，分三种情况：当 AE=AD 时，有 60=2，解得 =20；当 DA=DE 时，有 120=2，解得 =40；当 EA=ED 时，有 120=60，方程无解，综上所述，C 的度数为 20或 40，故选：D2 （2016 春乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为 1，A、B 是第 6 页（共 19 页）格点，以 A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为（ ）A7 个 B8 个 C9 个 D10 个【解答】解：如图所示，以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C 8、C 7 即为点 C 的位置；以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，则
8、圆弧经过的格点 C1、C 2、C 6、C 4、C 5 即为点C 的位置；作线段 AB 的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点故以 A、B、C 为等腰三角形顶点的所有格点 C 的个数为 8 个故选（B）3 （2015天心区校级自主招生）如图，已知等边ABC 外有一点 P，P 落在BAC 内，设 P 到 BC、CA、AB 的距离分别为 h1，h 2，h 3，满足 h2+h3h1=6，那么等边ABC 的面积为（ ）A4 B8 C9 D12【解答】解：设等边三角形 ABC 的边长为 a，连接 PA、PB、PC，则SPAB +SPAC SPCB =SCAB ，第 7 页（共 19 页）即 ah1+ ah2
9、 ah3= ， a（h 2+h3h1）= ，h 2+h3h1=6，a=4 ，S CAB = =12 ，故选（D） 4 （1998杭州）如图所示，在ABC 中，AB=AC， BAD= ，且 AE=AD，则EDC=（ ）A B C D 【解答】解：根据题意：在ABC 中，AB=ACB= CAE=ADADE= AED，即B+EDC=C+EDC化简可得：=2 EDCEDC= 故选 A第 8 页（共 19 页）二填空题（共 14 小题）5 （2016江西模拟）在同一平面内，已知点 P 在等边ABC 外部，且与等边ABC 三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则APC 的度数为 15或 30
10、或 60或 75或 150 【解答】解：根据点 P 在等边ABC 外部，且与等边ABC 三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：AP 1C=15， AP 2C=30，AP 3C=60，AP 4C=75，AP 5C=150故答案为：15 或 30或 60或 75或 1506 （2016 秋东阿县期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 45，则这个三角形的底角为 67.5或 22.5 【解答】解：有两种情况；（1）如图，当ABC 是锐角三角形时， BDAC 于 D，则ADB=90 ，已知ABD=45 ，A=90 45=45，第 9 页（共 19 页）AB=
11、AC，ABC=C= （18045）=67.5；（2）如图，当EFG 是钝角三角形时，FHEG 于 H，则FHE=90，已知HFE=45，HEF=9045=45，FEG=180 45=135，EF=EG，EFG=G= （180135）=22.5，故答案为：67.5 或 22.57 （2013香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是 36或 60 度【解答】解：假设等腰三角形甲为 ABC，等腰三角形乙为 DEF（如图所示） 顶角为 D 根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将 D 挪到 B 点，
12、使 BC 与 DE 重合，DF 与 AB 重合，如果 A 为锐角，则 F 点在 AB 边上，由于 CF=AC，由图知是不可能的如果 A 为钝角，则 F 点在 AB 延长线上，由于 CF=AC，得知乙的底角=2 倍的顶角=2 倍甲的底角，故可以解得甲的底角是 36 度；当等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，1= 2=3=60，即甲的底角是 60第 10 页（共 19 页）故答案是：36 或 608 （2013泰州一模）如图，BAC=（0 90 ） ，现只用 4 根等长的小棒将BAC 固定，从点 A1 开始依次向右摆放，其中 A1A2 为第 1 根小棒，且A1A2=AA1，则角 的取值范围是 182
13、2.5 【解答】解：A 1A2=AA1 1= A2A1A3=2， 2= A2A4A3=+2=3， 3= A2A4A3+=4，由题意得： ，1822.59 （2013宜兴市一模）如图，在ABC 中，AC=BCAB，点 P 为ABC 所在平面内一点，且点 P 与ABC 的任意两个顶点构成PAB，PBC，PAC 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点 P 的个数为 6 个第 11 页（共 19 页）【解答】解：如图所示，作 AB 的垂直平分线，ABC 的外心 P1 为满足条件的一个点，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆， P2、P 3 为满足条件的点，分别以点 A、B 为圆心，以 AC 长为半
14、径画圆，P 4 为满足条件的点，分别以点 A、B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，P 5、P 6 为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点 P 的个数为 6故答案为：610 （2013安徽模拟）如图所示，ABC 为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR AB 于 R，PS AC 于 S，则四个结论正确的是 P 在 A 的平分线上； AS=AR； QPAR； BRPQSP第 12 页（共 19 页）【解答】解：PR=PS，PRAB，PSAC ，P 在 A 的平分线上，在 RtARP 和 RtASP 中， ，RtARPRtASP （HL） ，AS=AR ， QAP=PAR，AQ=PQ，PAR=
15、 QPA，QPA=QARQP AR，ABC 为等边三角形，B= C=BAC=60，PAR= QPA=30，PQS=60，在BRP 和 QSP 中， ，BRP QSP（AAS） ，项四个结论都正确，故答案为第 13 页（共 19 页）11 （2012贵阳）如图，在ABA 1 中，B=20，AB=A 1B，在 A1B 上取一点 C，延长 AA1 到 A2，使得 A1A2=A1C；在 A2C 上取一点 D，延长 A1A2 到 A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，A n 的度数为 【解答】解：在ABA 1 中，B=20 ，AB=A 1B，BA 1A= = =80，A 1A2=A1C，BA
16、1A 是A 1A2C 的外角，CA 2A1= = =40；同理可得，DA 3A2=20，EA 4A3=10，A n= 故答案为： 12 （2012枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9和 12 两部分，则腰长为 8 或 6 ，底边长为 5 或 9 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长 AB=AC=2x，BC=y，BD 是腰上的中线，AD=DC=x，若 AB+AD 的长为 12，则 2x+x=12，解得 x=4，则 x+y=9，即 4+y=9，解得 y=5；若 AB+AD 的长为 9，则 2x+x=9，第 14 页（共 19 页）解得 x=3，则 x+
17、y=12，即 3+y=12，解得 y=9；所以等腰三角形的底边为 5 时，腰长为 8；等腰三角形的底边为 9 时，腰长为 6；故答案为：8 或 6；5 或 913 （2011济宁）如图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的两动点，且总使 AD=BE，AE 与 CD 交于点 F，AGCD 于点 G，则 = 【解答】解：AD=BE ，CE=BD，等边三角形 ABC，CAE DCB，DCB=CAE，AFG= CAF+ACF= ACF+DCB=60 ，AGCD，FAG=30，第 15 页（共 19 页）FG：AF= 故答案为： 14 （2011鄂州校级模拟）如图所示，在ABC 中
18、，AB=AC，BAC=80，P 在ABC 内，PBC=10 ， PCB=30，则PAB= 70 【解答】解：在 BC 下方取一点 D，使得三角形 ABD 为等边三角形，连接DP、DCAD=AB=AC ，DAC=BACBAD=20，ACD=ADC=80 ，AB=AC，BAC=80 ，ABC=ACB=50，CDB=140= BPC，又DCB=30= PCB，BC=CB ，BDCBPC，PC=DC，又PCD=60，DPC 是等边三角形，APDAPC，DAP=CAP= DAC= 20=10，PAB=DAP+DAB=10+60=70第 16 页（共 19 页）或由BDCBPC，BP=BD=BABAP=B
19、PA又ABP= ABCPBC=40BAP=（18040）/2=70故答案为：70 15 （2011海曙区模拟）线段 AB 和直线 l 在同一平面上则下列判断可能成立的有 5 个直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使ABP 为等腰三角形直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使ABP 为等腰三角形【解答】解：要使APB 是等腰三角形，分为三种情况： AP=BP （即作 A
20、B 的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）直线 l 上恰好只有个 1 点 P，使ABP 为等腰三角形正确；AB=AP（以 A 为圆心，以 AB 为半径画弧，交直线于两点） ，即直线 l 上恰好只有个 2 点 P，使ABP 为等腰三角形正确；直线 l 上恰好只有个 3 点 P，使ABP 为等腰三角形正确；AB=BP（以 B 为圆心，以 AB 为半径画弧，交直线于两点）即直线 l 上恰好只有个 4 点 P，使ABP 为等腰三角形正确；第 17 页（共 19 页）直线 l 上恰好只有个 5 点 P，使ABP 为等腰三角形正确；1+2 +2=5，直线 l 上恰好只有个 6 点 P，使ABP 为等腰三角
21、形错误；故答案为：516 （2011拱墅区校级模拟）如图，ABC 为正三角形，面积为 SD 1，E 1，F 1分别是ABC 三边上的点，且 AD1=BE1=CF1= AB，可得D 1E1F1，则D 1E1F1 的面积 S1= S ；如，D 2，E 2，F 2 分别是ABC 三边上的点，且AD2=BE2=CF2= AB，则D 2E2F2 的面积 S2= S ；按照这样的思路探索下去，Dn，E n，F n 分别是 ABC 三边上的点，且ADn=BEn=CFn= AB，则 Sn= S 【解答】解：ABC 为正三角形，AB=BC=AC，A=B= C=60，AD 1=BE1=CF1= AB，BD 1=C
22、E1=AF1= AB，AD 1F1BD 1E1CE 1F1，设等边ABC 的边长为 a，则 S= a2sin60，第 18 页（共 19 页）AD 1F1 的面积= a asin60= S，D 1E1F1 的面积 S1=S3 S= S；同理，AD 2=BE2=CF2= AB 时，BD2=CE2=AF2= AB，AD 2F2 的面积 S2= a asin60= S，D 2E2F2 的面积 S2=S3 S= S；ADn=BEn=CFn= AB 时，BDn=CEn=AFn= AB，AD nFn 的面积= a asin60= S，D nEnFn 的面积 Sn=S3 S= S故答案为： S， S， S17 （2009滨州）已知等腰ABC 的周长为 10，若设腰长为 x，则 x 的取值范围是 x5 【解答】解：依题意得：102xxx10 2x+x，解得 x5故填 x518 （2005江西）如图，一个顶角为 40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2= 220 度第 19 页（共 19 页）【解答】解：如图，ABC 中，A +B=180 C=18040=140；四边形中，1+2=360（A +B）=360 140=220故填 220
