1、江苏省泗洪中学高三数学 2015 届上学期期中测试题（理科）试卷2014-10-23命题：曹树全 校对：刁俊东一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 A = 1，0 ，1，B = 0 ，1，2，3 ，则 AB = 2.写出命题:“若 x=3，则 x2-2x-3=0”的否命题: 3.已知集合 若 则锐角 ,cos,4已知命题 p： ，使 ；命题 q： ，都有 给出下列xR5in2xxR210x命题：（1）命题“ ”是真命题；（ 2）命题“ ”是假命题；（3）命题“qp”是真命题；（4）命题 “ ”是假命题其中正确的是 （填序号）
2、qp5已知定义域为 R的函数 12()xfa是奇函数，则 a 6.在曲线 的所有切线中,斜率最小的切线的方程为 31yx7.将 2sin的图像向右平移 单位（ 0） ，使得平移后的图像过点 ),23(则的最小值为 8.已知定义在 R 上的奇函数 在区间 上单调递增，若 ， 的内角()fx(,)1()0fABC满足 ，则 的取值范围是 A(cos)0fA9.已知函数 的图象上有一个最高点的坐标为in0,2yx由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 轴交于点 则此解析式为 2, x6,0 10定义在 R 上的奇函数 对任意 都有 ，当 时，()fxR()4)f(2)x，则 ()2xf(015)(
3、24)ff11.已知函数 = 为奇函数，则不等式 的解集为 f2,0,3xab()fx412圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为 (0)yx210xy 13函数 的图象经过四个象限的充要条件是 321faa14设 a、b 均为大于 1 的自然数，函数 ， ，若存在实xabxfsin)(bxgcos)(数 k，使得 ，则 )(kgfa二、解答题：本大题共6小题 , 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 14 分）已知 ，()sincosfxx（1）若 ，求 的最大值及对应的 的值.3af（2）若 ， ，求 的值.
4、04f1(0)5fxtanx16. (本小题满分 14 分)已知函数 bxaxf23)(（1 ）若 ， ，求 的单调减区间a1b（2 ）若 在 处有极值，求 的最大值)(xf1ab17. (本小题满分 14 分)定义：在 R 上的函数 f( )满足：若任意 R，都有 f( )x12,x21x，则称函数 f( )是 R 上的凹函数. 已知二次函数 ( R, ()212xffx()fa0) .a（1 ）求证：当 0 时，函数 f(X)是凹函数；a（2 ）如果 0,1时， ，试求实数 的范围 .x1xa18. (本小题满分 16 分)我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800
5、 万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）每天的旅游人数 xf与第 天近似地满足 （千8()fx人） ，且参观民俗文化村的游客人均消费 近似地满足 2143xg（元） ()g（1 ） 求该村的第 天的旅游收入 （单位千元，1 x30， ）的函数关系；xp*N（2 ） 若以最低日收入的 20作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的 5的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19. (本小题满分 16 分)设二次函数 2()(,)fxabcR满足下列条件:当 xR时, (fx的最小值为 0,且 1fx恒成立;当 05
6、)时, 2)4|2x恒成立.(1)求 (1f的值;(2)求 )x的解析式;(3)求最大的实数 ,使得存在实数 ,只要当 1,xm时,就有 ()2fxt成立(1)mt20(本小题满分 16 分)已知函数 ，(),()lnxfeg（1）求证： ;(1fx(2)设 ,求证：存在唯一的 使得 图象在点 ( )处的切线 与01x0x()gA0,xgl图象也相切；()yf（3）求证：对任意给定的正数 ,总存在正数 ,使得 成立. ax()1|fa第卷（附加题 共 40 分）21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 、D 四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分B （本小题满分 10 分）选修
7、 42：矩阵与变换若二阶矩阵 满足 M17036（1 ）求二阶矩阵 ；（2 ）把矩阵 所对应的变换作用在曲线 上，求所得曲线的方程223861xyC （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 E： ，过点 （ 为锐角且 ）作2sincos(5)A， 3tan4平行于 的直线 l，且 l 与曲线 E 分别交于 B， C 两点4()R（1 ）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线 E 与直线 l 的普通方程；（2 ）求 BC 的长【必做题】第 22 题，第 23 题，每题 10 分，共计 20 分22 （本小题满分
8、10 分）某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4 次为止李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7，0.8， 0.9（1 ）求在一年内李明参加驾照考试次数 X 的分布列和数学期望；（2 ）求李明在一年内领到驾照的概率23 （本小题满分 10 分）已知点 (1,0)A， (,)F，动点 P满足 2|AFP(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)在直线 l： 2yx上取一点 Q，过点 作轨迹 C的两条切线，切点分别为 ,MN问：是否存在点 ，使得直线
9、MN/l？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由一、填空题：( 每题 5 分，共计 70 分)1已知集合 A = 1，0 ，1，B = 0 ，1，2，3 ，则 AB = 0，1 2.写出命题:“若 x=3，则 x2-2x-3=0”的否命题: “若 则 ”3x20x3.已知集合 若 则锐角 11,cos,4已知命题 p： ，使 ；命题 q： ，都有 给出下列xR5in2xxR210x命题：（1）命题“ ”是真命题；（ 2）命题“ ”是假命题；（3）命题“qp”是真命题；（4）命题 “ ”是假命题其中正确的是 （2 ） （3） qp（填序号） 5已知定义域为 R的函数 12()xfa是奇函
10、数，则 a 2 6.在曲线 的所有切线中,斜率最小的切线的方程为_.y=-3x+131yx7.将 2sin的图像向右平移 单位（ 0） ，使得平移后的图像过点 ),23(则的最小值为 68.已知定义在 R 上的奇函数 在区间 上单调递增，若 ， 的内角()fx(0,)1()02fABC满足 ，则 的取值范围是 A(cos)0fA(,),39.已知函数 的图象上有一个最高点的坐标为in0,2yx由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图像与 轴交于点 则此解析式为 2, x6,0 10定义在 R 上的奇函数 对任意 都有 ，当 时，()fxR()4)f(2)x，则 ()2xf(01524ff11、已知
11、函数 = 为奇函数，则不等式 的解集为 )f2,0,3xab()fx4-4（12圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为 2(0)yx210xy 22(1)()5x13函数 的图象经过四个象限的充要条件是 321faxax14设 a、b 均为大于 1 的自然数，函数 ， ，若存在实xabfsin)(bxgcos)(数 k，使得 ，则 4 )(kgfa二、填空题：本大题共 6 小题，共计 70 分15、 （本小题满分 14 分）已知 ，sincosfxx（1）若 ，求 的最大值及对应的 x 的值.3af（2）若 ， ，求 tanx 的值.04f1(0)5fx15、解：（1） （2 分
12、）sin3cos2in(3f x当 sin() )3xxkz时 f(x)有最大值 2; （6 分）2()6kzsi8y 6351a(2) (8 分）014fasinco5x21(incos)5x12sinco5xA或21(s)s03s4in5x4cos53ixtanx= （14 分）(0,)x3cos54inx16.已知函数 bxaxf23)(（1 ）若 ， ，求 的单调减区间a1b)(f（2 ）若 在 处有极值，求 的最大值)(xf17.定义：在 R 上的函数 f( )满足：若任意 R，都有 f( )x12,x21x ，则称函数 f( )是 R 上的凹函数. 已知二次函数 f(X)= X +
13、X( R, )(212fxf a20) .a（1 ）求证：当 0 时，函数 f(X)是凹函数；a（2 ）如果 x 0,1时，|f(x)|1 ，试求实数 的范围.a解：（1）对任意 X 0,R,21f(X )+ f (X )-2 f( ( )2)2121 xxa2)121x= X 0.a212121 )(axf( f . )x)(f函数 f(X)是凹函数. 6 分（2 ）由| f(X)|1 -1f(X) 1 -1 +X1.(*)2ax当 X=0 时， R;a当 X(0,1时，(*)即 ,1,2恒 成 立x即 10 分.4)21(2恒 成 立xaX (0,1, 1.当 =1 时， -( + ) -
14、 取得最大值是-2 ；当 =1 时，( - ) - 取得最小值是 0.x1214x1214-2 0 ,结合 0，得-2 0.aa综上， 的范围是-2,0). 14 分18. （本小题满分 16 分）我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800 万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按 30 天计算）每天的旅游人数 xf与第 x 天近似地满足 xf8（千人） ，且参观民俗文化村的游客人均消费 xg近似地满足 2143g（元） （3 ） 求该村的第 x 天的旅游收入 p（单位千元，1x 30 ， Nx）的函数关系；（4 ） 若以
15、最低日收入的 20作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的 5的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？解：依据题意，有 p(x)=f (x)g(x)= （1x30，x N* ）|)2|143()8= 4 分*),302.(1308,976Nxx(2)1当 12x， *N时，968968()77152px(当且仅当 1x时，等号成立) ，因此，p (x)min=p(11)=1152（千元）. 8 分2当 221),使得存在实数 t,只要当 1,xm时,就有 ()2fxt成立20已知函数 ，(),()lnxfeg（1）求证： ;1(2)设 ,求证：存在唯一的 使得 g(x)图象在
16、点 A( )处的切线 与 y=f(x)图01x0x0,(xgl象也相切；（3）求证：对任意给定的正数 a,总存在正数 x,使得 成立. 1|fa20、 （1）令 ，1,xFeR得 ,0x当 时 当 时 ;A0x,;FxA，min由最小值定义得 即 （4 分）minFx1xe（2） 在 处切线方程为 g000lny设直线 与 图像相切于点 ，则 (6 分)lxye1,x:11xye由得 01lnx下证 在 上存在且唯一.,令 ，l1Gxx21 0xG在 上 .,A又 图像连续， 存在唯一 使式22300,eex0x1,成立，从而由可确立 .故得证（10 分）1x（3） 由（1）知 即证当 时不等
17、式 即0fa1xea在 上有解.xea,令 ，即证 （12 分）1HminHx由 得 . 0xl10a当 时， ，0ln,A当 时， .ax.minl1xlnl1a令 ，其中V1a则 ， .ll0xVxA0V综上得证(16 分)110lxe第卷（附加题 共 40 分）21 B （1） （2 ） ；21xyC曲线 E： ，直线 l： ；2yx22 （ 1）分布列：X 1 2 3 4P 0.6 0.28 0.096 0.0241.54EX（2 ） 0.997623 (1)设 (,)xy，则 (1,)Axy， (1,)FPxy， (2,0)AF，由 |APF，得 22，化简得 4x.故动点 的轨迹 C的方程 4yx. 5 分(2)直线 l方程为 (1)yx，设 0(,)Q， 1(,)Mxy ， 2(,)Ny过点 M的切线方程设为 m，代入 24，得 2140my，由 22164my，得 1，所以过点 的切线方程为 11()x，7 分同理过点 N的切线方程为 22()yx所以直线 MN 的方程为 002()y，9 分又 M/l，所以 0，得 01，而 0(1)yx，故点 Q的坐标为 1(,)2 10 分
