1、数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 1 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学 二 试题 一、选择题 1 8 小题每小题 4 分，共 32 分 设 2)(),(s in1c o s xxxx ，当 0x 时， x （ ） （ A）比 x 高阶的无穷小 （ B）比 x 低阶的无穷小 （ C）与 x 同阶但不等价无穷小 （ D）与 x 等价无穷小 2已知 xfy 是由方程 1lncos xyxy 确定，则 12lim nfnn（ ） （ A） 2 （ B） 1 （ C） -1 （ D） -2 设 2,2 ),0,s in)( xxxxf， x dttfxF0 )()(则（ ） （
2、） x 为 )(xF 的跳跃间断点 （） x 为 )(xF 的可去间断点 （） )(xF 在 x 连续但不可导 （） )(xF 在 x 可导 设函数exxxexxxf,ln 11,)1( 1)(11，且反常积分 dxxf 收敛， 则（ ） （ A） 2 （ B） 2a （ C） 02 a （ D） 20 设函数 xyfxyz ，其中 f 可微，则 yzxzyx（ ） （ A） )(2 xyyf （ B） )(2 xyyf （ C） )(2 xyfx （ D） )(2 xyfx 6设 kD 是圆域 1|),( 22 yxyxD 的第 k 象限的部分，记 kDk dxdyxyI )(，则（ ） （
3、 A） 01I （ B） 02I （ C） 03I （ D） 04I 7设，均为 n 阶矩阵，若，且可逆，则 （ A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （ B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （ C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （ D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 2 8矩阵1111aabaa 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是 （ A） 2,0 ba （ B） 0a ， b 为任意常数 （ C） 0,2 ba （ D） 2a ， b 为任意常数 二、填空题（本题
4、共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上） 9 xx xx 10)1ln (2lim 10 设 函 数 dtexf x t 1 1)(，则 )(xfy 的 反 函 数 )(1 yfx 在 0y 处 的 导 数0|ydydx 11设封闭曲线 L 的极坐标方程为 663c o s r t为参数，则 L 所围成的平面图形的面积为 12曲线上21lnarctantytx 对应于 1t 处的法线方程为 13已知 xxxxx xeyxeeyxeey 2322231 , 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足 1)0(,0)0( yy 方程的解为 14设 ijaA 是三阶非
5、零矩阵， A 为其行列式， ijA 为元素 ija 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0 jiaA ijij ，则 A = 三、解答题 15（本题满分 10 分） 当 0x 时， xxx 3co s2co sco s1 与 nax 是等价无穷小，求常数 na, 16（本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 3 xy ，直线 ax )0( a 及 x 轴所转成的平面图形， yxVV, 分别是 D 绕 x 轴和 y数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 3 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 yx VV 10 ，求 a 的值 17（本题满分 10 分） 设平面区域 D 是由曲线 8,3
6、,3 yxxyyx 所围成，求 D dxdyx2 18（本题满分 10 分） 设奇函数 )(xf 在 1,1 上具有二阶导数，且 1)1( f ，证明： （ 1）存在 )1,0( ，使得 1 f ； （ 2）存在 )1,1( ，使得 1)()( ff 19（本题满分 10 分） 求曲线 )0,0(133 yxyxyx 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离 20（本题满分 11） 设函数 xxxf 1ln)( 求 )(xf 的最小值； 设数列 nx 满足 11ln1 nn xx，证明极限nn xlim存在，并求此极限 21（本题满分 11） 设曲线 L 的方程为 )1(ln2141 2 exxx
7、y （ 1）求 L 的弧长 （ 2）设 D 是由曲线 L，直线 exx ,1 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标 22本题满分 11 分） 设 bBaA 1 10,011，问当 ba, 为何值时，存在矩阵 C，使得 BCAAC ，并求出所有矩阵 C 23（本题满分 11 分） 设二次型 23322112332211321 )()(2),( xbxbxbxaxaxaxxxf 记321321,bbbaaa 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 4 （ 1）证明二次型 f 对应的矩阵为 TT 2 ； （ 2）若 , 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2
8、2212 yy 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学 二 试题 一、选择题 :1-8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分 .下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项符合题目要求的 ,请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 . (1)曲线 22 1xxy x 的渐近线条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数 2( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )x x n xf x e e e n ，其中 n 为正整数 ,则 (0)f ( ) (A) 1( 1) ( 1)!n n (B) ( 1) ( 1)!n n (C) 1( 1) !n n (D) ( 1)
9、 !nn (3) 设 1 2 30 ( 1 , 2 , 3 ) ,n n na n S a a a a ，则数列 nS 有界是数列 na 收敛的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要 (4) 设 20 s in d , ( 1 , 2 , 3 ) ,k xkI e x x k则有 ( ) (A) 1 2 3I I I (B) 3 2 1I I I (C) 2 3 1I I I (D) 213I I I (5) 设函数 (,f xy） 为可微函数，且对任意的 ,xy都有 ( , ) ( , )0 , 0 ,x y x yxy则使不等
10、式1 1 2 2( , ) ( , )f x y f x y 成立的一个充分条件是 ( ) (A) 1 2 1 2,x x y y (B) 1 2 1 2,x x y y (C) 1 2 1 2,x x y y (D) 1 2 1 2,x x y y (6) 设区域 D 由曲线 sin , , 12y x x y 围成，则5( 1)d dD x y x y( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) - 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 5 (7) 设1100c , 2201c , 3311c , 4411c ,其中 1 2 3 4, , ,c c c c 为任意常数，则
11、下列向量组线性相关的为 ( ) (A) 1 2 3, (B) 1 2 4, (C) 1 3 4, (D) 234, (8) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 1000 1 00 0 2P AP.若 1 2 3,P ， 1 2 2 3,Q 则 1QAQ ( ) (A) 1 0 00 2 00 0 1(B) 1000 1 00 0 2(C) 2 0 00 1 00 0 2(D) 2000 2 00 0 1二、填空题 ： 9-14小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分 .请将答案写在 答题纸 指定位置上 . (9) 设 ()y yx 是由方程 2 1 yx y e 所确定的隐
12、函数，则 202 xdydx . (10)2 2 2 2 21 1 1l i m 12n n n n n n .(11) 设 1ln ,z f xy其中函数 fu可微，则 2zzxyxy .(12) 微分方程 2d 3 d 0y x x y y 满足条件 1 1xy 的解为 y . (13) 曲线 2 0y x x x 上曲率为 22 的点的坐标是 . (14) 设 A 为 3阶矩阵， =3A ， *A 为 A 伴随矩阵，若 交换 A 的第 1行与第 2行得矩阵 B ， 则*BA . 三、解答题 ： 15-23 小题 ,共 94 分 .请将解答写在 答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、证
13、明过数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 6 程或演算步骤 . (15)(本题满分 10 分 ) 已知函数 11sin xfx xx，记 0limxa f x， (I)求 a 的值 ; (II)若 0x 时， f x a 与 kx 是同阶无穷小，求常数 k 的值 . (16)(本题满分 10 分 ) 求函数 222, xyf x y xe 的极值 . (17)(本题满分 12 分 ) 过 (0,1) 点作曲线 : lnL y x 的切线 ,切点为 A ,又 L 与 x 轴交于 B 点 ,区域 D 由 L 与直线 AB 围成 ,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体
14、的体积 . (18)(本题满分 10 分 ) 计算二重积分 dDxy，其中区域 D 为曲线 1 co s 0r 与极轴围成 . (19)(本题满分 10 分 ) 已知函数 ()fx满足方程 ( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f x 及 ( ) ( ) 2 xf x f x e , (I) 求 ()fx的表达式 ; (II) 求曲线 220( ) ( )dxy f x f t t的拐点 . (20)(本题满分 10 分 ) 证明 21ln c o s 112xxxxx ,( 1 1)x . (21)(本题满分 10 分 ) (I)证明方程 1x x x n n-1+ 1n 的 整 数
15、 ， 在区间 1,12内有且仅有一个实根；(II)记 (I)中的实根为 nx ，证明 limnn x存在，并求此极限 . (22)(本题满分 11 分 ) 设1 0 00 1 00 0 10 0 1aaAaa ，1100(I) 计算行列式 A ； (II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解 . (23)(本题满分 11 分 ) 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 7 已知1 0 10 1 11001A aa ，二次型 1 2 3, TTf x x x x A A x 的秩为 2， (I) 求实数 a 的值； (II) 求正交变换 x Qy 将 f 化为
16、标准形 . 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学 二 试题 一、 选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 。 （ 1）已知当 0x 时，函数 xxxf 3s ins in3)( 与 kcx 是等价无穷小，则（ ） （ A） 4,1 ck （ B） 4,1 ck （ C） 4,3 ck （ D） 4,3 ck （ 2）设函数 )(xf 在 0x 处可导，且 0)0( f ，则 3320)(2)(lim x xfxfxx（ ） （ A） )0(2f （ B） )0(f （ C）
17、)0(f （ D） 0 （ 3）函数 )3)(2)(1(ln)( xxxxf 的驻点个数为（ ） （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 （ 4）微分方程 )0(2 xx eeyy 的特解形式为（ ） （ A） )( xx eea （ B） )( xx eeax （ C） )( xx beaex （ D） )(2 xx beaex （ 5）设函数 )(xf ， )(xg 均有二阶连续导数，满足 0)0( f ， 0)0( g ， 0)0()0( gf 则函数 )()( ygxfz 在点 )0,0( 处取 得极小值的一个充分条件是（ ） （ A） 0)0( f ， 0)0( g
18、（ B） 0)0( f ， 0)0( g 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 8 （ C） 0)0( f ， 0)0( g （ D） 0)0( f ， 0)0( g （ 6）设 40 sinln xdxI ， 40 cotln xdxJ ， 40 cosln xdxK ，则 I ， J ， K 的大小关系为（ ） （ A） KJI （ B） JKI （ C） KIJ （ D） IJK （ 7）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵。记1000110011P，0101000012P，则 A =（ ）
19、（ A） 21PP （ B） 211 PP （ C） 12PP （ D） 112 PP （ 8）设 ),( 4321 A 是 4 阶矩阵， *A 为 A 的伴随矩阵。若 T)0,1,0,1( 是方程组 0Ax 的一个基础解系，则 0* xA 的基础解系可为（ ） （ A） 31, （ B） 21, （ C） 321 , （ D） 432 , 二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在 答题纸 指定位置上。 （ 9） xxx10 221lim 。 （ 10）微分方程 xeyy x cos 满足条件 0)0( y 的解为 y 。 （ 11）曲线 x tdty0 tan
20、)40( x 的弧长 s 。 （ 12）设函数 ,0 ,)( kxexf ,0,0xx 0 ，则 dxxxf )( 。 （ 13 ） 设 平 面 区 域 D 由 直 线 xy ，圆 yyx 222 及 y 轴 所 围 成 ， 则 二 重 积 分 D xyd 。 （ 14 ）二次型 323121232221321 2223),( xxxxxxxxxxxxf ，则 f 的正惯性指数为 。 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 9 三、解答题： 15 23 小题，共 94 分。请将解答写在 答题纸 指定位置上，解答应字说明、 证明过程或演算步骤。 （ 15）（本题满分 10 分） 已知
21、函数xdttxF x 0 2 )1ln ()( ，设 0)(lim)(lim0 xFxF xx，试求 的取值范围。 （ 16）（本题满分 11 分） 设函数 )(xyy 由参数方程3131,313133ttyttx确定，求 )(xyy 的极值和曲线 )(xyy 的凹凸区间及拐点。 （ 17）（本题满分 9 分） 设函数 )(,( xygxyfz ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 )(xg 可导且在 1x 处取得极值 1)1( g ，求1,12yxyxz 。 （ 18）（本题满分 10 分） 设函数 )(xy 具有二阶导数，且曲线 )(: xyyl 与直线 xy 相切于原点，记 为曲线
22、l 在点),( yx 处切线的倾角，若 dxdydxd ，求 )(xy 的表达式。 （ 19）（本题满分 10 分） （ I）证明：对任意的正整数 n ，都有nnn 111ln11 成立。 （ II）设 ),2,1(ln1211 nnnan，证明数列 na 收敛。 （ 20）（本题满分 11 分） 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 10 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 )21(222 yyyx 与)21(122 yyx 连接而成。 （ I）求容器的容积； （ II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？ （长度单位 ： m ，
23、重力加速度为 2smg ，水的密度为 3310 mkg ） （ 21）（本题满分 11 分） 已知函数 ),( yxf 具有二阶连续偏导数，且 0),1( yf ， 0)1,( xf ， D adxdyyxf ),(，其中 10,10),( yxyxD ，计算二重积分 D xy dxdyyxfxyI ),(。 （ 22）（本题满分 11 分） 设向量组 T)1,0,1(1 ， T)1,1,0(2 ， T)5,3,1(3 不能由向量组 T)1,1,1(1 ，T)3,2,1(2 ， Ta),4,3(3 线性表示。 （ I）求 a 的值； （ II）将 321 , 用 321 , 线 性表示。 （
24、23）（本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 A 101101101101 。 （ I）求 A 的所有的特征值与特征向量； （ II）求矩阵 A 。 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学 二 试题 一选择题 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 11 (1) 的无穷间断点的个数为函数222 111)( xx xxxf A0 B1 C2 D3 2.设 21,yy 是一阶线性非齐次微分方程 )()( xqyxpy 的两个特解，若常数 , 使 21 yy 是该方程的解， 21 yy 是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,21 B 21,21
25、 C 31,32 D 32,32 (1) aaxayxy 相切，则与曲线曲线 )0(ln2 A4e B3e C2e De 4.设 ,mn为正整数 ,则反常积分210ln (1 )mnx dxx的收敛性 A 仅与 m取值有关 B 仅与 n取值有关 C 与 ,mn取值都有关 D 与 ,mn取值都无关 5.设函数 ( , )z z x y由方程 ( , ) 0yzF xx确定 ,其中 F为可微函数 ,且 2 0,F则zzxy= A x B C x D z 6.(4) 2211lim ( ) ( )nnx ijnn i n j = A 1 200 1(1 )(1 )xdx dyxy B 100 1(1
26、 )(1 )xdx dyxy C 1100 1(1 )(1 )dx dyxy D 11 200 1(1 )(1 )dx dyxy7.设向量组 线性表示，：， 可由向量组 sI 21r21 II,: ，下列命题正确的是： A 若向量组 I 线性无关，则 sr B 若向量组 I 线性相关，则 rs C 若向量组 II 线性无关，则 sr D 若向量组 II 线性相关，则 rs 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 12 (A) 设 为 4 阶对称矩阵 , 且 2 0,AA若 A的秩为 3, 则 A相似于 A1110 B1110 C1110 D1110二填空题 9.3 阶常系数线性齐次
27、微分方程 022 yyyy 的通解 y=_ 10.曲线 1223x xy 的渐近线方程为 _ 11.函数 _)0(0)21l n ( )( nynxxy 阶导数处的在 12. _0 的弧长为时，对数螺线当 er 13.已知一个长方形的长 l 以 2cm/s 的速率增加，宽 w 以 3cm/s 的速率增加，则当 l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的 速率为 _ 14.设 A， B 为 3 阶矩阵，且 _,2,2,3 11 BABABA 则 三解答题 15. 的单调区间与极值。求函数 2 21 2 )()( x t dtetxxf16.(1)比较 10 ln ln(1 )nt t dt
28、与 10 ln ( 1, 2 , )nt t dt n 的大小 ,说明理由 . (2)记 10 l n l n( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,nnu t t dt n 求极限 lim.nx u17.设函数 y=f(x)由参数方程。求函数，已知，阶导数，且具有所确定，其中)(,)1(4 36)1(25)1(2)()1(),(,2222ttdx ydttty ttx 18.一个高为 l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a,短轴为 2b 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 13 面高度为 b23 时，计算油的质量。 （长度单位为 m，质量单位为
29、 kg，油的密度为 3/mkg ） 19. 0,.05124),(222222ubyxayxbayuyxuxuyxfu下简化的值，使等式在变换确定且满足等式具有二阶连续偏导数，设函数20. .40,s e c0),(D,2c o s1s i n 22 rrd r drrI D 其中计算二重积分 21.设函数 f(x)在闭区间 0,1上连续，在开区间 (0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)= 31 ,证明：存在.)()(),1,21(),21,0( 22 ff使得 22. 的通解。求方程组、）求（个不同的解。存在已知线性方程组设bAxabAxabA)2(.12.11,110101123.
30、设0431410aaA ，正交矩阵 Q 使得 AQQT 为对角矩阵，若 Q 的第一列为 T)1,2,1(61 ，求 a、 Q. 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . （ 1）函数 3sinxxfx nx 的可去间断点的个数，则 （ ） 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 14 A 1. B 2. C 3. D 无穷多个 . （ 2）当 0x 时， sinf x x ax 与 2 ln 1g x x bx是等价无穷小，则
31、（ ） A 11, 6ab . B 11, 6ab. C 11, 6ab . D 11, 6ab . （ 3）设函数 ,z f x y 的全微分为 dz xdx ydy，则点 0,0 （ ） A 不是 ,f xy 的连续点 . B 不是 ,f xy 的极值点 . C 是 ,f xy 的极大值点 . D 是 ,f xy 的极小值点 . （ 4）设函数 ,f xy 连续，则 2 2 2 411, yxyd x f x y d y d y f x y d x （ ） A 2411 ,xdx f x y dy . B 241 ,xxdx f x y dy . C 2411 ,ydy f x y dx
32、. D . 221 ,ydy f x y dx （ 5）若 fx 不变号，且曲线 y f x 在点 1,1 上的曲率圆为 222xy，则 fx在区间 1,2内 （ ） A 有极值点，无零点 . B 无极值点，有零点 . C 有极值点，有零点 . D 无极值点，无零点 . （ 6）设函数 y f x 在区间 1,3 上的图形为： 则函数 0xF x f t dt的图形为 （ ） 1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 15 A . B . C . D . （ 7）设 A 、 B 均为 2 阶矩阵， *AB， 分别为 A 、 B 的伴随矩阵。若
33、 A =2 B =3， ，则分块矩阵0 0AB的伴随矩阵为 （ ） A . *0320BA B . *0 2B3A 0 C . *0 3A2B 0 D . *0 2A3B 0 （ 8）设 AP， 均为 3 阶矩阵， TP 为 P 的转置矩 阵，且 T 100P A P= 0 1 00 0 2，若 P = Q = + 1 2 3 1 2 2 3（ ， ， ） ， （ ， ， ），则 QAQT 为 （ ） ()fx0 2 3 x1 -2 -1 1 ()fx0 2 3 x1 -1 1 ()fx0 2 3 x1 -2 -1 1 ()fx0 2 3 x1 -2 -1 1 数学二历年考研试题及答案详解（
34、20032013） 16 A . 2 1 01 1 00 0 2B . 1 1 01 2 00 0 2C . 2 0 00 1 00 0 2D . 1000 2 00 0 2二、填空题： 9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . （ 9）曲线 2221-x=0ln( 2 )ut e duy t t 在 （ 0， 0） 处的切线方程为 （ 10）已知 + 1kxe dx ,则 k （ 11）n1lim e sin0 x nxdx （ 12）设 ()y yx 是由方程 xy 1yex 确定的隐函数，则 2x=0dy =dx2（ 13）函数 2xyx 在区间 0
35、1， 上的最小值为 (14)设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置，若矩阵 T 相似于 2000 0 00 0 0，则 T = 三、解答题： 15 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 9 分） 求极限 40 1 c o s l n (1 t a n )l i m s i nx x x xx （ 16）（本题满分 10 分）计算不定积分 1ln(1 )x dxx ( 0)x 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 17 （ 17）（本题满分 10 分）设 ,z f x y x y xy ，
36、其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与 2zxy（ 18）（本题满分 10 分） 设非 负函数 y y x 0x 满足微分方程 20xy y ，当曲线 y y x过原点时，其与直线 1x 及 0y 围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。 （ 19）（本题满分 10 分）求二重积分 D x y dxdy， 其中 22, 1 1 2 ,D x y x y y x （ 20）（本题满分 12 分） 设 ()y yx 是区间 -（ ， ） 内过 -22（ ， ）的光滑曲线，当 -0x 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0 x 时，函数 ()yx满足 0y y
37、 x。求 ()yx的表达式 （ 21）（本题满分 11 分） （ ）证明拉格朗日中值定理：若函数 fx在 ,ab 上连续，在 ,ab 可导，则存在 ,ab ，使得 f b f a f b a （ ）证明：若函数 fx在 0x 处连续，在 0, 0 内可导，且 0limx f x A ，则 0f 存在，且 0fA 。 （ 22）（本题满分 11 分）设 1 1 11 1 10 4 2A，1112（ ）求满足 22 1 3 1,AA 的所有向量 23, （ ）对（ ）中的任一向量 23,，证明： 1 2 3, 线性无关。 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 18 （ 23）（本题满
38、分 11 分）设二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3, , 1 2 2f x x x a x a x a x x x x x （ ）求二次型 f 的矩阵的所有特 征值； （ ）若二次型 f 的规范形为 2212yy ，求 a 的值。 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . （ 1）设 2( ) ( 1)( 2 )f x x x x ，则 ()fx的零点个 数为（ ） A 0 B 1. C 2 D 3 （ 2）曲线方程为
39、 ()y f x 函数在区间 0, a 上有连续导数，则定积分0 ()a taf xdx（ ） A 曲边梯形 ABOD 面积 . B 梯形 ABOD 面积 . C 曲边三角形 ACD 面积 . D 三角形 ACD 面积 . （ 3）在下列微分方程中，以 1 2 3c o s 2 s i n 2xy C e C x C x （ 1 3,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） A 4 4 0y y y y B 4 4 0y y y y C 4 4 0y y y y D 4 4 0y y y y （ 5）设函数 ()fx在 ( , ) 内单调有界， nx 为数列，下列命题正确的是（ ） A 若 nx 收敛，则 ()nfx 收敛 . B 若 nx 单调，则 ()nfx 收敛 . C 若 ()nfx 收敛，则 nx 收敛 . D 若 ()nfx 单调，则 nx 收敛 . 数学二历年考研试题及答案详解（ 20032013） 19 （ 6）设函数 f 连续，若 2222()( , )uvDf x yF u v d xd yxy ，其中区域 uvD 为图中阴影部分，则 Fu A 2()vf u B 2()vfuu C ()vfu D ()vfuu （ 7）设 A 为 n 阶
