1、第 1 页 共 18 页高等数学 （理工类）1.设 的定义域为 ， ，则复合函数 的定义域为()yfx(0,1()lnx()yfx_； lne2.已知 时， 与 是等价无穷小，则 _；0xarct3xosa；0rtlim1,x3函数 ，则 _； ；6cs2sinyyd21(cosin2)xd4函数 的拐点为_； ，xe )0,xe2(,)e5设函数 ，当 =_时， 在 处连续； ；2,sin)(xaf a(f16. 设 是由方程 所确定的隐函数，则 _；()yx0yeyyex7函数 的跳跃间断点是_； ；xf1 (1)0,()1,ff8定积分 _；12(sin)d 20xd9已知点空间三个点
2、则 AMB= _； ；,)1(),2(,(BAM310已知 ，则 _。(2,31),3)abab(751)， ，二、计算题（每小题 6 分，共 42 分）1求极限 。20ln()imsixrcx2求极限 =3in0ltxed32sin0li61coxxe3设 求 。2si,y.y2(sico)xx第 2 页 共 18 页4、设 求 以及 。2ln1arctxydyx2解 ， ，2l()xt21td2231ytdx5计算不定积分 。xln解 l()lxd1l()dln()1xC6、计算不定积分 23cosx2sec323tan3tan4dxx1tanrc23C7计算定积分 dxx220)4(11
3、201()4()4xdxd12201(5)5xd 3215533三、证明题（每小题 8 分，共 16 分）1、设 在区间 上连续，在区间 内可导，且 ，)(f0,3(0,)(0)()ff，试证必存在 使 。3(,)f证明 因为 在 上连续，所以 在 上连续，且在 上有最大值 和()fx3,0)(x2,02,0M最小值 。于是 m,)(Mf,1fm,)(Mf所以 由介值定理知至少存在 ，使 。,32)1(f 2,0c1)(cf因为 ，且 在 上连续，在 内可导，由罗尔定理存在)cf )(xf3c)3,(，使 。(,0,02、证明不等式：当 时， 。221ln(1x证明 ， ，()1ln()fxx
4、2()ln)0,fxx第 3 页 共 18 页，则当 时，()0fxf0x221ln()1xx四、应用题（第 1 小题 10 分，第 2 小题 12 分）1要建造一个体积为 的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使35mV所用的材料最省？解 设圆柱体的半径为 ，高 ，表面积为 , ，r20hrS210r， ， 表面积最小。2104Sr3532求曲线 ，直线 ， 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周所axy)(ax2xy得到的旋转体体积。解 22yaVd高等数学 （理工）一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ） ； ；D、 ； 、A2()x
5、Bsin(0)x、 ； 、 。C31212、设函数 在 处连续,则 （ ） ； ；2()axfxaA、 ； 、 ； 、 ； 、 、A4B0C21D13、设 在 上可导，且 若 ，则下列说法正确的是（ ()fx,ab().fx0()()xftd） ； ；C、 在 上单调减少； 、 在 上单调增加； (), (),ab第 4 页 共 18 页、 在 上为凹函数； 、 在 上为凸函数。C()x,abD()x,ab4、下列不定积分计算正确的是（ ） ； ；、 ； 、 ；Acxd32 Bcxd12、 ； 、 。Cossin sinco5、设 在 上连续，则下列论断不正确的是（ ） 。 ；)(xf,ba
6、A、 是 的一个原函数；. 、 在 内是 的一个原函Abad()f B()xaftd,)b()fx数.；、 在 内是 的一个原函数； 、 在 上可积。C()bxft,)b()fxD()f,a二、填空题（每空 3 分，共 15 分）6、若 则 ；lim()2,xf22li(1)(xxf；221li 0x7、曲线 在点 的切线方程为：_ xy),3(_； ；28、曲线 在 内的拐点为 ； ； sinyx(0,)(,)e9、当 满足条件_时,反常积分 收敛； ；p1pdx110、微分方程 的阶数是_. ；43()2yyx2三、计算题（共 45 分）11、求下列函数极限(每题 6 分，共 12 分)
7、：(1) 01limsn3x第 5 页 共 18 页(2) 22030sinsin1lml3xxtd12、求下列函数导数（每题 6 分，共 12 分）：(1) 设函数 ,求 ； 5l1taneyxy解 tan22(sc)(x(2)设函数 由方程 所确定，求 ；fy 054lnxyx )1,5(y解 ， 将 代入得 145x,1(,1)313、求下列函数积分（每题 7 分，共 21 分）：(1) 2211dxC(2) 22111lnln(ln)ee exxd21()e21()4e(3)152)cos(dx20四、证明题(每小题 8 分，共 16 分）14、证明：设 artnln()1x证明 设
8、，l)rcta0fxx 21()1ln)0fx则 ，()0(x15、设 在 上连续，在 上可导，且 ，求证在 内至少存在一fx,10,1)()f(0,)点 使得 成立.,3()()f证明 设 在 上连续，在 上可导，且 ，y 由罗3Fx,(,)()1F尔中值定理得 ，即有 23()()0ff30ff五、应用题（共 9 分）第 6 页 共 18 页16、求曲线 与过该曲线上的点 的切线及 轴所围成的图形的面积2yx(4,2)y.S解 ， ，切线方程 ，1(4,2)1 1(4)x1x3440066Sxdx高等数学（上）一、单项选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）1、函数 的定义域为（ ） ；
9、 ；ln(2)yxD、 且 ； B、 、 ； 、 ； 、 且A0x0xC2xD2x。2、 （ ） ； ；xx1sinlmC、 ； B、不存在； 、1； 、0。3、按给定的 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（ ） ； ；A、 ( ) ； 、 ( )；A142xBx、 ( ) ； 、 ( )；C0Dxsin04、设 要使 在 处连续，则 （ ） ； ；,xaexfxfaB、2； 、1； 、0 ； 、-1 ABCD第 7 页 共 18 页5、设函数 在 内恒有 ，则曲线 在 内（ ）()fx,ab()0,()fxf()yfx,ab； 、单调上升，向上凸； 、单调下降，向上凸；AB、单调上升，向上凹
10、； 、单调下降，向上凹。CD6、设 ，则方程 在实数范围内根的个数是（ ） ；()1(2)3(4)fxx()0fx；B、4 ； 、3 ； 、2 ； 、1 。ABCD7、设 ，则 （ ） ； ；21,0()xfe31()fxd B245,()2xfx、 ； 、 ； 、 ； 、 。A13eB13eC13D2e8、设函数 在 上是连续的，下列等式中正确的是（ ） ； ；()fx,ab C、 ； 、 ；()badfB()()fxdf、 ； ； 。C()xfxD9、当 时， 与 为等价无穷小，则 = （ ） ； ；n21sinkkC、 ； 、1； 、2 ； ；-2。A12BC10、已知 ， ， ，则 （
11、 ） ；0ff13f10xfdB、1； 、2； 、3 ； 、4。D二、填空题（本题共 10 分，每空 2 分）1、设 则 。 ；2sin(),(0),xatfdax()f22、极限 ； ；314lim6n4第 8 页 共 18 页3、设 ，则 。 ；sin2xye20xdy14、函数 的不连续点为 。,321,xxf 1x5、设 ，则 。1fx_f21x三、计算题1.（8 分）求 2lim391xx21lim39xx2、 （7 分） 01coslinx204lix3、 （7 分）设 求 。 ， ，silteydyxcosinttcos1inydetin1ydtx4、 （8 分）设 。cos(i
12、),xdy求解 设 ，两边同时求导得lnliny2cos cos(in)(iln)ixdyxx5、 （7 分） 21cosdx1cossiC6、 （7 分） 020inx220isinxd20cos4d20cos4247、 （8 分） 令 ，219x 23e,93tan,sectanxtxdxd第 9 页 共 18 页，3costx2113arcos39tdxCx四、综合题1、 （9 分）求由曲线 所围平面图形绕 轴旋转的旋转体的体积。,0xyex122220(1)()xVede2、 （9 分）证明方程 只有一个正根.3cosx证明 设函数 在 连续， ，()ftt0,tx(0)1f令 ， 为
13、单调递增函数，2()31sinft()f又 ，由零点定理可知 在 只存在一点在3liml(cosxxx()ft，使在 ，则方程 只有一个正根。0,)0f3cosx理工高等数学一、填空题（本题共 15 分，每小题 3 分）1.函数 的连续区间是 12xf (,1)(,1,)2.若 ， ， 均为常数，则 ， 0limbax aab， ；2li1x2(1)()li 0xbx1,3.设函数 由方程 所确定，则曲线 在点（1，1）处的切()yf 4lny()yfx线方程是 ， ，_ 32xy(,)第 10 页 共 18 页4.设 ，则 . )2(sec)ln(xyy214sectanlnxx5.设 在
14、可导，则 fxaxaffx)(lim0f二.求下列各题极限（共 28 分）1. 1lim0xxe02li1x2. xx0)cosin2(l10lim(sinco)x02sinco1lm2xee3. )1si(tali320xx 02ta13lixx4. 14)3(limnn 314li()nn三计算题（共 32 分）5.设 ，求 .xyarcty，23tn1922319()xx26()x6.设 ，求 .)arcsi(lsixxyysin 21(lin(l)xsin 2si(col)arci1(ln)xx7.求由参数方程 所确定的函数的导数 , .2ln(1arctydxy2第 11 页 共 1
15、8 页；21dytx2dyx2()14tt8. .2,0sin2)( dxyyy确 定 的 求是 由 方 程设 函 数 解 方程两边同时求导得 ，1cocosy2sin(co)yy34sin()y四综合题（共 27 分）9 .求常数 的值，使函数 在 处一阶可导.,ab 0)1ln()xbaxf ， ， ；00lim()li(0xxfbfim(lin(1)0xxfb， 。0lixaf 0l)()i,xf a 10.求函数的 所有间断点，并指出其类型.23)(2f， ， ，()(1xflim()xf2li()1xf2lim()1xf11.设 为连续函数，求22linabfba,一、填空题（每空
16、3 分，共 15 分）第 12 页 共 18 页1、已知 的定义域是 ，则函数 的定义域为_； ；()fx1,0(ln)fx1,e2、 _； ；(),(2)dffx设 连 续 可 导 则 1(2)fxc3、积分 与 的大小关系是_； ；21 lnIxd2 1lnI I124、 .； ；32(3),(,)yabab设 曲 线 以 点 ， 为 拐 点 则 数 组 39()，解 xf6)( af 310261又 时 为曲线 的拐点。3ba9,ab3,23bxaf5、设 ，则 . 。xydy187xd二、选择题（每空 3 分，共 15 分）1、曲线 在(0,0)点的切线斜率是（ ） ； ；1yxe D
17、、 1 ； 、 ； 、0 ； 、 -1。AB1eC2、设 ，则当 时，有（ ） ； ；()23xfxB、 与 是等价无穷小； 、 与 是同阶但非等价无穷小；B()fx、 是比 高阶的无穷小； 、 是比 低阶无穷小。 C()fxD3、设函数 在 上具有连续的导函数，且 ，ab， 2()1bafxd()0fab，（ ） ； ；()baxfdx则 A、 ； 、 ； 、 ； 、 。A12 B12C0D 4、下列积分发散的有（ ） ； ； 第 13 页 共 18 页、 ； 、 ； 、. ； 、Adx1lnBdx021C102xdD。ex05、设 能使极限式 成立，则241()cos,()fPxx0()l
18、im0nxfPx（ ） 。 。n正 整 数 的 最 大 值 是 CA. ； 、 ； 、 ； 、 ；6 B4n 5 D3 三、计算下列各题（共 52 分）1、 （7 分）已知 ，求 的导数。3baxbyy133xaxababyb23 11ln()xaxxababab 2、 （7 分）2200silim(1co)ln(1)xxtdt计 算 极 限 解 )l(s(ili0xx原 式 xxcos1lim)l(si003、 （7 分）已知参数方程： ， （ ） ，求所确定的函数in(1cos)aty2,tnZ的二阶导数。()yx解： （ ）sinsi(1co)dattt2,nZ第 14 页 共 18 页
19、2 2()1(cos)dytxatt4、(7 分）已知 , ,求 .)53(xfy2(arctnfx0xdy解: 令 ,2u则 , .22)53()5(3)( xarctgxfy 04arctn1xyd5、 （8 分）计算不定积分 .darcsin解： =dx2)(arcsindx221arcsin)(i=22isixx dx2arcsin1)(ri2= .cxarcn1)(arcsn26、 （8 分）计算定积分 .41d解：令 则 且 当 时, 当 时tx2,txt1xt4x2t于是 4 2 21111 9()2ln()lnddttt7、求由曲线 与直线 围成的曲边梯形绕 轴旋转所成的旋si
20、nyx0,yxx转体的体积 （8 分） 2 200(1i)(1sin)Vddx203si3co44xx四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）第 15 页 共 18 页1、 （9 分）当 时， .20xsinta2xx证：令 , ()sintaf222()cosecosef x,当 时， 在 内单调增加.而2coexxx),0(即当 时，()0ff()20sinta2.x2、 （9 分）设函数 和 在 上存在二阶导数，且xfgba, 0,g，证明 (1)在( a,b)内 ；（2）在( a,b)内至少存在abfa x一点 ，使 .fg证：（1）反证法.设 内存在一点 使 ，则在 上有()ab，
21、 1x0)(g1,xa,由罗尔定理知在 内至少存在一点 ，使 ，同理在1()0ax(,a()0g内也至少存在一点 使 ，则 ，由罗尔定理，在1,b22)12()内至少存在一点 使 ，这与 矛盾，故在 内 。2()33(0g0gxba,x（2）令 ()()()Fxfxfx由题设条件可知， 在 上连续，在 内可导，且 ,由罗ba,)ab， ()0Fab尔定理可知，存在 使得 ，即 ，0Ffgfg由于 ，故 。0,gffg一、 填空题（每空 3 分，共 24 分）第 16 页 共 18 页1、要使 在 处连续，则 _；5；0,)5()2xaexf a2、设 的一个原函数为 ，则 ；(f 3xdfco
22、s)(in；Csini33、设 ，则 _； ；2xydy24l3x4、函数 是 当 时的_同阶_无穷小量。 （填等价，同阶或高阶）fsi)(3inx0。5、 _；0；12arctn()xd6、若 ，则 _， _；314limxbab6,37、函数 的单调增加区间为_。yln ),(e二、求极限（每小题 5 分，共 10 分） 。1、 （5 分） 001ln(1)liim()xxx20)1ln(ix2、 （5 分） )sin(2li)sin(li30023xdttxx三、求导数（每小题 6 分，共 18 分） 。1、 （6 分）求由方程 所确定的隐函数 的一阶导数 和 。1lyxy )(xfyd
23、xy2解：方程两边同时对 x 求导，得 ，整理得 ，0yxyxy2xy2、 （6 分）设函数 的参数方程为 ，求 ， 。)(yttcosin2d2第 17 页 共 18 页解： ，txydtcos1in2dxy3cos1cos1inttt3、 （6 分）已知 ，求 。in解：方程两边取对数，得 )1ln(sil xxy两边同时对 x 求导，得 1sicox)1(inlcosxy四、求积分（每小题 5 分，共 20 分） 。1、 （5 分）计算 22221()11ddxxCx2、 （5 分）计算 ；解：令 ，则 ，t2ttd原式= Ctttdtd)1ln(2121 Cxx)1ln(13、 （5
24、分）计算 。xe1)sin(l解：令 ，则 ，当 ，txlt 101text时 ，时 ，原式= det10sindettsinsi01dte0sincoi原式 2co4、 （5 分）计算 d2s4解： 220cos8co824五、证明题（每小题 8 分，共 16 分）第 18 页 共 18 页1、 （8 分）证明不等式：当 时， 。0x2)1ln(x证明：设 ，2)1ln()xf0f当 时，01 xx单调增加， ，即 ，得证。） 上在 ,)(xf 0)(ff2)1ln(x2、 （8 分）若 在0，1上有二阶导数，且 ，)(f )(,0fFf证明在（0，1）内至少存在一点 ，使得 。)(F证明：
25、 在0，1上有二阶导数，则 在0，1上有二阶导数，)(xf 2xf，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点 ，使得 ，F0)(， ，由罗尔定理，在 内至少存在一点 ，使)()(2)(2xff 0 ,0(得 。六、应用题（12 分）在曲线 （ ）上某点 处作一切线，使之与曲线、 轴2yxBx所围平面图形的面积为 ，试求：（1）切点 的坐标；（2）由上述所围图形绕 轴旋转一周所得立体的体积。解：（1）设切点 的坐标为 ，则过点 的切线斜率为 ，于是切线方B),(2aayx2程为 ，和 x 轴交点为 ，由 ，)(2ay)0,(20 1aAd得 ，因此切点坐标为 )。切线方程 ，1(1, 1yx（2） =2202Vydxxd4202()30x或 14()3356
