1、 递推数列通项公式之的题根研究题根 数列 满足 ， ，求通项公式 。na112na na分析 此为 型递推数列，构造新数列，转化成等比数列求解。1()pq解答 在 两边加 1，得 ， 则数列 是首项为 2，公比为 2 的2n 1()nn1n等比数列，得 ，即 为所求。na21a规律小结 型递推数列，当 p=1 时, 数列为等差数列；当 时,数列为1()nnpq 0,qp等比数列。当 时，一定存在 满足 ， 从而得 ， 此为函数pq1的不动点。 由 ，得 是首项为 ()fxpq1()()nnnapan，公比为 p 的等比数列，于是 , 即 ，将 1a 11n11()p代入上式， 得通项公式为 （
2、#） 11().nnqapp变题 1 数列 满足 ， ，求通项公式 。na112nn na解答 将已知关系式取倒数得 ， 由（#）式 得 ，所以 。12nna 112nn12nna规律小结 型递推数列的通项公式的求法： 令 ，得 或 为1nnpars pxrs102psxr两不动点。由于 ，设 ，则 ，此为11nnnrxap1nba1nnb模型。 同样， 也可化为 模型，由（#）式 可求1()nnapq12nx1()nnpaq得 。更为特殊的是 p=s 时， , 设 则 是等差数列 ，故常取n 11nnraanbnb的倒数求解。1nnpar变题 2 （2006 年江西理第 22 题）已知数列
3、满足 ， ， na1321nna*(2,)N求通项公式 。na解答 ，即 ，又 ，132n123nna123nb1()3nnb132a得 ，所以 ，得 。13b()nbna变题 3 已知数列 中， ， , 求 的通项公式。na111()nna分析 将题中递推式变形 ，利用错位相消法。1n解答 将题中递推式表示为： ， 于是 11nan， ， ， ，21a32a43 112nan各式相加得 21 11()()(),nna得通项公式为 。23n()2 1规律小结 对于 型递推数列，设 则称数列 是 差数列，1()af ,2,1abnn nba则 得 所以 的通121213211)(),n nnba
4、 1.knan项公式为 （I）. 当 n=1 时，也满足(I)式。此法称为累加错位相消1(),nkaf法。变题 4 数列 满足 , ， 求 。n12a123nana分析 递推式两边同除以 ，经过变量替换，可化为 型递推式。n )(1f解答 在 两边同除以 ， 得 ，令 ，123na1n 123nn2nab则 , 于是 则 11nnb 11123,.nkabb.nb所以 32()nna68.n规律小结 对于 型递推数列，当 f(n)是常数 q 时，即为模型1(),1napf。当 f(n)是变量时，两边同除以 , 得 , 令1(1)nnapq1np11()nnafp, 1,()nnfbf得 求出
5、的通项公式，从而得 。1ngnbnapb变题 5（2006 年全国理第 22 题）设数列 前 n 项和为 ，n=1,2,，求通项 14233nnS。na解答 。因为 ，所以14233nnSa2143a1a1(2)nnaS由题设得： ，即()nn 1()nn 142n14nn，得 。12nb12nnb42na规律小结 根据数列性质 可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。1()S变题 6 数列 满足 ， ，求通项公式 。na1nana分析 观察 与 、 与 存在的关系，思考解答方法。123解答 ， ， ， ，各式相乘得 。224312n112nna规律小结 对于 型递推式， 1、若 f(n
6、)为常数, 则 为等比数列。2、若 f(n)为变数，1()nnaf na通项公式求解方法如下： 各式两边分别相乘，得 12121),(),().nnafff （II） ；当 n=1 时, (II)仍成立。此法称为累积错位相消法求数列通项。1()2(),naff变题 7 数列 中 ，令 ， （1）求数列 的通项公式；（2）求na110,nalgnabnb。12nkbT分析 利用对数运算法则，变形转化。解：（1）由已知得 ，得11 1,lglgnnnaaabb1231nn。23(1)n（2） 由 ， 得 11!()(2)nbn12nkbT123()n 123.规律小结 对于 递推式，当 p=1 时
7、， 为等比数列。当 时，对递推1,(0,)qnnnapana1p式两边取常用对数，得 , 令 ,得 ，此为模型1lglgp lgnb1lgnbq。 1()nnapq连接练习1、 数列 满足 , ， 求 。 n19a134nana2、 函数 ，数列 满足 ， ， ， （1）求 的通项公式 ()xf11()nf*)Nna；（2）设 ，求 。 na123n nS S3、 在数列 中， , , 求 通项公式。a1()nan4、 数列 满足 , ， 求 。n15n5、 数列 的前 n 项和 ， , 求 。21nS10n6、 在数列 中， ， ，求 。 na12,a32na7、 数列 中， ，求 。n11
8、40,()nn8、 （05 年重庆文 22）在数列 中， , , 记 ，na11186250nnaa(1)n12nba求 通项公式及数列 的前 n 项和 。nbnbnS9、 （05 年山东 21）数列 的首项 ，前 n 项和 ，且 ，证明数列a15nS*125()nSN是等比数列。1na参考答案1、 由 得 ，可得 ；或由 求。 134n143nna183nna1()(1)nna2、 ； 。 3、 两边同除以 n(n+1) , 得 2nanS1()nn，1(1)na令 ，得 ， ， 于是 ， nb1()nb12abnb134、两边同除以 ，得 ，即 ，1(3).na12n135nn152nn得
9、 。5、由 , 12nnnSa得 ， 。 1na22(1)n12na11na6、 取对数， ，令 ，则 ， ，且 21lg3llgnaalgnab1lg0ab2lgb， ， 。213nnbb 12()l0n7、 令 ，得 ，即两不动点。 由 。4x12,x 1243(4)nna13(4)na令 ， 则 ， 得14nba13nnb 113223nnb 1250n，所以 。 n12043nn8、由 ，得 ，代入 ，得 ，则12nba2nab1186250nnaa1423nb，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ，得14()3nn43nqnn。由 ，得 ，故b112nba12nnb12n nSabab。12()n ()5312()39、由已知 ，得 ，相减得 ，*15()nSN14(nSn112()nnSS即 ，即 。又 ，从而 ，即数列 是等比数列。2a12na 0a12naa
