1、函数定义映射一般地，设 A、 B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应为从集合 A到集合 B的一个映射（mapping） 记作“ ”:f:fAB函数的概念1定义：如果 A，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 Af中的任意一个数，在集合 B 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为)(xf B:从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作， 。)(fyA其中， 叫做自变量， 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做xx xy函数值，函数值的集合 叫做函数
2、的值域。f|)(函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域值域和对应法则当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它例 已知函数 f(x)=3x 5x2,求 f(3)、f(- )、f(a)、f(a+1)22例 函数 y 与 y3x 是不是同一个函数？为什么？x3练习 判断下列函数 f（x ）与 g（x）是否表示
3、同一个函数，说明理由？ f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 f ( x ) = x； g ( x ) = 2 f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 求下列函数的定义域（用区间表示）（1） 02)3()1lg()xxf；解： 0232x，解得函数定义域为 2,3(),12(.例 当 a 取何实数时，函数 y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定 a 值，使关于 x 的不等式-x 2+ax+20 的解集为(-1 ，2)
4、.解： -x2+ax+20 x2-ax-20，故由根与系数的关系知 a=(-1)+2=1 即为所求.练习、求下列函数的定义域(1) （2）21()|4fx132yxx )3lg2y |4 )1(lo3x23568xy抽象函数定义域【类型一】 “已知 f(x)，求 f()”型例：已知 f(x)的定义域是0，5，求 f(x+1)的定义域。【类型二】 “已知 f() ，求 f(x)”型例：已知 f(x+1) 的定义域是0，5，求 f(x)的定义域。【类型三】 “已知 f()，求 f()”型例：已知 f(x+2)的定义域为-2，3） ，求 f(4x-3)的定义域。【思路】f() f(x) f()例.
5、函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是_。yfx()(， 1yfxlog()2分析：因为 相当于 中的 x，所以 ，解得log()2xf()log()21x或 。2x例 已知函数 f(2x)的定义域是-1，2 ，求 f(log2x)的定义域.分析： 在同一法则 f 下，表达式 2x 与 log2x 的值应属于“同一范围”.解: -1 x2， 2 x4 故 log 2x4 即1log2 log 2xlog 216 x16.总结：已知 F(g(x)的定义域为 A，求 F(h(x)的定义域，关键是求出既满足 g(x)B，又满足 h(x)B 的 x 取值集合，在此例中，A=-1，2 ，B= ，4.21
6、例已知函数 f定义域为(0，2) ，求下列函数的定义域：(1) 2()3x；(2)21()logfxy。解：（1）由 0x 22， 得 练习1、函数 的定义域是 0， 2，则函数 的定义域是 _.()fx(2)fx2、已知函数 的定义域是 -1，1，则 的定义域为 (1)f_.3、已知 的定义域为 ，则 的定义域为 _ 2()fx1,(2)xf重点二：求函数解析式的几种常用方法1.换元法：例 已知 f(x+1)= +2x-3,求 f(x)2x解: 令 x+1=t,则 x=t-1 代入函数式中得:f(t)= +2(t-1)-3= -4 21t2tf(x)= -4x说明:f(x),f(t)都是同一
7、个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.练习、1 若 f(x)=2x2-1，求 f(x-1) 2 已知函数 f(2x+1)=3x+2，求 f(x). 2.配凑法：上例中,把已知的 f(x+1)中的 x+1看成是一个整体变量进行处理.f(x+1)= +2x+1-42x= -41用 x代替 x+1,得:f(x)= -42例 已知 f(x+ )= , 求 f(x). 1x2分析：将 用 x+ 表示出来，但要注意定义域。21x解：f(x+ )= x2= 1变式、1 已知 x0，函数 f(x)满足 f( )= ，求 f(x) .x122 已知 ，求(1)2fx()f3、待定系数法：例.一次
8、函数 f(x)满足 ff(x)=9x+8,求 f(x). 解：设此一次函数解析式为 f(x)=kx+b,则有：ff(x)=kf(x)+b=k(kx+b)+b= 2kb由已知得：=9x+8.2即 解得 或 所求一次函数解析式为： f(x)=3x+2,298kb32kb34k或 f(x)=-3x-4.例 已知 是二次函数，若 ，求 .()fx(0),(1)(1ffxfx()fx4.解方程组法：例 设 f(x)满足 f(x)+2f( )=x (x 0 ),求 f(x).1x分析：要求 f(x)需要消去 f( ),根据条件再找一个关于 f(x)与 f( ) 的等式通过1x解方程组达到目的。解：将 f(
9、x)+2f( )=x 中的 x用 代替得 f( )+2f(x)= . 11x消去 f( ) 得 :x2(3f例 若 3f(x)+f(-x)=2 x,求 f(x).解：用-x 替换式中 x得:3f(-x)+f(x)=2 +x.2消去 f(-x) 得：f(x)=2 -2x2x练习、1 若 ，求 ()1f()fx2 若 满足 求x2,ffa重点三 函数的值域、观察法： 例、求下列函数的值域（1） y=3x+2 (-1 x 1) （2） xxf4)(、配方法：例、已知函数 ，分别求它在下列区间上的值域。142xy（1）xR； （2）3，4 （3）0，1 （4）0，5 练习： 1.已知函数 ，分别求它在
10、下列区间上的值域。2yx（1） ； （2） ； （3） ； （4）R0,)x2,x1,2x2.求函数 的值域34说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给 x的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.例若实数 x、y 满足 x2+4y2=4x，求 S=x2+y2的值域解：4y 2=4x-x20x 2-4x0，即 0x431)2(4322 xyS当 x=4 时，S max=16当 x=0 时，S min=0值域 0S16例已知函数 y=f(x)=x2+ax+3 在区间 x-1,1 时的最小值为-3，求实数 a 的值分析：的位置2)( xxfy 称 轴的 抛 物 线 ， 由
11、于 它 的 对的 图 象 是 一 条 开 口 向 上因 为取决于 a，而函数的自变量 x 限定在-1，1内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论解： 43)2()2af7 34)1(1)1( mina afy时 ， 即当 )(6234)2(212)2( 2min 舍得，时 ， 即当 afya7 34)1()3( ina af时 ，即，当综合（1） （2） （3）可得：a=7、换元法例、求函数 的值域。xxf4132)(解：令 ，则 13-4x=t20413t2tx 4)1(32tty该二次函数的对称轴为 t=1，又 t0 由二次函数的性质可知 y4，当且仅当 t=1即x=3时等式成立，原函数的值
12、域为（-，4。例求函数 的值域。1yx解析：方法 1、可用换元法解答 方法 2、根据函数的单调性来做例 求函数 y=2x+2-34 x(-1x0) 的值域解 y=2x+2-34x=42x-322x令 2x=t101t341, 34)2(9433minmax2ytty例 的 值 域， 试 求 函 数的 值 域 是已 知 )(21)(,8)( xfxfgyf 练习、 1.求函数 的值域x122. 求函数 的值域y形 如 ： 的 函 数 可 令 ， 则 转 化 为 关 于 t的 二dcxbay )0(tdcxcdtx2次 函 数 求 值 。（四） 、分离常数法例 求函数 的值域。541xy练习、1.
13、求 的值域 232.求 值域 5xy例、求函数 的值域。12xy解析：因为 ，43)21(1222 xxx而 ，所以 ，则 ，43)1(2x 43102y故 所求函数的值域为 。(此题也可用判别式法求解)，y对于形如 的有理分)0(0()( 222 dafexdcbaxfcadcxbf 或式函数均可利用部分分式发求其值域。（五）判别式法例 的 值 域求 函 数 321xy解 由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)210123(*)0)(yy式 ：， 代 入， 则若（2）若 2y-10，则x R=(2y-1) 2-4(2y-1)(3y-1)0即 (2y-1)(10y
14、-3)021031y值 域练习 1 求函数 的值域 . 21x2求函数 y= 的值域。2（六）利用函数的单调性例 的 值 域求 函 数 12xy解： 均 在 定 义 域 内 单 调 递 增， 211)(1minyxyx原 函 数 值 域 时当 的 定 义 域 是而调 递 增在 公 共 定 义 域 范 围 内 单例 的 值 域， 求 函 数已 知 xxx 12,0解： 调递在 定 义 域 范 围 内 单增 ，在 定 义 域 范 围 内 单 调 递 yy 221减21)(021,0maxinyxy原 函 数 值 域 时当 时当 内 单 调 递 增在例：若函数 的定义域为 R，求 k的取值范围。24
15、3kx【变】若函数 的定义域为 R，求 k的取值范围。2ykx函数的定义域与值域目的：1.能够由函数表达式求出定义域（各种不同类型） ；2.对含字母系数的定义域会对字母参数取值范围进行全面讨论；3.掌握求函数值域的基本方法：观察法、配方法、判别法、换元法、反函数法、均值不等式法、及图象法。一、 选择题：1.函数 y 的取定义域是（ ）12xA.1， 1 B. C.0，1 D.1，1,2.已知函数 f（x） 的定义域是一切实数，则 M 的取值范围是（ ）mA.0m1 B.0m4 C.m4 D.0m43.已知函数 f（x）的定义域为 0，1，那么函数 f（x 1）的定义域为（ ）2A.0，1 B.
16、1，2 C.1， D. ，11 ， 225.函数 y2 的值域是（ ）2A.2， 2 B.1，2 C.0，2 D. ， 6.值域是（0，）的函数是（ ）A.y5 2 B.y（ ） C.y D.x31x 1)2(x|log|2xy7.函数 的值域是（ ）1)(fA.（，1）（5，） B.（1，5） C. （，1）（1， ） D.（， ）（ ，）58.函数 的值域是（ ）2)(xfA.1， 1 B.0， 1 C.1，0 D.1，29.函数 的值域为（ ）)0(1fA. B. C. D.,3,),3(,31,10.函数 y|x 1|x2|的值域是（ ）A. B. C. D. 31二、填空题：11函数
17、 的定义域为_x|112设 ，则 f（x）的定义域是_2)(f13函数 y2 的值域为_|114函数 y=x 的值域为_三解答题：15 求下列函数的定义域1、 2、)13(log2xy 122xy3、 x4 y= 5 y= | 30x16 求下列函数值域（1）y= （ 2）y=x 2-2x+3, x2,3x4523（3）y=2x- （4）y=11217知函数 在5，20上是单调函数，求实数 k的取值范围。2()48fxk18当 时，求函数 的最小值。1,0x 223)6()(axxf19已知 在区间 内有一最大值 ，求 的值.22()4fxax0,15a20若函数 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。3412axy21若 f（x1）的定义域是 ，求 的定义域。3,2)21(xf
