1、20110818 函数的定义域和值域第 1 页 共 14 页函数定义域和值域1函数 f(x) x21的定义域是 （ ）A ，0 B0， ) C （，0） D （，）2函数 )34(log)(2xxf 的定义域为 （ ）A （1，2）（2，3） B ),3()1,(C （1，3） D1，33 对于抛物线线 xy42上的每一个点 Q，点 0,aP都满足 aQ，则 的取值范围是( ) A 0, B , C 2 2,04已知 )2(xf的定义域为 20，则 )(logxf的定义域为 。5 不等式 m对一切非零实数 x 总成立 , 则 m的取值范围是 _。6 已知二次函数 2()fxabc的导数为 ()
2、fx， 0f，对于任意实数 x，有 ()0f ，则 (1)0f的最小值为 。 1.A 2.A 3.B 4. 16,2 5.(,2 6. 520110818 函数的定义域和值域第 2 页 共 14 页一、 函数定义域有两类：具体函数与抽象函数具体函数：只要函数式有意义就行解不等式组；抽象函数：（1）已知 )(xf的定义域为 D，求 )(xgf的定义域；（由 Dxg)(求得 的范围就是）（2）已知 g的定义域为 D，求 的定义域；（ 求出 的范围就是）二、 函数的值域：1、一次函数 的定义域为 R，值域为 R； ）（ 0abkxy2、二次函数 的定义域为 R，）（2c4();40 2abc，aa
3、值 域 是时值 域 是时3、反比例函数 的定义域为 x|x 0，的值域为0(kxyRy且,0|4、 指数函数 的值域为 。)1且 ),0(5、对数函数 的值域为 R；(logaya且6、分式函数 的值域为 。cxby且,|7、正弦函数 ,余弦函数 的值域都是 。ysinxycos1,8、正切函数 , 的值域为 R。),2(taZkx其 中 cot xy ),(Zk三、 求函数值域的方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见 函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域求函数值域的常用方法： 观察
4、法、直接法、配方法、分离变量法、单调性法、导数法 数形结合法（图像法）导数法 数形结合法、判别式法、部分分式、均 值不等式、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定 义域无论用什么方法求最 值，都要 检查“ 等号”是否成立，不等式法及判 别式法尤其如此。常用方法：（1 ）观察法(用非负数的性质，如： ； ； 等)20x0(x例如：求下列函数的值域： ;3y|y变式： 421(),|4yx（2 ）直接法：利用常见函数的 值域来求，例如 ：下列函数中值域是（0，+ ）的是 （ ）A B. C. D. 12yx1()5xy21yx1(0)yx解析：通过基本函数的值域可知：A
5、 的值域为0, + ）,C 的值域为0,1,D 的值域为20110818 函数的定义域和值域第 3 页 共 14 页2, + ).答案：B（3 ）配方法：常可转化为二次函数型 ，配成完全平方式，根据变量的取值范围，cxbfaxFf)()(2然后利用二次函数的特征来求最值；例：求值域： ； 21,yxR1,3;(,5;,1;解析：通过配方可得 ；开口向上，所以当 时，函数取最小值 ；2()42x34y当 x 时，在 时，函数的最小值为 ；最大值在 x=3 时取到， ；3,1x4y()1f故其值域为 ,13; 4练习： (,5;,1;x例：求函数 的值域。)4,0(22xy解：本题中含有二次函数可
6、利用配方法求解,为便于计算不妨设: 配方得:)0(4)(2xfxf利用二次函数的相关知识得 ,从而得出： 。),(4)()2xxf 02,y说明：在求解值域(最值)时, 遇到分式.根式. 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制 ,本题为：。0f变式 1：求函数 y= 的值域.（答：（0,5）3425x变式 2：当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是,(x 3)1(4)(2xaxf 2a_（答： ） ；a变式 3： （1）求 最值。 （动轴定区间）23,ya（2 ）求 的最值（定轴动区间）2,xt变式 4：已知 sinxsiny ，则函数 sinx cos 2y 的最大值为_；最小值
7、为_。13答案： 。1,92解析： 221sini(sin),sin,13uyyy（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；例、求函数 的值域。xxy4132解：由于题中含有 不便于计算，但如果令： 注意 从而得：xt410t20110818 函数的定义域和值域第 4 页 共 14 页变形得 即：)0(3214132 ttytx )0(8)1(22tty 4,(y点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。变式 1：求函数 的值域. x44,解析：令 （t 0） ，则 ，故 ；用配
8、方法tx21t2 2(1),yt4yt经 整 理 得求的 y 的值域为 。,变式 2： 的值域为_（答： ） ； 2sin3cosx 74,8变式 3： 的值域为_（答： ） ；249y132变式 4：函数 的值域为_（答： ，1）(提示：三角代换)1x变式 5：求函数 的值域（答： ,8）(提示：令 t= ，)42(5logl4124xy 5414logx)。t1,变式 6：已知 是圆 上的点，试求 的值域。,(yxp2yxyt32解：在三角函数章节中我们学过： 注意到 可变形为：1cossin24令 则1)2(),0,2,co2sin64si2cot)即 故4,0又 1sint例：试求函数
9、 的值域。xxycsic解：题中出现 而 由此联想到将sio xxcosin21)cos(in,1o22 视为一整体，令 由上面的关系式易得xsinco csinxt故原函数可变形为：2osicoi21txt 2,1)(2,)1(),( ttytytty 即21,（5 ）分离常数法 （ 分式转化法） ； 对分子.分母有相似的项某些分式函数，可通过分离常数法，化成( 常数)的形式来求值域 xfky为B20110818 函数的定义域和值域第 5 页 共 14 页例：求函数 的值域。12xy解:观察分子、分母中均含有 项,可利用部分分式法；则有243)21(1122 xxxy不妨令： 从而)0()(
10、,43)2() fgf ,43)(xf注意：在本题中若出现应排除 ,因为 作为分母.所 故0xfxf 0,g1,)3y另解：观察知道本题中分子较为简单,可令 ,求出 的值域,进而可得到 y 的xy22 1值域。（6 ）逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值x范围；常用来解，型如： ),(,nmdcxbay例：求函数 的值域。12xy解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。反解得 即y2x2反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为： 。),2(),(y变式 1：函数 y= 的值域是（ ）2xA.1，1
11、 B.（ 1，1 C.1，1） D.（1，1）解法一：y= = 1. 1+x 21，0 2.1y1.2x2 2x解法二：由 y= ，得 x2= .x 20， 0，解得1y1.1y解法三：令 x=tan（ ） ，则 y= =cos222tan.2 ，1cos2 1，即1y1.答案： B变式 2:求函数 的值域305xy20110818 函数的定义域和值域第 6 页 共 14 页变式 3:求函数 ，及 的值域10xy12xy（7 ）利用判别式法 针对分式型 ，尤其是分母中含有 时常用此法。2(0abcammnp其 中 ） x2通常去掉分母将函数转化为二次方程 a（ y） x2+ b（y）x+c（y
12、）=0，则在 a（y）0 时，由于 x、y 为实数，故必须有 =b2（y）4a（y）c （y）0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的 x 值.例：求函数 的值域。327xy解：由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得： 当 时，上式可以看成关于4322x 073)2()(2yxy2的二次方程，该方程的 范围应该满足 即 此时方程有实根即 ,f R0 .,290)73(2)(2 yyy细心的读者不难发现，在前面限定 而结果却出现： 我们是该舍还是留呢？y注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是 ）代回方程检验。29,将
13、分别代入检验得 不符合方程，所以 。29,y2y),y变式：的值域。 ；1,521x1,221x 23yx注意：1.一般用在定义域为 R 的情况下，如果定义域不是 R，也可用，但需对最后的结果进行检验、既对y 取得等号值的时候对应的 x 值是否在定义域范围内。2、转化后要对二项式系数是否为零进行讨论3.若对自变量有其他限制，就不好用判别式法了4、分子分母有公因式的时候不能用判别式法，要先化简。如求函数 的值域。21xy原函数可化为 = ( ), 即 1+ ( ), 0,y)1(2x)21x1xx（8 ）三角有界法：运用三角函数有界性来求值域；20110818 函数的定义域和值域第 7 页 共
14、14 页转化为只含正弦、余弦的函数，如 ，可用 表示出 ，再根据 解不等式求sin1xyysinx1sinx出 的取值范围.y例：求函数 ， 的值域（答： 、 ） ；2sin12icos1(,23(,求函数 的值域。 co3sxy 1,3,5（9 ）基本不等式法 ： 利用基本不等式 ， ；求函数的值域时，应注2,()ababRab意“一正、二定、三相等”.设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是_.（答：12,xay12,xy21b） 。(04,)双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值是（ ） 。2ba1e2axb2e21A B 4 C 2 D 解：根据双曲线的离心率公
15、式易得： ，我们知道 所以bae221 xy2（当且仅当 时取“=” ）而 故abe221ba2 ab2（当且仅当 时取“=” ） 。21 )(min21e所 以说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。反例：看起来可用均值不等式，其实不能（1）求函数 的值域)5(xy（2 ）求函数 的最小值。45)(2xf原函数可化简为 令 ，则 这是一“对勾”函数，其在,41)(22xf 42xt .1,2tyt上是减函数，在 上为增函数，所以在 上，函数的最小值是当 时， )1,0(,),2x）min52y（10 ）单调性法：首先确定函数的定义域，再确定函数的定义域（或某
16、个定义域的子集）上的单调性，最后求出函数的值域；常用到函数 的单调性：增区间为 ，减区间)0(axy ),),(a和 （为 。或利用复合函数单调性判断：如： 函数 在 上单调递增，)0),(a，和 （ 0xay,(在 上也单调递增。,20110818 函数的定义域和值域第 8 页 共 14 页如果函数 在区间a，b上单调递增，在区间 b，c上单调递减则函数 在 x=b 处有最大值()yfx ()yff(b)；如果函数 在区间a，b上单调递减，在区间 b，c上单调递增则函数 在 x=b 处有最小值()f ()ff(b)；例：函数 的值域。12yx解：易知定义域为 ，而 在 上均为增函数，当然也可
17、用换元法(,12yx1(,变式：求 ， （答： ）9)yx80(,)9的值域为_（答： ） ；22sin1si,2函数 f(x)= 的值域（ ）x1log83函数 的值域412)(xy0,2（11）数形结合：分析函数解析式表示的几何意义，根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 例：求函数 的值域 .xycos2in3解:看到该函数的形式, 我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ,将原函数视为定点12xyk(2,3)到动点 的斜率 ,又知动点 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点)sin,(cox)sin,(cox（2 ， 3）到单位圆连线的斜率问题, 作出图形观察易
18、得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 326,y变式 1：已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、(,)Pxy21y2yxx3,） ；5,变式 2：求函数 y = + 的值域 . 提示：此题可以看做 到 和2()()(3(,0)x1,2)两点的距离和。 （答：(1,3)9,变式 3：求函数 的最小值为_ _；222(1)(0)(1)yxx2变式 4：求下列函数的值域：（1 ） ； （ 2） ； （3）1x xycosin522xxy（4 ） x 答案： ；sin2coy0,4,y20110818 函数的定义域和值域第 9 页 共 14 页（12 ）导数法 利用导数求闭区
19、间上函数的最值的步骤是：求导，令导数等于 0；确定极值点，求极值；比较端点的函数值与极值，确定最大值与最小值或值域.求函数 ， 的最小值。 （答：48 ）32()40fxx3,四、 恒成立和有解问题 )(fa恒成立 )(fa的最大值； )(xfa恒成立 )(xfa的最小值；x有解 x的最小值； 无解 的最小值；【范例 1】设函数 2()1(0)fttxtR， （）求 x的最小值 h；（）若 ()2htm对 (02)t， 恒成立，求实数 m的取值范围解：（） 310)fxxtR， ，当 t时， ()取最小值 3()ft，即 3()1h（）令 3()2)1gttmt，由 2()30得 ， （不合题
20、意，舍去） 当 t变化时 t， ()的变化情况如下表： t(01)， (12)，()g0t递增 极大值 1m递减()gt在 02， 内有最大值 (1)mhm在 (， 内恒成立等价于 ()0gt在 (2)， 内恒成立，即等价于 1，所以 的取值范围为 1 变式：函数 f（x）是奇函数，且在l，1上单调递增，f（1）1，(1) 则 f（x）在1，1上的最大值 ，(2) 若 2)(at对所有的 x1，1及 a 1，1都成立，则 t 的取值范围是 20110818 函数的定义域和值域第 10 页 共 14 页(1)1 (2) 202tt或或【范例 2】已知函数 ykx与 (0)x 的图象相交于 1()
21、Axy， ， 2()Bxy， ， 1l， 2分别是2()yx的图象在 AB， 两点的切线， MN， 分别是 l， 2与 轴的交点（I）求 k的取值范围；（II）设 t为点 M的横坐标，当 12x时，写出 t以 1x为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（III）试比较 O与 N的大小，并说明理由（ O是坐标原点 ） 解：（I）由方程 2ykx，消 y得 20xk 依题意，该方程有两个正实根，故2180kx，解得 k（II）由 ()fx，求得切线 1l的方程为 112()yxy，来源:学。科。网由 21y，并令 0y，得 1xt1x， 2是方程的两实根，且 12，故21 2848kk， 2k，1
22、是关于 k的减函数，所以 1x的取值范围是 (0)， t是关于 1x的增函数，定义域为 (2)， ，所以值域为 )， ，（III）当 12时，由（II）可知 12xOMt类 似可得 2xON 112Nx由可知 12从而 0M当 21x时，有相同的结果 0OMN所以 ON变式：已知函数 )(log)(l22axya)42的最大值是 0，最小值是 81，求 a的值。20110818 函数的定义域和值域第 11 页 共 14 页分析提示：（1）能化成关于 logax的二次函数，注意对数的运算法则； (2)注意挖掘隐含条件“0a”；（ 3）掌握复合函数最值问题的求解方法。解： )(l)(log22xa
23、ya )log1)(l2(1xaa= 812， 4x，且 y8当 3logxa即 23a时， 1miny321 0，又 最大值是 0， ， log0logxxaa或 即 ax12或 ， )41(2a或 21a练习（1 ）函数 y= 的定义域为_，值域为_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2x（2 ） 函数 y= 的值域是（ ）21A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ，1 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（ 1，1 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ，1） D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（ ，1）（3
24、 ） 求下列函数的最大值或最小值： ；4 ；12yx 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j25y（4 ） 函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jxya0,1 3a对于满足 的一切实数，不等式 恒成立，则 的取值范围为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4p42px20110818 函数的定义域和值域第 12 页 共 14 页已知函数 ， ，构造函数 ，定义如下：当 时，()21xf2()gx()Fx|()|fxg，当 时， ，那么 （ ）()|Fx|f()f有最小值 ，无最大值 有最小值 ，无最大值A0B1有最大值
25、，无最小值 无最小值，也无最大值()C1()D（5 ）函数 的定义域是（ ）)13lg()(2xxfA. B. C. D. ,3,)3,()31,(（6 ）设 ，则 的定义域为（ ）2()lgfx2()ffxA B C D4,0,4,1,(,1)(,2(4,2)(,（7 ）函数 的定义域是( )2loyxA.(3,+) B.3, +) C.(4, +) D.4, +)（8 ）函数 的定义域是（ ）2lgA(0,1 B . (0,+) C. (1,+) D. 1,+)（9 ）函数 f(x) 的最小值为（ ）19i 1|x n|（A）190 （B）171 （C）90 （D）45（10 ）函数 f(
26、x)= (xR)的值域是( )11+x2A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1（11 ）设 ，函数 有最大值，则不等式 的解集为 0,a2lg(3)xfa2log570ax。（12 ）设 ，函数 有最小值，则不等式 的解集为 ,12()lo()af l(1)a。20110818 函数的定义域和值域第 13 页 共 14 页（1 ） 1 ，2 ， 0， 23（2 ）解法一：y= = 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1x1+x2 1，0 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j y1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解法二：由 y=
27、，得 x2= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2x20 ， 0，解得1y 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解法三：令 x=tan（ ） ，2则 y= =cos22tan1头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2，1cos2 1 ，即1 y1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案：B（3 ）解： ，43y24(1)4由 得 ，20x当 时，函数取最小值 ，12当 时函数取最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3or4令 ，则 ，2 (0,)xtx ，221(1)tyt当 ，即 时取等号，函数取最大值 ，无最小值
28、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0t2x12解法（一）用判别式法：由 得 ，251xy2()()50,yxyxR1 若 ，则 矛盾， ，2 由 ，这时， ，y2()4()50yy20110818 函数的定义域和值域第 14 页 共 14 页解得： ，26y且当 时， ， 函数的最大值是 ，无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12x解法（二）分离常数法：由251xy231x23()4x ， ，函数的最大值是 ，无最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23()46y（4 ） 2 B,1)(,)（5 ）解析：由 ，1303xx答案：故选 B.
29、（6 ）解析：f （x）的定义域是（2 ，2） ，故应有2 2 且2 2 解得4x1 或 1x4x故选 B（7 ）解析：函数 的定义域是 ，解得 x4，选 D.log2xy2log 0（8 ） 解析:函数 的定义域是 ，解得 x1 ，选 D.x（9 ） 解析: 表示数轴上一点到 1,2,319 的距离之19()1239nfxx 和,可知 x 在 119 最中间时 f(x)取最小值.即 x=10 时 f(x)有最小值 90,故选 C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.（10 ）解析：函数 f(x)= (xR)， 1，所以原函数的值域是(0，1 ，选 B.11+x2 2（11 ）解析：设 ，函数 有最大值， 有最小值， 0,a2lg(3)xfa2lg(3)lg2x0a1， 则不等式 的解为 ，解得 2x3，所以不等式的解集为2log570ax25701.2,3（12 ）解析：由 ，函数 有最小值可知 a1，所以不等式0,1a2()log(3)afxx可化为 x1 1，即 x2.log(1)ax
