1、包络法加工原理曲面的分类：（1）回转面；（2）螺旋面；（3）轨迹曲面；（4）直纹面;(5)自由曲面复杂曲面加工方法：（1）轨迹法；（2）仿形法；（3）包络法（相切法） ；（4）展成法包络法加工：包络法加工依据的是曲面共轭原理，它要求一对曲面在共轭点处相切接触。共轭条件：（1）接触条件 要求一对共轭曲面在共轭点处具有相同的矢径； （2）相切条件 要求一对共轭曲面在共轭点处具有相同的法线方向。上述相切接触条件用公式表示为： (1)2)(30re式中， ，为曲面 ： 经运动 后的矢量；(1)()1,()uvtr 1)()(1),uvR1()t，为曲面 ： 经运动 后的矢量；(2)()22()(2)2
2、为曲面 和 在运动条件下的单位法矢，即：(1)23,e1()2(1)()31uvt。(2)()32,()vte上述接触条件式包含了 3 个独立的标量方程；相切条件由于是单位矢量，包含了 2 各独立的标量方程，因此相切接触条件共包含了 5 个独立的标量方程，一对共轭曲面除需要满足接触条件与相切条件之外，尚需满足不干涉条件。(2)1e(2)eco 103.1 诱导曲率与曲率干涉3.1.1 诱导曲率为了确定两共轭廓面 、 在啮合点处的相对弯曲程12度，可以过两廓面的公法线作法截面，它同廓面 、 的12交线 、 称为“法截形” ，如图所示。1c2定义 )2()1()2(nnkk为共轭曲面的诱导法曲率，
3、简称诱导曲率。诱导曲率标征了刀具曲面和工件曲面在刀触点邻域内各方向上的相对弯曲程度。曲面法曲率的符号同单位法矢方向有关。假设曲面 的 u-曲线和 v-曲线为曲面的1曲率线，在曲面 上建立公共标架 ，其中 ， 分别为 u-曲线和 v-曲1123(,);uvree2线的单位切矢， 为曲面的单位法矢。对于公共标架， 具有确定方向，规定 指向3e 33e凹处时法曲率为正，反之为负。由此可见，图中的 为正， 为负， 为两诱导)1(nk)(n)21(nk曲率绝对值之和。设公共标架中的 方向表示曲面 的两个主方向，曲12,e1面 的两个主方向为 ，曲面 的第一主方向与曲面2()2的第一主方向夹角为 ，法截形
4、曲线 、 在公共切平1 01c2面 中的投影 与 （曲面 的第一主方向）的夹角为ec1e1，则法截形曲线 与曲面 的第一主方向 轴夹角为22e。根据法曲率欧拉公式可知210()(1)(1)22(2)010cossin)nkk将上式代入共轭曲面诱导法曲率公式，即可获得两共轭曲面的诱导曲率。可以看出，诱导曲率不但和两曲面的主曲率有关，还和两曲面第一主方向的夹角、法截形的方向角 有关。当 在 变化时，必然存在 的最大值和最小值，0112)21(nk称为诱导主曲率，分别用 与 表示。诱导主曲率所在的方向称为诱导主方向。)2(k)(同理可以定义诱导平均曲率和诱导总曲率：(21)()()()12kHK3.
5、1.2 曲率干涉为保证两个廓面正常啮合，不但要求它们能够相切接触，它们还必须满足“不干涉条件” ，否则称为“曲率干涉” 。为讨论两廓面的曲率干涉问题，可以根据它们的法截形曲线的曲率特征分为如图所示的三种情况，图中规定：单位公法矢 由 的实体指向空域（即由 的空域指向实体）3e21。于是有：(1) 凸凸接触（图 a）此时 , ，不干涉条件为 或 。0)1(nk)2(n )2()1(nk0)1(2) 凸凹接触（图 b）此时 , ，不干涉条件为 或 。)1(n)2(n )2()1(n)1(3) 凹凸接触（图 c）此时 , ，不干涉条件为 或 。0)1(nk)2(n )1()2(nk0)21(由以上讨
6、论，无论何种情况，不干涉条件均为诱导法曲率非负。否则将发生曲率干涉。因此：不干涉条件： 或 干涉条件： 0)21(nk 0)21(nk由于诱导主曲率 、 为 的最大值和最小值，不干涉条件可以写为：)(1)(210)21(k利用式（A39）可得： ()()12(1)(2)0KkH上式表明：不发生曲率干涉的充分必要条件为：诱导平均曲率、诱导总曲率非负。数控加工的特点（1）加工复杂曲面的需要（2）提高加工精度（3）提高加工效率复杂曲面的分类（1） 参数曲面：直纹面、螺旋曲面等（2） 自由曲面：冲压、铸造模具曲面等基本概念：（1）刀触点 （CC ）（2）刀位点 （CP）复杂曲面的加工方法：（1）端铣：
7、采用圆盘铣刀的端刃进行加工。（2）侧铣：采用圆柱铣刀、圆锥铣刀、鼓形铣刀的侧刃进行加工；主要适应于直纹面。为了提高加工效率，刀轴方向应尽量选择在曲面上比较平坦的方向，即法曲率绝对值最小的方向（诱导法曲率最小） 。成型原理：（1）成型法（2）轨迹法：车削、平头刀铣削（3）包络法：线接触包络法、点接触包络法任务（1）合理规划刀具路径：行切法、环切法、截面包络法、螺旋线包络法、基于最小诱导法曲率的刀具路径优化（2）计算刀位轨迹：在保证相切接触的条件下刀具姿态的确定，刀位坐标的计算（3）干涉判断：曲率干涉曲面区域分类（1）椭圆域（凸椭圆域和凹椭圆域）（2）双曲域（马鞍域）（3）抛物域（凸抛物域和凹抛物
8、域）球头刀加工曲率干涉刀触点处的切削速度： 2sinvrR式中， 曲面刀触点处的法矢 n 与刀轴矢量的夹角。在刀具中心处， 。 0v优点：球头刀切削点法矢自动指向球心，三坐标联动即可加工；法向具有自适应性，刀位轨迹（球心坐标）按工件法向等距面编程，编程简单。缺点：切削点速度低刀杆碰撞干涉 球头刀四轴加工避免刀杆碰撞球头刀半径选择设刀具球头半径为 R，工件曲面上任意点处的最大主曲率为 ，最小主曲率为 ，1k2k且规定工件曲面凹向为正，凸向为负。（1）凸椭圆域曲面或凸抛物域曲面 理论上刀具半径不受限制，但要考虑加工效率和表面粗糙度（加工残留高度） 。（2）凹椭圆域曲面 12minaxRk，（3）双
9、曲域（马鞍域）曲面 两个主曲率异号，设 ， ，则有10k211axk（3）凹抛物域曲面 设 ， ?10k211maxR平头刀加工假设被加工参数曲面 上某一刀触点 P 处的单位法矢为 n，在切平面内沿进()Suv，给方向的单位切矢为 f ，垂直于进给方向的单位切矢为 b，并且满足 ，三者构b=f成一个右手直角坐标系。在五坐标数控铣床上用平头刀加工自由曲面，其实质是轨迹法加工，此时在刀触点处仅需要满足接触条件，而不需（也无法）满足相切条件。刀具相对工件的进给运动方向必须在工件刀触点的切平面内。假设刀轴矢量的初始位置平行于工件刀触点处的法矢 n，即刀具底平面位于由矢量 f 和 b 构成的切平面内，如
10、图所示。在实际加工时，为了避免曲率干涉和提高加工效果，往往使刀轴矢量 x 绕刀触点b 轴旋转（倾斜）一个角度 ，称为刀倾角，如图所示；同时，使刀具绕刀触点的法矢n 偏转一个角度 ，称为 侧偏角，如图所示。这两个角度完全决定了刀轴的姿态。根据曲面在不同刀触点处的曲率特征，对刀轴的这两个角度进行优化是一项重要课题。平头立铣刀的刀轴矢量转动两个角度之后，其刀具底平面在与进给方向垂直的法平面 内的投影为椭圆，如图所示，其长半轴为刀具半径 R，短半轴 a、长轴与切bn，矢 之间的夹角分别为 sicotantaR在刀触点法平面 内的椭圆方程可写b，为 221(sinco)xyR曲率半径为322232sin
11、co1()i()xRx进而可求最大值max(0)sincoR在最大曲率半径点周围点的曲率半径逐渐减小。为使计算误差减小，可采用通过刀触点和椭圆长半轴端点的圆弧半径替代，称为平均圆弧半径，用 表示。eR21sinco1(,)2sinco(,)sieRRRkk可以看出，当 时， ；当 时，0e221coseR在使用平头刀加工自由曲面时，在不发生曲率干涉的前提下，使用较小的轴倾角，可以得到较大的有效半径，从而使残留高度减小，加工效率提高。当 在 030 度范围变化时，k 会发生较大变化。当 ， 。 152.06k平头立铣刀加工刀位计算对于平头立铣刀，刀具的方位是指其底面中心的坐标和刀轴矢量。给定工件
12、曲面上一个刀触点 及其单位法矢 ，首先使其刀具底面与工件刀触点切平面重合，刀具iPn前缘置于 点，此时刀轴矢量和刀具中心点矢量分别为i iRaxncPf令刀轴矢量绕 b 轴旋转一个倾角 ，可得cosin()cos(sincos)i iRRaxfPPf再令刀轴矢量绕 n 旋转一个摆角 ，可得cos(sin)sincocoiRaxfbP加工效率分析球头刀的加工效果与刀轴倾角无关；平头立铣刀加工时残留高度会随着刀轴倾角的减小而迅速下降。图中，横坐标为倾角（ ） ，单位为度。R*为刀具半径；h 为加工残留高度；L 为加工行距。当 R*为常数时，纵坐标可认为是加工残留高度；图中虚线是球头刀加工残留高度随
13、刀具倾角变化情况，虚线水平表示不变化；实线表示平头刀加工残留高度随刀具倾角变化情况。图中四条曲线分别表示行距与刀具半径比分别为 0.1、0.2、0.3、0.4 时的残留高度随刀具倾角变化的特征。可以看出：1）虚线水平，表明球头刀的加工残留高度与刀轴倾角无关；2）实线表明平头刀加工的加工残留高度随刀轴倾角变化显著；3）当 时， ， ，平头刀加工与球头刀加工残留90(,)1keR高度接近；4）当 时， ， ，平头刀加工残留高度接近为零。(,)e例：加工平面时，平头刀： ， ， 时，50mR520mL0.87mh球头刀： ， 时， 1.在保证相同加工精度（加工残留高度）前提下的加工效率（切削行距）加
14、工宽度为 250mm 平面平头刀： ， ， 时， ，5050.2h3.4L250/3.48n( )78meR球头刀： ， 时， ，.1m/1球头刀加工行距、残留高度、刀具半径的关系: 20220 2 20=() (/)LhRhh L切削速度分析平头刀速度在加工过程中不随刀轴倾角的改变而改变。 02vrnR球头刀： max0在三角形中，由于22 20 0() RhRh式中，h 为加工残留高度。于是 22max 02shvnhnkvR式中， ，称为速度系数。shkR在实际加工中，一般情况下满足 ，于是 。由此可见，平0.2.1h0.2.4sk头铣刀的主切削速度是球头刀的 25 倍。曲面 上一点 邻
15、域内一点 到 点切平面的距离定义为“离差” ，用 表示。0P0Ph2222311()cosinnhdkdskdsreA在 点邻域内，近似 令0xy，21()ky数控加工刀具轨迹的规划在复杂曲面的多坐标数控加工中，刀具轨迹的优劣直接影响其加工精度和加工效率。同一曲面加工所选刀具轨迹不同，其精度和效率会有很大差别。刀具轨迹优劣的评价指标好的刀具轨迹应能在保证较高加工精度的前提下，使加工效率最高。具体体现在如下几个方面：1）刀具轨迹的长度 包括刀具有效切削长度和空行程长度2）刀具轨迹的连续性 3）刀具轨迹方向的一致性 包括刀具运动切线方向（ ）和在某一轨迹上曲面(21)v法矢方向的变化情况。刀具轨迹
16、的规划应该沿着法曲率变化较小的方向，从而使其切线方向和法矢方向的变化量尽可能小。刀具轨迹生成方法参数曲面加工的刀具轨迹生成算法有多种，如等参数线法、等距截平面法、等距偏置法、等残留高度法和空间填充法等。（1）等参数线法是最常用的刀具轨迹规划方法，其算法简单。对于曲面 ，按照 u-参数线（ ）或(,)uvR0(,)uvRv-参数线 （ ）进行加工。0但因相邻两参数线间距（ 或1iiv）只能根据两相邻刀具轨迹残留高度最大值处1iiu理，加工效率较低。（2）等距截平面法用一组平行平面与曲面相截，将所得到的截线作为刀具运动的轨迹（刀位轨迹？刀触点轨迹） ，通常采用与某坐标轴垂直的平面来截取。如 ，或(
17、,)izuv(,)ixuv（3）等距偏置法是求边界曲线的等距离曲线作为刀具轨迹线。上述方法的间距都只能根据残留高度最大处决定，因而加工效率都比较低。（4）空间填充线法它具有很好的连续性和在参数区间上分布的均匀性。但切削方向频繁变化。（5）等残留高度法是通过控制相邻轨迹间的距离使得轨迹间的残留高度不变，从而在已知一条加工轨迹、刀具半径和允许残留高度的前提下，计算下一条刀具轨迹。这是一种高效的加工方法。等残留高度的刀具轨迹算法等残留高度的刀具轨迹算法行距计算公式残留高度 h 是两切削行的间距 、刀具有效切削半径 、曲面沿行距方向（进给2LR方向的正交方向）的法曲率半径的函数 。*R残留高度 h 随
18、 的增大、 的减小、 的减小（工件曲面凹为正，凸为负）而增2L大。在加工过程中，要保持残留高度 h 不变，调整刀具姿态，使诱导法曲率最小，并且两切削行的行距根据曲率在行距方向的诱导法曲率半径的变化而改变。行距计算公式加工平面加工平面2222()LRhRh加工凸曲面 22* *sin cos1LLRR2*11 *()()1LOS R*21sinsin222*()LSQSROS*1OTR于是可得： 2 2* * *211*(,)()1()LLhLQTSOTRRR进而有 * 2* *2*2*42(,)()()()()()RLRhRhRRh令 *2*43*()hhR于是 *2(,)2RLRh加工凹曲面
19、同理可求 *2(,)2LhR设曲面方程为 ，曲面上的初始刀具轨迹曲线为 ，其相邻刀(,)uvr (),()tutvr具轨迹为 ，两条刀具轨迹在各点处具有相等的残留高度。*()t特征：两条相邻刀具轨迹 和 在 处()tr*t0t对应点规定为 和 ，二者的连线距离为 ，0()tr*0t 2L它是参数 t 的函数，即 ； 位于曲面上过2()L*0()tr点且垂直于 的测地线上。0()tr0tr和 在 处满足如下条件：*()*2()()0uvdttLrr将 用泰勒公式展开，并略去二阶以上各项，可得*()tr*()uvtrr代入上式，可得 220()()dudEFGttttvL求解方程组可得 2 22 2()()()()duvtu dEGFGttduvLFtv dtt相邻刀具轨迹方程可表示为 *()(),()tuttvtr与原始刀具轨迹曲线正交的短程线曲率半径的计算与原始刀具轨迹曲线 正交的短程线条件：(),utvr*)()0vuvddrr根据上式可以求得 *FGtduvvE根据曲面的法曲率公式，与原始刀具轨迹曲线 正交方向的法曲率为(),tr*2*1FGRkLMN
