1、专题一 函数与导数第一讲 函数的图象与性质一、选择题1(2015重庆高考)函数 f(x)log 2(x22x3) 的定义域是( ) A3,1 B(3,1)C(，31，) D(，3)(1 ，)2(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ayxsin 2x By x 2cos xCy 2x Dy x 2sin x12x3若 loga20，且 a1)，则函数 f(x)log a(x1)的图象大致是( )4已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)g(x) x 3x 21，则f(1)g(1)( )A3 B1 C1 D35(2015唐山模拟)f(
2、x )是 R 上的奇函数，当 x0 时，f (x)x 3ln(1x) ，则当 xf f(43) (12) ( 65)Bf f f(12) (43) ( 65)Cf f f( 65) (43) (12)Df f f(43) ( 65) (12)7(2015杭州模拟)已知函数 f(x)e x1，g(x)x 24x3.若有 f(a)g( b)，则 b 的取值范围为( )A2 ，2 B(2 ，2 )2 2 2 2C1,3 D (1,3)8已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若对于 x0，都有 f(x2)f(x) ，且当 x0,2)时，f(x) ex1，则 f(2 015)f( 2 016)( )A
3、1e Be 1 C1e De19(2015唐山模拟)已知 f(x)Error!的值域为 R，那么 a 的取值范围是( )A(，1 B.( 1，12)C. D. 1，12) (0，12)10(2015温州模拟)已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是( )Af(x)x 22ln|x|Bf(x)x 2ln|x |Cf(x)| x|2ln|x |Df(x)|x|ln|x |11(2015武昌模拟) 如图，直线 l 和圆 C，当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数，这个函数的大致图象
4、是( )12已知 yf(x )是定义在 R 上的偶函数，对任意 x 恒有 f(x6)f(x )f(3)，当x1，x 20,3且 x1x 2 时， 0，给出下列命题：fx1 fx2x1 x2f(3)0；直线 x6 是 yf(x)的一条对称轴；yf(x) 在(9，6)上为增函数；yf(x) 在9,9上有四个零点其中所有正确命题的序号为( )A B C D二、填空题13设函数 f(x)x(e xae x )(xR )是偶函数，则实数 a 的值为_14已知函数 f(x)a xb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.15(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(
5、单位：)满足函数关系 ye kxb (e2.718为自然对数的底数， k，b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时16已知函数 y 的图象与函数 ykx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值|x2 1|x 1范围是_答案1解析：选 D 要使函数有意义，只需 x22x30，即 (x3)(x 1)0，解得 x1.故函数的定义域为(，3) (1， )2解析：选 D A 项，定义域为 R，f(x)xsin 2xf(x) ，为奇函数，故不符合题意；B 项 ，定 义域 为 R，f(x) x 2cos xf (x)，
6、为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R，f(x )2 x 2 x f(x)，为偶函数，故不符合题意；D 项，定 义域为 R，f(x)12 x 12xx 2sin x， f(x)x 2sin x，因为 f(x)f(x)，且 f(x)f(x)，故为非奇非偶函数3解析：选 B 由 loga20，又 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)( x)3ln(1 x)x 3ln(1x )6解析：选 C 由 f(x11)f(x1)f(x)，知 f(x)的周期为 2，所以 f(x)在 1,0上为减函数，故偶函数 f(x)在0,1上为增函数，而 f f ，f f f ，所以( 65) (45) (
7、43) ( 43) (23)f f f ，即 f f f .(45) (23) (12) ( 65) (43) (12)7 解析：选 B f(a)的值域为(1，) ，由b 24b31，解得 2 0 时，函数 f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于 1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于 0 的正根，可分别得 1， ，2,1，由此可得仅函数 f(x)x 2ln| x|符合条件2211解析：选 C 当转动角度不超过 45时，阴影面 积增加得越来越快，图象下凸；当转动角度超过 45时，阴影面积增加得越来越慢， 图象上凸，故选 C.12解析：选 D 令 x3，得 f(3)f(3)
8、f(3)，即 f(3) f (3)0，故 正确由f(x 6)f( x)，知函数 yf(x)是周期 为 6 的偶函数又当 x1，x20,3且 x1x 2时，0，故函数 yf(x) 在0,3上为增函数作出函数 yf(x )在区间9,9上的大致图fx1 fx2x1 x2象，如图所示由图形，可知函数 yf(x)关于直线 x6 对称，且 f(3)f(3)f(9)f(9)0， yf( x)在( 9， 6)上单调递 减，即 是正确的13解析：设 g(x)x ，h(x) exae x ，因为函数 g(x)x 是奇函数，则由题意知，函数h(x)e xae x 为奇函数，又函数 f(x)的定义域为 R，h(0)0
9、，解得 a1.答案：114解析：当 a1 时，函数 f(x)单调递增，则Error!无解；当 0 cb Ba bc Ccab Dbca3已知函数 f(x) log 2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是 ( )6xA(0,1) B(1,2) C(2,4) D(4，)4(2015辽宁五校联考)一个人以 6 米/ 秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车 25 米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同) ，汽车在时间 t内的路程为 s t2 米，那么，此人 ( )12A可在 7 秒内追上汽车B可在 9 秒内追上汽车C不能追上汽车，但期间最近距离为 14 米D不能追
10、上汽车，但期间最近距离为 7 米5已知 ab1,0 x Bx axb Clog x alogx b Dlog a xlogb x(1a) (1b)6设 10Cf(x 1)0，f(x 2)0，f(x 2)011(2015唐山模拟)函数 f(x)e x ，g(x)|ln x|，若 x1，x 2 都满足 f(x)g(x)，则( )Ax 1x2e B1 ，3525 0，幂函数 yx 在第一象限是增(25)35(25)25 25 25 25函数， ，即 ac，acb.(35)25(25)253解析：选 C 因为 f(1)6 log2160，f (2)3log 2220 ，f(4) log 24 b1,0
11、b1,0b1,0b1,0logb x，故 D 成立6解析：选 A 1 ， 21 时，y 是增函数；y 2 x 也是增函数所11 x以 f(x)是增函数，因为 f(x0) 0 且 x1x0，所以 f(x1)0.11解析：选 D 若 x1，x2 是函数 f(x)e x |ln x|的两个零点，则 x1，x2 是函数 ye x和 y|ln x|的图 象交点的横坐标， 画函数 ye x 和 y|ln x|的图象如图所示，由图可得Error!即1ln x2，所以 ln(x1x2)1.答案：(，1)(1 ，)第三讲 导数的简单应用一、选择题1(2015丰台模拟)直线 yx4 与曲线 yx 2x 1 所围成
12、的封闭图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 223 283 323 3432设函数 f(x)ax 2bx c (a，b，c R )若 x1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 yf( x)图象的是( )3若 f(x)的定义域为 R，f(x)2 恒成立，f(1) 2，则 f(x)2x4 的解集为( )A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)4已知常数 a，b，c 都是实数，f (x)ax 3bx 2cx34 的导函数为 f(x) ，f(x)0的解集为x| 2x 3，若 f(x)的极小值等于115，则 a 的值是( )A B. C2 D58122 135(2015江
13、西八校联考)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数 f(x )，当 x0 时，f(x) 0，若 asin 1f(sin 1)，b3f (3)，cln 3f(ln 3)，则下列关于 a，b，c 的大fxx小关系正确的是( )Ab ca Ba cb Ccba Dbac二、填空题6(2015乌鲁木齐市诊断)已知 a0，函数 f(x)(x 22ax)e x，若 f(x)在 1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是_7函数 f(x)x 2ex 在区间(a，a1) 上存在极值点，则实数 a 的取值范围为_8.(2015盐城模拟)若函数 f(x)ln xax 2bx a2b 有两个极值点 x1，x
14、2，其中 120，且 f(x2)x 2x1，则方程 2af(x)2bf( x)1 0 的实根个数为_三、解答题9已知函数 f(x) ln x ，其中 aR ，且曲线 yf (x)在点(1，f(1)处的切线x4 ax 32垂直于直线 y x.12(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值10(2015日照模拟)已知函数 f(x)cos ，g( x)e xf( x)，其中 e 为自然对数的底(x 2)数(1)求曲线 yg(x)在点(0，g(0)处的切线方程；(2)若对任意 x ，不等式 g(x)xf(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围； 2，0(3)试探究当 x 时，方程 g(
15、x)x f(x)的解的个数，并说明理由4，211(2015重庆高考) 设函数 f(x) (aR) 3x2 axex(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 yf(x) 在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)若 f(x)在3 ， )上为减函数，求 a 的取值范围12已知函数 f(x)xln x，g( x)ax 3 x .12 23e(1)求 f(x)的单调递增区间和最小值；(2)若函数 yf(x )与函数 yg(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数 a 的值答案1解析：选 C 因为 x4x 2x 1 的解为 x1 或 x3，所以封闭图形的面积为S x4(x 2x1
16、)dx (x 22x 3)d x x3x 23x .3 1 3 1 13 3 1 3232解析：选 D 设 F(x)f(x)e x，则 F( x)e xf(x) f (x)因为 x1 是 F(x)的一个极值点，所以 F(1) 0，得出 f( 1)f(1)0，在 选项 D 中，观察图象得 f(1)0，f ( 1)0，所以 f(1)f( 1)0 与 f(1) f (1)0 矛盾3解析：选 B 构造函数 F(x)f (x)2x ，则 F(x)f(x) 20，所以函数 F(x)在定义域上单调递增，又 F(1) f(1) 24，所以 f(x)2x4 的解集为(1，)4解析：选 C 依题意得 f(x)3a
17、x 22bxc 0 的解集是 2,3，于是有3a0，23 ，23 ，b ，c18a，函数 f(x)在 x3 处取得极小值，于是2b3a c3a 3a2有 f(3)27a 9b3c 34 115， a81，a2.8125解析：选 A 令 g(x)xf( x)，则 g( x)f (x)xf(x)，当 x0 时， f(x) 0，fxx当 x0 时，g (x)0，当 x0 时，函数 g(x)单调递增，函数 f(x)是奇函数，g(x) xf(x)为偶函数，b3f( 3)3f(3)，又 1ln 3sin 1，3f(3)ln 3f(ln 3)sin 1f(sin 1)，即 bca.6解析：f (x )e x
18、x22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f( x)0 在1,1 上恒成立，令 g(x)x 22(1a)x2a，则 Error!a .34答案： 34， )7解析：函数 f(x)x 2ex 的导数为 y2x exx 2exxe x(x2) ，令 y0， 则 x0 或x2，当 x(2,0)时 f(x)单调递减，当 x(， 2)和 x(0，)时 f(x)单调递增， 0 和2 是函数的极值点，因为函数 f(x)x 2ex 在区间( a，a1)上存在极值点，所以 ax1，大致 图象如图，那么根据对应的图形，数形结 合可得 f(x)x 1 有三个实根，f (x)x 2 有两个实根，故方程 2af
19、(x)2bf(x)10 的实根个数为 5 个答案：59解：(1)对 f(x)求导得 f( x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x，12知 f(1) a2，解得 a .34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ，x4 54x 32则 f(x ) ，x2 4x 54x2令 f(x )0，解得 x1 或 x5，因 x1 不在 f(x)的定义域(0， )内，故舍去当 x(0,5)时，f(x )0，故 f(x)在(5， )内为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小 值 f(5)ln 5.10解：(1)依题意得， f(x)sin x，g(x)e x
20、cos x，g(0)e 0cos 01，g(x)e xcos xe xsin x，g(0)1，所以曲线 yg( x)在点(0 ，g(0)处切线方程为yx1.(2)不等式恒成立等价于对任意 x ，m g(x)xf(x )min. 2，0设 h(x)g(x) x f(x)，x . 2，0则 h(x) e xcos xe xsin xsin xx cos x(e xx)cos x(e x1)sin x.因为 x ，所以(e xx )cos x0， 2，0(ex1)sin x0 ，所以 h(x) 0，故 h(x)在 上单调递增， 2，0因此当 x 时，函数 h(x)取得最小值 h ；2 ( 2) 2所
21、以 m ，即 实数 m 的取值范围是 .2 ( ， 2(3)设 H(x)g(x)xf (x)，x .4，2当 x 时，H (x )e x(cos xsin x)sin xxcos x0，H 0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2时，g(x)0，得 x ，1ef(x)的单调递增区间为 .(1e， )又当 x 时，f(x)0，则 f(x)在 上单调递增，(1e， ) (1e， )f(x)的最小值为 f .(1e) 1e(2)f( x)ln x1，g( x)3ax 2 ，12设公切点的横坐标为 x0，则与 f(x)的图象相切的直线方程为 y(ln x01)xx 0，与 g(x)的图象相
22、切的直线方程为 y x2ax ，(3ax20 12) 30 23eError!解之得 x0ln x0 ，1e由(1)知 x ，1ea .e26第四讲 导数的综合应用1(2015上饶模拟)已知函数 f(x)e xmx2，g(x) mx ln x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 m1 时，试推断方程： 是否有实数解|gx|ln xx 122已知函数 f(x)aln x 1( a0)(1)当 a1 且 x1 时，证明：f(x)3 ；4x 1(2)若对x(1，e)，f(x) x 恒成立，求实数 a 的取值范围3(2015菏泽模拟)已知函数 f(x) (其中 kR，e2.718 28是自然对
23、数的底数)，ln x kexf(x)为 f(x)导函数(1)当 k2 时，其曲线 yf( x)在点(1，f(1) 处的切线方程；(2)若 x(0,1时， f( x)0 都有解，求 k 的取值范围；(3)若 f(1)0，试证明：对任意 x0，f ( x)0)上的最小值；(3)若对一切的 x(0，)，2f (x)0)上不是单调函数，求实数 t 的取值范围；(t，t 12)(3)如果当 x1 时，不等式 f(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围ax 1答案1解：(1)由题意可得：f ( x)e xm.当 m0 时，f(x )0，所以当 m0 时，函数 f(x)的单调增区间为 R.当 m0，即 exm
24、0，可得： xln(m )；令 f(x )0)，易得：g(x) 1.1x令 g(x)0，可得： 01.故 g(x)在 x1 处取得极大值，亦即最大 值即 g(x)g(1)1，|g(x)|1.令 h(x) ，ln xx 12所以 h(x) .1 ln xx2令 h(x)0，可得： 0e.故 h(x)在 xe 处取得极大值，亦即最大 值h(x)h(e) 3 ，即 证 ln x 20，4x 4 4x 1令 m(x)ln x 2，4x 1则 m(x) 0.1x 4x 12 x 12xx 12所以 m(x)在(1，)上单调递 增，所以 m(x)m(1)0，所以 ln x 20，4x 1即 f(x)3 成立4x 1(2)由 f(x)x 且 x(1，e)可得 a ，x 1ln x令 h(x) ，h( x) ，x 1ln x ln x 1 1xln x2由(1)知 ln x1 1 0，1x 1x 4x 1 x 12xx 1所以 h(x)0，函数 h(x)在(1， e)上单调递增，当 x(1，e)时，h(x)0，g(x)0， h(x)单调递增；x (e2 ，)时，h(x)0，h(x) 单调递
