1、1第三讲 函数连续与导数一、一点连续的定义1、 设 在某 内有定义且 ，则称 在 连续；f0()Ux00lim()xfxf0x2、 设 在某 内有定义且 ，则称 在 右（左）连续；0) 0()()ff0x3、 在 连续 ；f0x00,:|()|xfx在 右连续 ；0,|()|Uf在 左连续 . f0x 00,:()|xfx 4、 ；0 000 (,)(,)lim()lisuplimlinx xUxxUff ；00 0,(,)lisupf xf f在 连续 .()f5、 间断点：1） 第一类间断点：可去间断点： ；跳跃间断点 ；00lim()xfx00()()fxf2） 第二类间断点： 与 至少
2、有一个不存在.0()f二、性质：1、 局部有界性：2、 局部保号性：3、 四则运算：4、 复合函数连续性：若 在 连续， 在 连续，则 在 连续.f0xg0()ufxgf0x5、 区间上的单调函数只有跳跃间断点.三、区间上连续函数及性质1、 若函数 在区间 I 上的每一点都连续（对于区间端点单边连续） ，则称 为区间 I 上的连续函数。f f2、 闭区间上连续函数的性质：1）(最大与最小值定理)若 ,则 在 上有最大与最小值 .()fCabf,ab2）(有界性定理) 若 ,则 在 上有界.3） （介值定理）若 ，则 为闭区间.()f(,)f4） （反函数的连续性）若 在 上严格单调且连续，则
3、在闭区间 上连续.,ab1f(,)fab四、一致连续21、设 定义在区间 I 上，若 当 时，有 ，则称f 0,|xIx|()|fxf在区间 I 上一致连续.2、 ，则 在区间 I 上一致连续0,(,)sup()|,|ffxfxIxf.limI3、 在区间 I 上不一致连 使得 ，f 0lim(,)0,nIfxyI|0nxyin|()|nxfy4、 在区间 I 上一致连续 ，当 时，有 .f 0,N(),fxyNxI|()|fxy证明: 必要性:设 在区间 I 上一致连续, 则 当 时，有f 0,|,从而当 时,必有 . 令 .则当|()|fxf|()|xf|x2N时，有 .若不然, 但,yN
4、I|()|fy(), ,fxyyI,因此 . 取整数 ,使得 ,令 ,则 .|()|fx|xy1k()k12不妨设 ,这时 由 ,则由介()fy() .ffxf()()fxfy值性定理, .类似 .如此下去得11,:xfx2121(,:()y, , .于是 ,从而0ky 1()iifxfxi ,k 1ix,矛盾.()()()fxyfkNx充分性: 设 ，当 时，有 .取 ,若0,N(),fxyxI|()|fxyN,则 ,从而 .|()|fxy()fxy|()|()yff5、 （一致连续性定理）若 ,则 在 上一致连续.()fCabf,ab6、 ，则 在 上一致连续 都存在 使得(,)fCab,
5、()f(,)FCab.),xF3证明: 必要性: 设 在 上一致连续,则 当 时，有f()ab0,|xIx,从而当 时,有 ,由 Cauchy 准则 存在,类似|()|fxf,x|()|fxf()fa可得 存在.b充分性:设 , 存在, 时()fCa(,)fb0,(,2),(2,)xaxb有 .由 在 上一致连续,所以 当 ,|()|x0a时有 ,从而当 , 时有 .即 在|()|fxf ()xab|x|()|fxff上一致连续.(,)ab7、若函数 在 上一致连续，求证： 在 上有界. (华东师大 04)(xf),1xf)(),1证明: 由函数 在 上一致连续,所以 当 时,有(xf10,1
6、,)|2xx,对 ,有 ,令 ,则 ,有|()|1fxf1n1n,故 ,令1()()()nkffxfxkfx 1|()|max|()|tfft, .1ma|)|tMft 1nM五、初等函数在其定义区间上连续.六、举例：1、设 且 存在，则 在 上一致连续。( 在 有界连续,但不一致(,)fCalim()xff,)a1sinx(0连续. 在 上一致连续, ),cosxcos2ii2xx2、设 ， ，则 ，使得(0,1)f(1)f,0,1n1()(.ffn证明：当 时，取 . 当 令 ,则 ,且n)Fxx1(0,)FCn,所以 .1(0)(1)0FFn 110min()a()xxn3、 设 在开区
7、间 可微，且 在 有界。证明 在 一致连续.（北大 05）xf,ba)(f,baf,b4、 设实函数 f 在0,+ 上连续,在(0,+ )内处处可导且 (存在).证明:当且仅当 A+ 时,flixA)( 4在0,+ )上一致连续.(清华 99)证明: 当 时,则 当 时, ,从而 在 上一致连续.又 在A0,Mx|()|1fxAf(,)Mf上一致连续.故 在 上一致连续.0,Mf)反之若 在 上一致连续,则 当 时,有 ,从而f),0,)|xx|()|1fxf,故 .,1|()|()|222n nxfnf 2lim|()|li|nxnAf5、 证明函数 在 上一致连续. （北大 01）)lx1
8、,证明: .l(0()2f x6、 函数 在 上一致连续，又在 上一致连续， ，用定义来证明 在 上一)fx,ab,bcabc()fx,ac致连续. （北大 00）7、 设 ，若存在 ，则必存在 ，使得(,)fClim()0,li()0xaxbfAfB(,)b.（北大 99）)08、 函数 在 上连续，且 求证： 在 上有最大值或最小值.( 华(xf).,)(lifx)(xf).,东师大 04)9、 若函数 在 上一致连续，求证： 在 上有界. (华东师大 04)(f),1f),1证明: 由函数 在 上一致连续,所以 当 时,有(xf)10,1,)|2xx,对 ,有 ,令 ,则 ,有|()|1
9、fxf1xn1n,故 ,令1()()()nkffxfxkf 1|()|max|()|tfft, .1ma|)|tMft 1nM10、设 f(x)在 中任意两点之间都具有介质性，而且 f 在（a，b）内可导， （K 为正常,b ()fx数） ， 证明：f 在点 a 右连续，在点 b 左连续. (华东师大 00)()xa11、设 在 上连续，在 上可导，且 存在，证明 在 上一致连续.f0,1(0,1)0,1)lim()xff(0,1(北师大 04)证明:,设 . 0lim()xfA51) 当 时, 只要证明 存在,由 , 则 当 时 ,且0A(0)f0lim()xfA0,(,)x(0fx,从而
10、在 上严格增, 当 时,存在 ,|()|1xf)fx12n12n,故正项级数11(22nnnfff1()nf1(2)n1()收敛,于是 存在,由单调收敛原理得 存在.11()nnfflim()nnf(0)f2) 当 时,由 1)知 在 上一致连续,从而 在 上一致连续.0Af(0f(,13) 当 时, ,由 1) 在 上一致连续.又因为 在10li)0xx)x(0,11x上一致连续,故 在 上一致连续.(1f(,12、设 在 上定义，且 存在（ 时为单侧极限） ，证明 在 上有界. f,ab,lim()txabf,xabf,ab(北师大 03)证明: 用反证法.若 在 上无界,则 ,不妨 .由
11、致密性定f,li|()|nnnflim()nfx理 有收敛子列,不妨 收敛, ,这与 存在矛盾.nxnxlixabtx13、设 在 上连续，无上界且对任意 ， 在 上不取最小值.证明 在 上f,)ab(,),cdf(,)cdf,)ab严格增.证明: 用反证法.若 ,使得 .由 无上界,则存在 使得 ,于xyb()fxyfyb()fdfy是 在 上取最小值.这与题设矛盾.f(,)xd14、设 在 上一致连续， 在 上连续，且 .证明 在 上一致a,)alim()0xfx,)a连续.15 (大连理工 04)(),()inf().(),atxfxbxb b设 在 上 连 续 ， 对 ， 定 义 证 明 ： 在 上 连 续 .证明: , 当 时,有 .0a0,0,00)fx下证 在 右连续, , ()mx0x0()()i()atxfxm0inf(xtm, 从而 .00)f16、 (大连理工320(),1li():(),1.xx ffx设 在 上 连 续 ， 可 导 ， 并 且 存 在 。 求 证 在 上 一 致 连 续04)(取 , ,但 在 上不一致连续)f3201lim()xff,1
