一次函数复习讲义.doc

1、【知识网络】【高清课堂 396533 一次函数复习 知识要点 】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值，xyx都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.y是 的函数，如果当 时 ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.xxayba函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， 0.特别地，当 0 时，ykxbkkb一次函数 即 （ 0），是正比例函数.ykxb要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作

2、为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 0 时，向ykxbykxbb上平移；当 0 时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图象之ykxykx间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响：kbykxb（1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小倾斜程度） ，决定它与 轴交点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限 bykbykxb（2）两条直线 ： 和 ： 的位置关系可由其系数确定：1l1

3、yx2l2与 相交；12k1l2，且 与 平行；1212b1l2，且 与 重合；12k121l2（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象.xayb要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 函 数 问 题方程（组） 、不等式问题从“数”的角度看 从“形”的角度看求关于 、 的一元一次xy方程 0（ 0）ab的解为何值时，函数 的xyaxb值为 0？确定直线 与 轴yaxb（即直线 0）交点的横坐标 求关于 、 的二元一次xy方程组 的12，ab解为何值时，函数x与函数1yab的值相等？2x确定直线 与直线1yaxb的交点的坐标2求关于

4、 的一元一次不等x式 0（ 0）的ab解集为何值时，函数 的yaxb值大于 0？确定直线 在 轴yaxb（即直线 0）上方部分的所有点的横坐标的范围1、无论 、 为何实数，直线 与 的交点不可能在（ ）mn31yxymxnA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C；【解析】由直线 的解析式可以看出，此直线必过一二四象限，不经过第三31yx象限因此两直线若相交，交点无论如何也不可能在第三象限2、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家 s（米）与散步所用的时间 t(分)之间的函数关系依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ）A.从家出发,到了一个公共阅报栏,

5、看了一会报后,就回家了.B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18 分钟后才开始返回.3、 一次函数 ，若 1，则它的图象必经过点（ ） yaxbA、(1,1) B、(1, 1) C、(1, 1) D、(1, 1)4、汇通公司销售人员的个人月收入 (元)与其每月的销售量 (千件)成一次函数关系，其yx图象如图所示，则此销售人员的月销售量为 3500 件时的月收入是_元5、已知一次函数 与两坐标轴围成的三角形面积为 4， _【答案】 ；【解析】由题意： .21|4,16

6、,42bb6、若 、 为全体实数，那么任意给定 、 ，两个一次函数 和mnmn1ymxn（ ）的图象的交点组成的图象方程是_.2ynxmn【答案】 ；1【解析】当两个一次函数 和 （ ）的图象的有交点时，1ymxn2yxmn， ， ， 1.mxnx7、作出函数 的图象，并根据图象回答下列问题：24yx（1）当2 4 时，求函数 的取值范围；y（2）当 取什么值时， 0， 0， 0；x（3）当 取何值时，4 2【答案与解析】解：当 0 时， 4，xy当 0 时， 2，即 过点（0，4）和点（2，0） ，过这两点作直线即x为 的图象，从图象得出函数值随 的增大而增大；4yxx（1）当 2 时， 8

7、，当 4， 4，当2 4 时，函数 的取值xyxyxy范围为：8 4；（2）由于当 0 时， 2，当 2 时， 0，当 2 时， 0，当 2yxxyxyx时， 0；（3）当 4 时， 0；当 2 时， 3，当 的取值范围为：0 3y时，有4 2y13.如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 P（1， ） 1lyx2lymxnb（1）求 的值；b（2）不解关于 ， 的方程组， 1yxn，请你直接写出它的解；xy（3）直线 ： 是否也经过点 P？请说明理由3lnm解：（1）将 P（1， ）代入 ，得 112；byxb（2）由于 P 点坐标为（1，2） ，所以 y（3）将 P（1，2）代入解析式 得，

8、 ；mxn2将 1 代入 得 ，xyny由于 ，所以 2，m故 P（1，2）也在 上ynxm7、如图所示，直线 的解析表达式为 ，且 与 轴交于点 D，直线 经过1l3yx1lx2lA、B 两点，直线 、 交于点 C1l2(1)求点 D 的坐标； (2)求直线 的解析表达式；2l(3)求ADC 的面积；(4)在直线 上存在异于点 C 的另一点 P，使得ADP 与ADC 的面积相等，请直接写2l出点 P 的坐标【答案与解析】解： (1)由 ，当 0，得 0，得 l D(1，0)3yxy3xx(2)设直线 的解析表达式为 ，2lkb由图象知， ， ； ， 4x0y3x2y将这两组值代入，得方程组,

9、3.2kb解得3,26.kb 直线 的解析表达式为 2l362yx(3) 点 C 是直线 与 的交点，于是有1l23,6.2yx解得 C(2，3),3.xy ADC 的 AD 边上的高为 3 OD1，OA4， AD3 ADC9|32S(4)P(6，3)【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高8、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0） ，B（0，1） ，C（1，0） ，过点 C 的直线绕 C 旋转，交 轴于点 D，交线段 AB 于点 E.y（1）求O

10、AB 的度数及直线 AB 的解析式；（2）若OCD 与BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 轴上的一点 P 满足yAPE45，请直接写出点 P 的坐标.（1）A（ 1，0） ，B（0，1） ，OAOB1，AOB 为等腰直角三角形OAB45设直线 AB 的解析式为： ,将 A（ 1，0） ，B（0，1）代入，ykxb解得 1， 1bk01直线 AB 的解析式为： yx（2） BDEOC S ODEAADS四 边 形四 边 形 即 OBCEA S 2121y，将其代入 ，得 E 点坐标（ ）yEx1,2设直线 CE 为 ，将点 C（1，0） ，点 E（ ）代入kb,，解得 bk2103直

11、线 CE 的解析式： 1xy点 E 为等腰直角三角形斜边的中点当点 P（0，0）时，APE45【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.9、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400 的邮局办事，小明出发的同时，他m的爸爸以 96 / 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留 2 后沿原min min路以原速返回，设他们出发后经过 时，小明与家之间的距离为 ，小明爸爸tin1s与家之间的距离为 ，图中折线 OABD、线段 EF 分别表示 、 与 之间的函数关系2s 12t的图象.（1）求 与 之间的函数

12、关系式；2st（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？解：(1) 24009625t设 ，将（0，2400）和（25，0）代入得：2skb54k 解得： 2496k 96 24002st（2）由题意得 D 为（22，0）设直线 BD 的函数关系式为： smtn得： 0241nm解得： 52804 240 5280st由96 2400240 5280 解得： 20ttt当 20 时， 480s答 ：小明从家出发，经过 20 在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有 480min.m10、 如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和

13、时间变化的图象，根据图象回答问题(1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；(2)指出轮船和快艇的行驶速度；(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?【解析】解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为 ykt 其过(8，160)可得 1608 ， 20k即轮船的路程和时间的函数解析式为 (0 8)20yt设快艇的路程和时间的解析式为了 1ktb 点(2，0)，(6，160)在图象上， ，解得 1206kb1408kb 快艇的路程与时间的关系式为 408(26)ytt(2)轮船的速度为 20 千米/时，快艇的速度为 40 千米/时(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等 ，解得 2048t4t 4

14、22， 快艇出发 2 小时后赶上轮船11、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是 4千米小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线 OABC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 （千米）与所经过的s时间 （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：t(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_分钟，小聪返回学校的速度为_千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程 (千米)与历经过的时间 (分钟)之间的函数关系式；st(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米? 【思路点拨】 （1）图象所示 AB 段为查阅资料时

15、间.线段 BC 表示小聪返校时的图象.（2）s是 t 的正比例函数，可设 skt，将（45,4）代入求出 k 即可.（3）先求出直线 BC 的解析式，再求出 BC 与 OD 的交点.【答案与解析】解：(1)15 ； 415；(2)由图象可知， 是 的正比例函数st设所求函数的解析式为： (0)skt代入(45，4)得：445 解得 45 与 的函数关系式为 (04)stst(3)由图象可知，小聪在 30t45 的时段内与小明相遇是 的一次函数，设函数解析式为 (0)smtn，st代入（30，4） ， （45，0）得 3450n解得：4152n 12(304)5stt，令 ，415tt解得 4t

16、当 135t时， 1354s答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米12、已知在长方形 ABCD 中，AB=4，BC= ，O 为 BC 上一点，BO= ，如图所示，以BC 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段 OC 上的一点（1）若点 M 的坐标为（1，0） ，如图，以 OM 为一边作等腰OMP，使点 P 在 y 轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；（2）若点 M 的坐标为（1，0） ，如图，以 OM 为一边作等腰OMP，使点 P 落在长方形 ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合

17、条件的点 P 的坐标（3）若将（2）中的点 M 的坐标改为（4，0） ，其它条件不变，如图，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点 P 的坐标【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据线段垂直平分线的性质解答即可；（3）分 OM=OP、OP=PM 、 OM=MP 三种情况，根据等腰三角形的性质解答【解答】解：（1）以 OM 为一边作等腰 OMP，点 P 在 y 轴上，OP=OM，又点 M 的坐标为（1，0） ，OP=OM=1，符合条件的等腰三角形有 2 个，则点 P 的坐标为（0， 1） 、 （0，1） ；（2）由题意得，OM

18、 为等腰 OMP 的底边，则点 P 在线段 OM 的垂直平分线上，点 P 的坐标为：（1，4） ，则符合条件的等腰三角形有 1 个；（3）如图，OP=OM，OP=4，BP= = ，点 P 的坐标为（ ， ） ，由题意得，P的坐标为（0，4） ，P 的坐标为（1，4） ，P的坐标为（4，4） ，符合条件的等腰三角形有 4 个【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键13、如图，四边形 OACB 为长方形，A （6，0） ，B （0，4） ，直线 l 为函数 y=2x5 的图象（1）点 C 的坐标为 ；（2）若点 P 在直线 l

19、上，APB 为等腰直角三角形，APB=90 ，求点 P 的坐标；小明的思考过程如下：第一步：添加辅助线，如图，过点 P 作 MNx 轴，与 y 轴交于点 N，与 AC 的延长线交于点 M；第二步：证明MPANBP；第三步：设 NB=m，列出关于 m 的方程，进而求得点 P 的坐标请你根据小明的思考过程，写出第二步和第三步的完整解答过程；（3）若点 P 在直线 l 上，点 Q 在线段 AC 上（不与点 A 重合） ，QPB 为等腰直角三角形，直接写出点 P 的坐标【考点】一次函数综合题【专题】综合题；一次函数及其应用【分析】 （1）根据矩形的性质可以求得（2）由MPANBP 列出方程即可求解（3

20、）分三种情形讨论PBQ=90，利用图 1 中 PMBBNQ 即可求出BPQ=90，利用图 2 中 PMBCNP 即可求出PQB=90，利用图 3 中 PNQBMQ 即可求出【解答】解：（1）四边形 AOBC 是矩形，AO=CO=6，AC=BO=4，点 C 的坐标为（6，4） 故答案为 C（ 6，4） （2）根据题意得：AMP=PNB=90，APB 为等腰直角三角形，AP=BP，APB=90 ，APB=AMP=90，NPB+MPA=MPA+MAP=90，NPB=MPA，在MPA 和 NBP 中，MPANBP（AAS） ，AM=PN，MP=NB，设 NB=m，则 MP=m，PN=MN MP=6m，

21、AM=4+m，AM=PN，4+m=6m，解得：m=1，点 P 的坐标为（5，5） ；（3）设点 Q 的坐标为（6，q） ，分 3 种情况讨论：当 PBQ=90时，如右图，过点 P 作 PMy 轴于点 M，点 Q 作 QNy 轴于点 N，QBN+PBM=90， MPB+PBM=90QBN=MPB，PMB= QNB=90在AQN 和PBM 中，PMBBNQ，MB=NQ=6， PM=BN=4q，P（q4，10） ，代入 y=2x5，解得：q= 3.5，p（ 7.5，10） 当 BPQ=90时，若点 P 在 BQ 上方，即为（ 2）的情况，此时点 Q 与点 A 重合，由于题设中规定点 Q 不与点 A

22、重合，故此种情况舍去；若点 P 在 BQ 下方，如右图，过点 P 作 PNAC 于点 N，作 PMy 轴于点 M，设 BM=m，APM+NPC=90， NQB+NPQ=90，BPM=NQP，在APM 和 QPN 中，PMBCNP，PN=BM=m，PM=6m，P（ m6，4m） ，把 P 坐标代入 y=2x5，得 4m=2m+125，解得：m=3此时点 P 的坐标为（ 3，1） ；当 PQB=90时如右图，过点 Q 作 QMy 轴于点 M，过点 P 作 PNAC 垂足为 N，设 BM=m，PQB=MQN=90，PQN=MQB，在PQN 和BQM 中，PNQBMQ，QN=QM=6，MB=NP=m ，P（ 6m，10m） ，把 P 坐标代入 y=2x5，得：10 m=12+2m5，解得：m=1，此时点 P 的坐标为（7，9） ，综上所述，点 P 的坐标为（7.5，10）或（3，1）或（ 7，9） 【点评】本题考查矩形、一次函数、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性质等有关知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用方程的思想解决问题