1、含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按 项的系数 的符号分类，即 ;2xa0,a例 1 解不等式： 0122x分析：本题二次项系数含有参数， ，故只需对二次项422系数进行分类讨论。解： 0422aa解得方程 两根1x ,241axax242当 时,解集为0a a2| 或当 时，不等式为 ,解集为01x21|x当 时, 解集为0a aa424| 2例 2 解不等式 0652xa分析 因为 ， ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。0解 32)(2x当 时，解集为 ；当 时，解集为0a|x或
2、 0a32|x二、按判别式 的符号分类，即 ；,例 3 解不等式 042ax分析 本题中由于 的系数大于 0,故只需考虑 与根的情况。解： 162当 即 时，解集为 ；4,a0R当 即 0 时，解集为 ；4a 2axR且当 或 即 ,此时两根分别为 ， ，显16212162ax然 , 21x不等式的解集为 216216axax或例 4 解不等式 Rmm042解 因 ,01222341)(所以当 ，即 时，解集为 ；3|x当 ，即 时，解集为 ；m0 13213222mx或当 ，即 时，解集为 R。3或 三、按方程 的根 的大小来分类，即 ；02cbxa21,x 212121,xx例 5 解不等
3、式 )0( )(a分析：此不等式可以分解为： x，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为： ，令 ，可得：0)1(axa11当 或 时， ，故原不等式的解集为 ；1a0ax|当 或 时， ,可得其解集为 ；a1当 或 时, ,解集为 。01aax1|例 6 解不等式 ，06522ax分析 此不等式 ，又不等式可分解为 0)3(2ax，故42只需比较两根 与 的大小.a23解 原不等式可化为： 0)3(2ax，对应方程 的两根为0)3(2ax，当 时，即 ，解集为 ；当 时，即x,210x|或，解集为3a|ax或含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”
4、把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程” 、 “化归与转化” 、 “数形结合” 、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有),0()(2Rxacbxxf 1） 对 恒成立 ; f 0a2） 对 恒成立 0)(xfR.例 1：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。02)1()2x
5、m解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以， 。m0)1(8)(012m)9,1例 2已知函数 的定义域为 R，求实数 的取值范围。lg2axya解：由题设可将问题转化为不等式 对 恒成立，即有)(22x解得 。04)1(2a31或所以实数 的取值范围为 。),()1,(若二次不等式中 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。x二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） 恒成立axf)(mi
6、n)(xf2） 恒成立a例 3、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。2,x23xa解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。3fa2,xfx（1） 当 即： 时， 又 所以 不存在；24min730ff734a（2） 当 即： 时， 又aa2in2afxf62442（3） 当 即： 时， 又2min70ff7a47a综上所得：例 4函数 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的),1)(2xaxf ),1x0(xf a取值范围。解：若对任意 ， 恒成立，),1x0(f即对 ， 恒成立，,2xaf考虑到不等式的分母 ，只需 在 时恒成立而得),1x02),1x而抛物线 在 的最小值 得ag2)
7、( ),03(minag3注：本题还可将 变形为 ，讨论其单调性从而求出 最小值。xf 2(xf )(xf例 5：在 ABC 中，已知 恒成立，求 2|,2cos)4(sin) mBBB且实数 m 的范围。解析：由，1,0(sin,0,1si2co)24(sin)( Bf 3,()f， 恒成立， ，即 恒成立，|f)(mBf2)(Bf ,m例 6：求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，显然函数有最大值 ，43,),4sin(2cosin xxa 2。2三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求
8、出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） 恒成立为 参 数 ）agxf)(max)(fg2） 恒成立为 参 数 ）。 例 7、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。,1x240xxaa解：令 ， 所以原不等式可化为： ，2t,0,t221t要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。0, 21tf,222114tftt,tmin34ftf23a132a例 8、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值范lgfxx,x0fxa围。解：根据题意得： 在 上恒成立，21a,即： 在 上恒成立，23ax,设 ，则2f2394fx当 时， 所以xma
9、xf例 9已知函数 时 恒成立，求实数 的取值范围。,0(,4)(2x0)(xf a解： 将问题转化为 对 恒成立。a,令 ，则xg24)(min)(xga由 可知 在 上为减函数，故1)(2)(4,00)4()(mingx 即 的取值范围为 。0a,(注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 10对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。1,a 024)(2axax分析：题中的不等式是关于 的一元二次不等式，但若把 看成主元，则问题可转化为一次不x等式 在
10、 上恒成立的问题。04)2(x1,解：令 ，则原问题转化为 恒成立（ ） 。4)2(af 0)(af 1,a当 时，可得 ，不合题意。xf当 时，应有 解之得 。20)1(f 31x或故 的取值范围为 。x,3,注：一般地，一次函数 在 上恒有 的充要条件为)()(kbxf ,0)(xf。0)(f例 11、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。21xm2mx解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，2f 0f解得：2100xf17322x五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，
11、函数图象和不等式有着密切的联系：1） 函数 图象恒在函数 图象上方；)(xgf )(xf)(xg2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。)(xgf )(xf)(xg例 12设 , ,f4)(2ag134)(若恒有 成立,求实数 的取值范围. xga分析：在同一直角坐标系中作出 及)(xf的图象 如图所示， 的图象是半圆)(xf的图象是04)2(yxg平行的直线系 。3ax要使 恒成立，)(f则圆心 到直线 的距离0,204yx满足 2538ad解得 （舍去)a或由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变” ，当然这需要
12、我们不断的去领悟、体会和总结。例 13：已知 ，求实数 a 的取恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxfa值范围。解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，xxf )(22， 得如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由 得到 a 分别等于 2122)(1a及和 0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间xxy)1(2及 x中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间)1,(x )1,(2y对应图象的上面即可。当 才能保证，而2a只 有时才可以，所以 。2110aa时 ， 只 有 ,1()x-2-4yO-4例 14、若不等式 在23log0a
13、x 10,3x内恒成立，求实数 的取值范围。解：由题意知： 在 内23logax10,3x 恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数 和2ylogax观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，,x1lay23yx所以不成立；当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，则，01alogayx1,3log3a27127综上得： 1例 15设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。)(2mxxf ),1mxf)(解：设 ，则当 时， 恒成立Fx0F当 时， 显然成立；20)(14即 )(当 时，如图， 恒成立的充要条件为：0x解得 。12)(mF23综上可得实数 的取值范围为 。)1, O xyx-1
