1、 1 / 4微专题不等式一元二次不等式恒成立问题一、备考基础查清1、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题. 2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果.二、热点命题悟通考点 1 形如 f(x)0(xR)例 1、若关于 x 的不等式 ax2x10 的解集为 R
2、，则常数 a 的取值范围是_解析由题意得 解得 a .a ，即实数 a 的取值范围是 a ，故选 B.12 12总结反思(1)一元二次不等式在指定范围内恒成立( 或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数2 / 4的最值，进而求出参数范围. 考点 3 形如 f(x)0(参数 ma，b)例 4、已知 a 1，1，不等式 x2(a4)x42a0 恒成立，求 x 的取值范围思路点拨 可把 x 当作 a 的系数，把原不等式化为关于 a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间 1，1恒成立
3、问题解：把原不等式化为 (x2)ax 24x40，设 f(a)(x 2)ax 24x4，则 f(a)可看成为关于 a 的函数由 f(a)0 对于任意的 a 1，1恒成立，得即 解得 x3，f（ 1）0，f（1）0，) x2 5x 60，x2 3x 20，)即 x 的取值范围是(，1)(3，) 总结反思 此类问题的求解有两种方法：(1)直接求解，应用分类讨论思想；(2)应用函数思想，以参数为主元， “反客为主” ，构造关于参数的函数考点 4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例 5、若关于 x 的不等式 ax23x c0 的解集为1，2 ，则 a_，c_解析：由题意得方程 ax23xc
4、 0 的两根为 x11，x 22，由根与系数的关系可得 12 ，12 ，解得 a1，c2.3a ca例 6、 设 a1，若 x0 时，(a1)x1(x 2ax1)0 恒成立，则 a_思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂可考虑根据不等式对应的函数 f(x)、方程f(x)0 和不等式 f(x)0 的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0 ，)上的关系. 解析 设函数 y1(a1)x1，y 2 x 2ax1，则这两个函数图像都过定点 P(0，1)，问题可转化为两个函数在区间(0， ) 上的符号相同在函数 y1(a 1)x1 中，令 y10，得 x 0，1a 1即函数 y1
5、的图像与 x 轴的交点坐标为 M ，(1a 1，0)而函数 y2 x 2ax1 的图像过点 M，则 10，解得 a0 或 a .(1a 1)2 aa 1 32又 a1，所以 a .32三、迁移应用练透1已知关于 x 的不等式 x2ax2a0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析 (1)x 2ax 2a0 在 R 上恒成立， a 242a0 对任意实数 x 恒成立，所以 a 24310 对xR 成立；当 a0 时，要使x R，f(x)0 恒成立，则 解得 00， a2 4a1 的解集为 ( )A(，1)(0 ，) B(，0)(1 ，)C(1，0) D (0，1)解析 (1)f(x)a
6、x 2(a2)x1，(a2) 24a a 240，函数 f(x)ax 2(a2)x1 必有两个不同的零点又 f(x)在 (2，1)上恰有一个零点， f( 2)f( 1)1 即为x 2x0，解得10 在区间1，5 上有解，则 a 的取值范围是( )A. B.( 235， ) 235，1C(1，) D.( ， 235)解析由 a 280 ，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1，5上有解的充要条件是 f(5)0，解得 a ，235故 a 的取值范围为 ，故选 A. ( 235， )6若关于 x 的方程 x2(m1)x m 220 的两个实根一个小于 1，一个大于 1，则实数 m的取值范围是( )A( ， ) B(2，0) C( 2，1) D (0，1)2 2解析 设 f(x)x 2(m1)x m 22，由关于 x 的方程 x2(m1)xm 220 的两个实根一个小于 1，一个大于 1，得 f(1)0，即 12(m1) m220，化简得 m2m20，解得2m1，即实数 m 的取值范围是(2，1). 4 / 47 已知函数 f(x)x 2axb(a，bR )的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)0，a 1，g（ 1） 0，)解得3a1.故所求 a 的取值范围是3，1
