1、最新 料推荐微专题不等式一元二次不等式恒成立问题一、备考基础查清1、 解决二次不等式恒成立问题，通常有两种思路：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式( 组) ；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为函数的最值问题.2、用函数思想研究方程和不等式是高考的热点之一，二次函数的图像位置与对应二次不等式的解集的范围相互联系，可相互转化，二次函数与一元二次不等式联系的核心是二次函数的图像，理清三个“二次”关系是基础，转化是桥梁，运用函数思想解题，往往能够达到事半功倍的解题效果 .二、热点命题悟通考点 1形如 f(x) 0(x R)例 1、若关于x 的不等式ax2x 1 0 的解集
2、为R，则常数a 的取值范围是_ a0，1 解析由题意得解得 a . 1 4a 0，4例 2、不等式 x22x 5 a2 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ()A 1， 4B ( ， 2 5， )C ( ， 1 4 ， )D 2， 5解析 思路点拨 由一元二次不等式大于0 恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x 轴没有交点；方法一：原不等式可化为x2 2x a2 3a 50，要使不等式对任意实数x 恒成立，则( 2)2 4( a2 3a 5) 0，即 a2 3a 40，解得 1 a 4，故选 A.方法二： x2 2x 5 (x 1)2 4的最小值为4，要使 x2 2x
3、 5 a23a对任意实数 x 恒成立，只需 a2 3a 4，解得 1 a 4，故选 A.考点 2形如 f(x) 0(x a ， b)例 3、设对任意实数 x 1，1，不等式 x2 ax3a 0 恒成立，则实数a 的取值范围是 ()11A a 0B a 2C a 4D a 0 或 a 12 解析 思路点拨 由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为其相应的二次函数在给定区间上恒小于 0。设 f(x) x2 ax3a.因为对任意实数 x 1，1，不等式 x2 ax 3a 0 恒成立，f（ 1） 0，（ 1）2 a 3a0，所以即f（ 1）0，12 a 3a1，即实数 a 的取值范围是 a1，故选 B.
4、22 总结反思 (1)一元二次不等式在指定范围内恒成立(或者不等式在指定范围内恒成立)，其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式两端，则问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围 .考点 3形如 f(x) 0(参数 m a， b)1最新 料推荐例 4、已知 a 1，1，不等式x2 (a 4)x 4 2a0 恒成立，求x 的取值范围思路点拨 可把 x 当作 a 的系数，把原不等式化为关于a 的不等式，则原问题转化为一次函数在区间 1， 1恒成立问题解：把原不等式化为(x 2)a x2 4x 40，设 f(a) (x 2)a x2 4x
5、4，则 f(a)可看成为关于 a 的函数由 f(a)0 对于任意的a 1， 1恒成立，得f （ 1） 0，x2 5x 60 ，即x2 3x20 ， 解得 x3，f （1） 0，即 x 的取值范围是(， 1) (3， ) 总结反思 此类问题的求解有两种方法：(1)直接求解，应用分类讨论思想；(2)应用函数思想，以参数为主元，“ 反客为主 ” ，构造关于参数的函数考点 4一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例 5、若关于 x 的不等式 ax2 3xc 0 的解集为 1， 2，则 a _， c _解析： 由题意得方程ax23x c 0 的两根为 x1 1， x2 2，由根与系数的关系可得1
6、2 3， 1 2 c，解得 a 1， c 2.aa例 6、 设 a1，若 x0 时， (a 1)x 1(x 2 ax1) 0 恒成立，则 a _思路本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂可考虑根据不等式对应的函数f(x) 、方程f(x) 0 和不等式 f(x) 0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0， )上的关系 .设函数 y1 (a 1)x 1， y2 x 2 ax 1，则这两个函数图像都过定点解析P(0， 1)，问题可转化为两个函数在区间(0， )上的符号相同在函数 y1 (a 1)x 1 中，令 y10，得 x10 ，a1即函数 y1 的图像与 x 轴的交点坐标为
7、M1， 0，a 1而函数 y2 x2 ax 1 的图像过点 M ，则12 a 1 0，解得 a 0 或 a3.a 1a123又 a1，所以 a .2三、迁移应用练透1已知关于 x 的不等式 x2 ax 2a0 在 R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 _解析 (1) x2 ax2a0 在 R 上恒成立， a2 4 2a0，解得 0a0 对任意实数x 恒成立，所以2 解析 依题意，知 3x a 43 10，解得 23a0 对 ? x R 成立；当a 0 时，要使 ? xR ， f(x) 0 恒成立，2最新 料推荐a0，解得 0a4.则a2 4a1 的解集为 ()A (， 1) (0， )B (，
8、 0) (1， )C ( 1， 0)D (0， 1)解析 (1) f(x) ax2 (a 2)x 1， (a2)24a a2 40 ，函数 f(x) ax2 (a 2)x 1 必有两个不同的零点又 f(x) 在 ( 2， 1)上恰有一个零点，f( 2)f( 1)0 ，3 5即 (6a5)(2a3)0 ， 2a1 即为 x2 x0，解得 1 x0 在区间 1， 5上有解，则 a 的取值范围是 ()A. 23，B. 23， 155C (1， )D.， 235解析 由a280 ，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1， 5上有解的充要条件是
9、 f(5) 0，解得 a 23， 23， ，故选 A.5故 a 的取值范围为56若关于 x 的方程 x2 (m 1)x m2 2 0 的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数 m 的取值范围是 ()A ( 2， 2)B ( 2， 0)C ( 2， 1)D (0， 1) 解析 设 f(x) x2 (m1)x m2 2，由关于 x 的方程 x2(m 1)xm2 20 的两个实根一个小于1，一个大于1，得 f(1) 0，即 12 (m 1)m2 2 0，化简得 m2m 2 0，解得 2m 1，即实数 m 的取值范围是 ( 2， 1).7 已知函数f(x) x2ax b(a， bR )的值域为 0， )，若关于x 的不等式f(x)c 的解集为(m， m 6)，则实数c 的值为 ()A 0B3C 6D 92a2a2 解析 由题意知f(x) x ax b x 2b4 .a2a2f(x)的值域为 0， )， b4 0，即 b 4，3最新 料推荐a 2 f(x) x 2 ， f(x)c，即 xa 2c，解得 a cx0 ，即4a2 4(2 a) 0 或 a 1，g（ 1） 0，解得 3 a 1.故所求 a 的取值范围是 3，14
