1、一、数理逻辑（第 1 章、第 2 章）命题定义、联结词（与、或、非、单条件、双条件）命题公式、真值、真值表、符号化谓词、量词（全称、存在） 、谓词公式一阶逻辑符号化（所有的。 。 。是。 。 。 ， 、和 有些。 。 。是。 。 。 。 特性谓词）谓词公式求真值（在某种解释下）命题公式的等值（等价）演算（十大定律）命题公式的主范式谓词公式的前束范式命题逻辑应用命题逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP）谓词逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP，UI，EI,UG,EG）二、集合论（第 3 章）集合的定义与表示方法（解析法、枚举法、文氏图法）集合间的相互关系（定义，符号： =）集合的运算
2、定义与图示（ - P / ）入集条件集合定律（十大定律）集合恒等式的证明 法一：直接利用定律及已证等式 法二：利用集合相等的定义（左右 右左 x左 x 右）集合的元素计数与应用（包容排斥原理）三、关系论（第 4 章）二元关系的定义及其表示（解析法、集合法、图示法、矩阵法）关系的运算（集合的所有运算+左复合、求逆、求闭包）关系的性质（定义、关系图特点、矩阵的特点、证明）等价关系（定义、等价类、上集、划分）偏序关系与偏序集（定义、哈斯图）全序集（线序集、定义、最元、极元、界元、确界）四、函数论（第 4 章）定义（唯一性）A 到 B 的函数（唯一性、良定性）特殊函数（常、恒等、单增、单减、特征、自然
3、映射）BA 的计数函数的性质（单、满、双，判断）函数的复合（左复合）反函数（只有双设才有）五、代数系统（第 5 章、第 6 章）二元运算（定义，封闭性） 、运算表各种定律（交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元）代数系统、子代数、积代数（定义、特殊元素、代数常数）同态与同构（同态等式、证明）半群、独异点群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶（周期） 、循环群（定义与证明）环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域格（两种定义） 、分配格、有界格、布尔格（判断）六、图论（第 7 张、第 8 张、第 9 张）无向图、有向图、零图、平凡图、完全图、子图、生成子图、补图第一握手定理、
4、度数序列通路、回路、简单。 。 。 、基本。 。 。连通图、强连通图、单连通图、弱连通图点割集、边割集最短路径及求法（Dijkstra）欧拉图、哈密顿图、二部图、平面图（定义、判定）完备匹配、完美匹配欧拉公式第二握手定理对偶图的求法树、有根树、有序树、正则树、完全正则树、有序完全正则树植树原理有序二叉树的遍历（行遍、周游） （先序前缀码波兰码、中序还原原式、后序后缀码逆波兰码） （详见 P198 例 9.4）最优二元树、Huffman 算法、最佳前缀码七、温馨提示结合各章题例分析复习一、判断题1.一个关系不是对称的，则它一定是反对称的。2.在群 中，除幺元 e外，还有其它的等幂元。3.可能有某
5、种关系，既不是自反的，也不是反自反的。4.5.n元组也不是序偶。6.一个函数要有逆函数则它必须为双射函数。 7.S=a,b,c,则S有3个划分。 8.A=,，则(A)= ， ，,9.命题公式 是重言式10、(x) (y) Q(y) W(x)中(y) 的辖域为Q(y) W(x) 11.陈述句“4是素数仅当8是素数”是真命题 12. 13.n个命题变元可产生2 n种命题公式 14. 15.如果一个关系为自反的则不可能是反自反的 16.当一个函数为双射时，其逆关系为双射函数 17.如果A B，则A不可能为B的子集 18. 19.题公式 是一个矛盾式。 20.循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。 21.设
6、A.B. C 是任意三个集合。（1）若A B且B C ，则A C。 （ ）（2）若A B且B C ，则A C。 （ ）（3）若A B且B C ，则A C。 （ ）（4） 。 （ ）（5）(A B) C=(A C)-(B C) 。 （ ）22.可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（ ）23.集合A上的一个等价关系，决定了 A的一个划分，该划分不一定是商集 A/R。（ ）24.集合A上的恒等关系是一个双射函数。（ ）25.代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（ ）26.群是每个元素都有逆元的半群。（ ）27.可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。（ ）28.集合A
7、上的一个等价关系，决定了 A的一个划分，该划分不一定是商集 A/R。（ ）29.集合A上的恒等关系是一个双射函数。（ ）30.代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。（ ）31.群是每个元素都有逆元的半群。（ ）二、选择题1、在下述公式中是重言式为（ ）A ；B ；C ； D 。2、命题公式 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。A0； B1； C2； D3 。3、设 ，则 有（ ）个元素。A3； B6； C7； D8 。4、设 ，S上关系R的关系图为则R具有（ ）性质。A自反性、对称性、传递性； B反自反性、反对称性；C反自反性、反对称性、传递性； D自反性 。5、在如
8、下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有（ ）条。A1； B2； C3； D4 。6、在如下各图中（ ）欧拉图。7、设R是实数集合，“ ”为普通乘法，则代数系统 是（ ）。A群； B独异点， C循环群 ，D 不是代数结构8、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A. 不可能是群 B. 不一定是群 C. 一定是群 D. 是交换群9、设 f,是 A=1,2,3上的关系，则下列正确的是（ ）。A. dom f=1,2,3 B. dom f=2,3 C. ran f=1,2,3 D. ran f=2,310、集合 A=1,2,3上的关系 R=, , , , ，则（）A. R 自反且传递 B
9、. R 不反自反且不对称C. R 反对称且不对称 D. R 不自反且传递 11命题公式 是（ ）。A重言式 B可满足式 C矛盾式 D等值式12设集合A = 1，a ，则 (A) =（ ）。A1，a B ，1，a C ，1，a，1，a D1，a ，1 ，a13下列命题中正确的结论是：（ ）A集合上A的关系如果不是自反的，就一定是反自反的；B若关系R,S都是反自反的，那么 必也为反自反的；C若关系R,S都是自反的，那么 必也为自反的；D每一个全序集必为良序集 .14下列结论中不正确的结论是：（ ）A三个命题变元的布尔小项 的编码是 ；B三个命题变元的布尔大项 的编码是 ；C任意两个不同的布尔小项的
10、合取式必为永假式；D任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式 .15设集合A和二元运算*，可交换的代数运算是（ ）。A设B设C设 ，运算 是矩阵的乘法D设16以下命题中不正确的结论是（ ）A素数阶群必为循环群； BAbel群必为循环群；C循环群必为Abel 群 D4阶群必为Abel群.17设代数系统 和 ，存在映射 ，如果 ，都有（ ），称K 1与K 2同态。A BC D18图G有21条边，3个4度结点，其余均为 3度结点，则G有（ ）个结点。A 13 B 15 C 17 D 1919以下命题中正确的结论是（ ）A 时，完全图 必为欧拉图B如果一个连通图的奇结点的个数大于2，那么它可能是一个E
11、uler图；C一棵树必是连通图，且其中没有回路；D图的邻接矩阵必为对称阵 .20若连通图 ，其中 ，则要删去G 中（ ）条边，才能确定G的一棵生成树。A B C D三、不定项选择 1下列是真命题的有（ ）A ； B ；C ； D 。2下列集合中相等的有（ ）A4，3 ；B ，3，4；C4， ，3，3；D 3，4。3设A=1，2，3，则A上的二元关系有（ ）个。A 2 3 ； B 3 2 ； C ； D 。4设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ ）A若R，S 是自反的， 则 是自反的；B若R，S 是反自反的， 则 是反自反的；C若R，S 是对称的， 则 是对称的；D若R，S 是传递的，
12、 则 是传递的。5设A=1，2，3，4，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下则P（A）/ R=（ ）AA ；BP(A) ；C1，1，2，1，2，3，1，2，3，4；D ，2，2，3，2，3，4，A6设A= ，1，1，3，1，2，3则A上包含关系“ ”的哈斯图为（ ）7下列函数是双射的为（ ）Af : I E , f (x) = 2x ； Bf : N N N, f (n) = ；Cf : R I , f (x) = x ； Df :I N, f (x) = | x | 。（注：I整数集，E偶数集， N自然数集，R实数集）8图 中 从v 1到v 3长度为3 的通路有（ ）条。A 0； B 1；
13、C 2； D 3。9下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（ ）10在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ ）个4度结点。1； B2； C3； D4 。11设全集为I，下列相等的集合是（ ）。A、 ； B、 ； D、 。12.设S=N，Q，R，下列命题正确的是（ ）。A、 ； B、 ； D、 。13.设C=a,b,a,b，则 分别为（ ）。C和a,b；B、a,b与 ；C、a,b与a,b；D、C与C14.下列语句不是命题的有（ ）。A 、 x=13； B、离散数学是计算机系的一门必修课； C、鸡有三只脚；太阳系以外的星球上有生物； E、你打算考硕士研究生
14、吗？15. 的合取范式为（ ）。A、 ；B、 ；C、。16.设|A|=n，则A上有（）二元关系。2n ； B、n 2 ； C、 ； D、n n ； E、 。17.设a , b , c ，* 为代数系统，*运算如下：* a b ca a b cb b a cc c c c则零元为（ ）。a； B、b； C、c ； D、没有。18.集合A=1，2，3，4上的偏序关系图为 则它的哈斯图为（ ）。19.下列关系中能构成函数的是（ ）。A、 ；B、 ；C、 ； D、 。20.N是自然数集，定义 （即x除以3的余数），则f是（ ）。A、满射不是单射；B、单射不是满射；C、双射；D、不是单射也不是满射。四、
15、填空1设 （N：自然数集，E + 正偶数）则 。2A，B，C表示三个集合（图1），文图中阴影部分的集合表达式为 。3设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则的真值= 。4公式 的主合取范式为 。5若解释I的论域D仅包含一个元素，则 在I下真值为 。6设A=1，2，3，4，A上关系图(图2)为则 R 2 = 。7设A=a，b，c，d，其上偏序关系R的哈斯图(图3)为则 R= 。8、图（4）的补图为 。* a b c dabcda b c db c d ac d a bd a b c9设A=a，b，c，d ，A上二元运算如下表：那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。10下
16、图所示的偏序集中，是格的为 。11.n阶完全图结点v的度数d(v) = 。12.设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = 。13.算式 的二叉树表示为。14.如右图给出哈斯图L，则a,c,d,的上界是 。15.谓词合式公式 的前束范式为 。16.图 相对于完全图的补图为（ ）。17.设 ，*为普通乘法，则是（ ）。代数系统； B、半群； C、群； D 、以上都不是。18.设X=a,b,c,Ix是X上恒等关系，要使Ixa,b，b,c，c,a，b,aR为X上的等价关系，R应取( )A.c,a，a,c B.c,b，b,aC
17、.c,a，b,a D.a,c，c,b19.下列式子正确的是( )A. B. C. D. 20.谓词公式( x)(P(x,y)( z)Q(x,z)( y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元 B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元 D.是约束变元但不是自由变元21.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ22.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p(pqr) B.(pp)pC.(qq)p D.(qp)(pp)五、证明 .设 是一个群，证明：如果对任意的a,bG,都有 , ， 和 ,则是一个
18、阿贝尔群。2.设R是A上一个二元关系，S=|(a,bA) (存在某个c A,有R且 R)试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。3.设 是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e,其中e是幺元，证明是一个阿贝尔群。4.设g为X到Y上的函数，f为Y到Z上的函数，则 这个复合函数有如下结论：a)如果 是满射的，那么f是满射的；b）如果 是入射的，那么g是入射的；c）如果 是双射的，那么f 是满射的，g是入射的。5.R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当 和在R中有在R中。 6.f和g都是群到的同态映射，证明 是的一个子群。其中C= 7.G= (|
19、V| = v，|E|=e ) 是每一个面至少由k（k 3）条边围成的连通平面图，则8.对代数系统，*是A上二元运算，e为A 中幺元，如果*是可结合的且每个元素都有右逆元，则（1）中的每个元素在右逆元必定也是左逆元。（2）每个元素的逆元是唯一的。 （逻辑推演部分）9.10.11.A(BC)，BD，(EF)D ，B(AE) B E。12.P Q, ( Q R) R, ( P S) S 13.P(R S) Q), P, S Q14.P(QS), Q, PR RS15.x(F(x) G(x), xF(x) xG(x)16. x(F(x) G(x), x(F(x)H(x) x(G(x)H(x)五、计算
20、1.设集合A=a，b，c ，d上的关系R= , , , 用矩阵运算求出R的传递闭包t (R)。 2.如下图所示的赋权图表示某七个城市 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 3.在二叉树中求带权为2，3，5，7，8的最优二叉树T及T对应的二元前缀码。4.给定解释I：D=2，3，L（x,y）为L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L(2,3) = L(3,2)=0,求谓词合式公式 的真值。 5.设集合a,b,c,d,e 上的关系,写出它的关系矩阵和关系图，并求出的自反闭包，对称闭包与传递闭包。(12)6.设a,
21、b, 求 P（A ）7.设 ，A上的关系 ，求出 。8.求下面式子的真假值，其中 ：1, Q(x):x5而a=5,论域是-2,3,69如图给出的赋权图表示六个城市 及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小总造价。10将公式 划为只含有联结词 的等价公式。六、简答题1设 和 都是群 的子群，问 和 是否是的子群并说明理由。2设 ， ，从A到B的关系，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此关系是否为函数？为什么？3.设S=1 , 2 , 3 , 4, 6 , 8 , 12 , 24，“ ”为S 上整除关系，问：（1）偏序集的哈斯图如何？（2）偏序集的极小元、最小元、极大元、最大元是什么? 4.设解释R如下：DR是实数集， DR中特定元素a=0，DR中特定函数 ，特定谓词 ，问公式 的含义如何？真值如何？ 1、设 ，A上的关系 ，求出。2图给出的赋权图表示五个城市及对应两城镇间公路的长度。连接这五个城市的最短公路长度是多少，为什么？七、
