1、2004 年复变函数与积分变换试卷一、填空题（满分 30 分）（1）方程 的全部解为 031iez。（2） 平面上的直线 （ 为实常数）在映射 下的原像为 wCu2zw。（3）设 在右半平面 是解析函数，则常数xyiyxazfarctn)ln()(20x。（4）设 是从点 到原点 的有向直线段，则积分 Ci1OCzdRe。（5）设 ，其中 为 的正向，则 ，则 = dzzfC)3sin()( 22z)1(f。（6）设 的泰勒级数为 ，则其收敛半径为 )3()1zef 0)2(nnzc。（7）函数 在 处的 Taylor 级数为 。2ln0（8）设 ，则 Res 。1sin)(2zzf 1),(
2、zf（9）设 为单位阶跃函数，则 。)tutu3cos（10）设 ，则 = 。ttfi)(cos()(f二、 （本题满分 10 分）已知调和函数 ，试求其共轭调和函数xyx2,3，使得 为解析函数。),(yxvivuzf)(三、 （本题满分 12 分）将函数 分别在下列圆环域：（1） ； )2()(zzf 10z（2） 内展开成罗朗级数。1z四、 （本题满分 18 分）计算下列积分（1） ，其中 为 的正向；CzdeI2)1(C2z（2） ，其中 ；02sinxa0（3） ，其中 为 的正向。CzdeI3)1(siC1z五、 （本题满分 10分） 求将上半平面 映射成圆 ，且满足0)Im(z2
3、w的分式线性映射。0)2(arg,0)2(iwi六、 （本题满分 10 分）（1）计算 ；tdte023sin（2）若 ， 为非零常数，证明： 。)(F)(tfa)(1)(aFtf七、 （本题满分 10 分）用积分变换求方程 满足初始条件 的解。ty 2)0(,1)(y2005 年复变函数与积分变换试卷一、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。 ）（1） 的实部是 ，虚部是 。)43ln(i（2）若 ，则 Res = 。zzf1cos)(30)(，zf（3）映射 在 处的伸缩率为 ；转动角为 。2wi（4）设 ，则 = .ttfsin)()(tf（5）设 ，则 = 。etc
4、o4二、选择题（本题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）（1）复变函数 在 点解析与在 点（ ）等价。),(),()yxivuzf0z0z（A）可导 （B）某邻域内可展开成幂级数（C） 满足 条件 （D） 可微vu,Rvu,（2）设 在单连通域 内解析， 为 内一条正向简单闭曲线，则必有（ ）)(zf C（A） （B）0ImCdCdzf0)(Re（C） （D ）)(zf（3） 是 的（ ） 。0z2sin（A）可去奇点 （B）本性奇点 （C）二级极点 （D）以上全不正确（4）分式线性映射 ，将 映射成（ ） 。ziw2z（A） （B） （C） （D）0Im11w0Rew（5）如果函数
5、 的幂级数为 ，则此幂级数的收敛半径)(2sin)(izzf0nzc为（ ） 。（A）0 （B）1 （C）2 （D） i（6）设 ，则 （ ） 。)()0ttf)(tf（A）1 （B） （C） （D）20tje0tje三、 （9 分）设 ，求 的值使 为调和函数，并求出解析函数 。yevpxsinv ivuzf)(四、计算下列积分（本题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分。 ）（1）沿从原点到 的直线段，计算积分 。i1idz102)(（2） ，其中 为正向。Cdz212:z（3） ，其中 为正向。Cz)(sin2:zC（4） ，其中 ，正向圆周。Czd35)1( 1:rz（5）求 d
6、x2)(五、 （5 分）求级数 的收敛半径，并讨论 和 2 时级数的敛散性。12)(nnz iz1六、 （10 分）将函数 分别在下列圆环域内展开成洛朗级数。23)(2zzf（1） ； （2） ； （3） 。1021z七、 （9 分）应用拉氏变换解满足初始条件 的微分方程1)0(,)(ytey2八、 （4 分）设函数 在区域 内解析，且满足条件 ，其中ivuzf)(Dcbvau是不全为零的常数，证明 在 内恒为常数。cba, )(zf2006 年复变函数与积分变换试卷一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。 ）（1）已知 是解析函数，则 = ， = ， = 。cxyiba
7、xzf2)( abc（2）设 的 Taylor 级数为 ，则该级数的收敛半径为 )(1sinf nnizc)(0。（3）已知 ，则 = ，etft0)( t)0()(tf。（4） 在 处的伸缩率为 ，转动角为 。3zwi2（5）设 则 = 。tf0)(1ttfcos0)(2，)(21tf二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分。 ）（1）函数 在点 处可导是 在该点解析的（ ）)(zf0)(zf（A）充分条件。 （B）必要条件。（C）充要条件。 （D）既非充分也非必要条件。（2） 将 平面上的直线 映射成 平面上的曲线（ ）2zw1xw（A） 。 （B） 。 （C） 。 （
8、D） 。)1(4uv)(42v12vu12vu（3）设曲线 为单位圆 ，取正向，则积分 （ ）zzdesin（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D）0。esin1sie（4）级数 （ ）02)1(n（A）条件收敛。 （B）绝对收敛。 （C）发散。 （D）敛散性不定。（5） 是函数 的（ ）z32)(zef（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。三、 （12 分）已知调和函数 ，求调和函数 ，使 成为xyvarctn)0(uivuzf)(解析函数，并满足 。2)1(f四、 （20 分）计算下列积分：（1） ，其中 为抛物线 上从点 0 到点 的一段弧；Cdziy
9、x)(2C2xyi1（2） ， ： ，正向；Czd)9(12C2z（3） ， ： ，正向；Czde2)(z（4） 。x21sin五、 （12 分）将函数 分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：)2(1)zf（1） ； （2） ； （3） 。0z2z六、 （10 分）求将上半平面 映射成单位圆 且满足条件0)Im(z1w的分式线性映射。)(arg0)(if，if七、 （12 分）应用 Laplace 变换解微分方程：.1023tt ty，e八、 （4 分）设函数 在区域 内解析，且 在区域 内是一个常数，证ivuzf)(D)(zfD明 在 内恒为常数。)(zfD2007 年复变函数与积分变换试卷一、
10、 填空题（本小题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）（1）已知函数 是解析函数，则 )()( 223lxyinxmyzf l， ， .（2）设 的 Taylor 级数为 ，则该级数)(1)(2izezf0)23(nnizc的收敛半径为 .（3）已知 ，则 . 224Aeet2te（4）计算 .i)1(（5）设 则 .,0)( ,0,21 tetfttf )(21tf二、选择题（本小题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）（1）下列说法正确的是（ ）（A）若 在区域 内可导，则 在区域 内解析。)(zfD)(zfD（B）若 在点 解析， ，则 在区域 内可导。00（C）若 在点
11、 连续，则 在点 可导。)(zf )(zf0（D）若 在点 可导，则 在点 解析。0（2） 将 平面上的曲线 映射成 平面上的图形为（ ）zw142yxw（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D）uu42vu。42v（3）设 为正向圆周 ，则积分 （ ）C1zCdz（A） （B） （C） （D）2i2i4（4）级数 （ ）0cosni（A）敛散性不定。 （B）发散。 （C）条件收敛。 （D）绝对收敛。（5） 是函数 的（ ）z2sin)(zf（A）非孤立奇点。 （B）可去奇点。 （C）一级极点。 （D）本性奇点。三、 （12 分）验证 在右半平面内是调和函数，并求以此为虚部2),(yxv的解析函数 ，且使 .zf1(f四、计算下列各题（本小题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）（1） ；izd0sn（2） ，其中 ，取正向；Czcos23:z（3） ，其中 ，取正向；Cdz2)(:zC（4） ，其中 ，取正向；Cdzz3214:z（5） ，其中 ，取正向；Cz142:zC（6） 。20cos6d五、 （12 分）将函数 分别在下列圆环域内展开成洛朗级数：)4(310)(zzf（1） ； （2） ； （3）120z4六、 （12 分）用积分变换解微分方程 ， .tey2541)0(,)(y七、 （4 分）设在 上 解析，且 ，证明 .1z)(zf1)(zf 1)0(f
