1、第 1 章 命题逻辑1. 命题的定义2. 命题的翻译， “只要就” ， “只有才” ， “除非”等3. 公式分类与等价式（其中比较特别的公式）4. 对偶式5. 范式，主范式，大小项6. 命题逻辑的推理理论第 2 章 谓词逻辑1. 谓词的基本概念， “存在后跟合取，全称后跟条件”2. 约束变元，自由变元3. 谓词逻辑中的等价式（其中比较特别的公式）第 3 章 集合论1. 集合、元素的定义（如 P96 习题 2）2. 幂集的定义3. 集合自身的并、交运算第 4 章 关系与函数1. 关系的定义2. 关系的运算1）基本运算2）特有运算：复合运算；幂运算；逆运算；闭包运算3. 关系的三种表示：集合，关系
2、矩阵，关系图4. 关系的性质：自反性；非自反性；对称性；非对称性；反对称性；传递性。这些性质反映在矩阵上，关系图中有什么特点？5. 等价关系6. 偏序关系：定义；最大（小）元，极大（小）元；后面的格中涉及到的哈斯图第 12 章 代数结构1. 代数结构的定义与例2. 代数结构的性质第 13 章 半群与群1. 半群和独异点的定义及性质2. 群的定义及性质3. Abel 群定义及性质第 15 章 格与布尔代数1. 哈斯图（内容见 PPT）2. 格（内容可以看 PPT，或见附录）第 16 章 图的基本概念及其矩阵表示1. 图的基本概念（包括简单图，多重图，零图，完全图，正则图，生成子图，诱导子图，握手
3、定理的灵活运用）2. 链（或路）和圈（回路）基本链（路） ，简单链（路） ，基本链（路）和圈（回路）的性质无向图和有向图的结点的可达，无向图和有向图连通性，连通分图3. 最短链（路） （包括无向图和有向图）4. 图的矩阵表示：邻接矩阵，关系矩阵，可达矩阵第 17 章 几类重要的图1. 欧拉图与哈密尔顿图：定义与性质2. 二部图：定义3. 树1）无向树：五个定义（性质） （注意灵活运用） ；最小生成树的定义及求法2）有向树：最优二叉树；哈夫曼编码附录：一、 格定义：设是一个偏序集，若对任意 a,bL，存在最大下界(GLB)和最小上界(LUB)，则称为格。用 ab 表示 GLBa,b，a b 表示
4、 LUBa,b，并称 和 分别为 L 上的交（或积）和并（或和）运算。这样我们由偏序关系定义了两种二元运算。有时也用和分别表示 和 因此，格有时也表示成或。二、 子格定义：设是一个格，S 是 L 的非空子集，如果 S 关于运算和是封闭的，则称是的子格。显然，子格本身是一个格。例如：设 是一个格，其中 Sa,b,c,d,e,f,g,h，如图所示，取S1=a,b,d,fS2=c,e,g,hS3=a,b,c,d,e,g,h问，其中哪些构成格？哪些是的子格？,是 的子格，而虽然是格，但不是 的子格，因为 bd=fS 3。三、 分配格定义：设是格，对任意的 a,b,cL，有 a(bc)=(ab)(ac)
5、 (ab)(ac)=a(bc)则称为分配格，称和为格中分配律。性质 1：如果交对并可分配，则并对交也一定是可分配的，反之亦然。只证前半部分，即由推：(ab) (ac)(ab) a) (ab) c)（根据）(aa) (ab) (ca) (cb)（根据，交换律）a (ab) (ac) (bc)a (bc)（吸收律）注：此性质说明，分配格的定义可以简化成只需满足或其中之一即可。性质 2：每个链都是分配格。 （|L| 3）链例：证明是一个分配格。证：设和分别为 Sn 上的交（或积）和并（或和）运算，对于任意 a，b ，cS n，有a(bc)=lcm(a, gcd(b, c)=gcd(lcm(a, b)
6、,lcm(a, c)=(ab(ac)a(bc)=gcd(a, lcm(b, c)=lcm(gcd(a, b),gcd(a, c)=(ab)(ac)（事实上，上面是利用“最大公约数对最小公倍数是分配的，最小公倍数对最大公约数也是分配的”这个性质）hfcbedga故是一个分配格。四、 有界格定义：设是格，若 L 中有最大元和最小元，则称为有界格。由于最大（小）元存在必唯一，故一般把格中最大元记为 1，最小元记为 0。例：试判断下面哪些是有界格？ 五、 有补格补元的定义：设 是有界格，对于 aL，存在 bL，使得 ab=0，a b=1，称 b 为 a 的补元，记为a。显然，若 b 是 a 的补元，则
7、 a 也是 b 的补元，即 a 与 b 互为补元。一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也可能无补元。例：试判断下图中每个元素有无补元，若有，写出补元。1,0 显然互为补元；a 的补元是 e， c 的补元是 d；b 没有补元；d 的补元是 c 和e，e 的补元是 a 和 d。有补格的定义：设 是格，若 L 中每个元素至少有一补元，则称为有补格。例：试判断下图中哪些是有补格？ 性质：1. 有界分配格中，若一个元素有补元，则必是唯一的。2. 有补分配格中，任意一个元素的补元是唯一的。第一章1. 了解命题的判断条件。陈述句；能确定真假。2. 了解五个联结词的含义及真值表3. 了解命题公式的翻译：
8、(一) 她喜欢运动也喜欢读书(二) 他虽聪明，但不用功4. 了解永真式、永假式的概念5. 熟练掌握 P37(,I2, I9, I11,) ,P38(E8,E9,E16,E18,E21,E22)公式 6. 重点掌握主析取范式和主合取范式7. 求与以下公式逻辑等价的主合取范式和主析取范式。a) (AB)(AC)1a cedb0b) (PQ) (PQ)c) A (BC) d) 将公式化成仅含、和的形式。去掉其他联结词e) 利用摩根定律将否定号“”移到各个命题变元之前。f) 利用结合律、分配律等将公式化成合取范式或析取范式的形式。g) 若析取范式的基本积中同一命题变元出现多次，则将其化成只出现一次。h
9、) 去掉析取范式中所有为永假式的基本积，即去掉基本积中含有形式如 P P 的子公式的那些基本积。i) 若析取范式中缺少某个命题变元如 P，则可以用公式(P P)Q Q 将命题公式补充进去，并利用分配律展开。然后合并相同的基本积。8. 命题演算的推理理论第二章1 掌握谓词公式的翻译1. 有且只有一个太阳2. 没有不范错误的人3. 任何整数都是实数4. 所有人都是要死的5. 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明2 了解约束变元和自由变元及量词的辖域1. (1)(“x)(P(x) Q(x)2. (2) (“x)(P(x) ($y)R(x,y)3. (3) (“x)(“y)(P(x,y)Q(y,z)($y
10、)P(x,y)4. (4) (“x) (P(x)($x)Q(x,z) ($y)R(x,y)Q(x,y)3 掌握量词的转换率1. (“x)A(x) ($x)A(x)2. ($x)A(x) (“x)A(x)4 掌握前束范式课本例子：(“x)(“y)($z)(P(x,z) P(y,z) ($u)Q(x,y,u)l 将公式化成仅含、和的形式。去掉其他联结词l 利用摩根定律和量词的转换率将否定号“”移到各个命题函数之前。l 进行约束变元的换名l 量词前移5 谓词演算的推理理论 ES,EG,US,UG 规则(1) 翻译 (2)证明作业 P82 22 题证明下列结论：鱼会游水，猴子不会游水，所以猴子不是鱼。
11、所有的鱼都会游水，所有的猴子都不会游水，所以猴子不是鱼设：P(x):x 是鱼，Q(x):x 是猴子, R(x):x 会游水 第四章1 掌握集合间的关系(, 的区别) 例：A=a, 判断下列结论是否正确。(1) A (2) A (3) A，(4) A (5)a A (6)aA,(7)a A (8)aA (9) (10) (11) (12) (13) 2 掌握集合的运算(交，并，补，对称差，幂集)例子：（1） 设 A=a,b,c,B=a,b,a,b,c，则 AB，A B？|(A)|?（2 ） A=a,a，则 (A) ?第五章1 了解笛卡尔集的概念2 了解关系的概念3 熟练掌握二元关系的性质（1 ）
12、 自反、反自反R 是 N 上的整除关系S=1,2,3,10和 S 中的关系 R=|x+y=10例：R1,R2 是 A=a,b,c上的二元关系，问 R1，R2 的性质R1=，R2=， ，R3=， ，,2 设 A=1,2,3， R 是 A 上二元关系，R 的关系图如图，则 R 具有什么性质？ （2 ） 对称、反对称2 A=1，2，3， R1，R2，R3 是 A 上的二元关系，问其性质R1,，R2,R3,T,2 例:设 Aa,b,c,A 的关系 R,S 为:R,S,（3 ） 传递例:R1,是传递的，R1 =,R2, 是传递的，因为没有满足传递的前提, 没有结论也可以。R3, 不是传递的，因为没有4
13、等价关系概念、划分的概念X=a,b,c,d,R=,试问 R 是否是等价关系5 熟练掌握等价关系的证明设 R 是 A 上的自反和传递关系,如下定义 A 上的关系 T,使得T=|R R,证明 T 是等价关系。6 了解关系的运算(合成、逆、闭包运算) 设 A=a,b,c，A 上的二元关系 R=,，求 r(R)，s(R )，t(R)7 偏序关系重点掌握哈斯图,最大、最小元，极大元、极小元，上、下界，最大下界、最小上界 2 设 A=a,b,c，A 上的偏序集；(1) 作出偏序关系 R 的哈斯图；(2) 令 B=a,c,b,c，求 B 的最大、最小元，极大、极小元，上、下界、上、下确界。2 如图 1 所示
14、给出了偏序集合 的哈斯图，这里 P=x1,x2,x3,x4,x5。(1) 试找出 P 的最大元，极大元，极小元，P 有最小元吗？(2) 试问子集x2,x3,x4,x2,x4,x5 和x1,x2,x3，有无上界，上确界，下界，下确界？如有请求出。 x1 x2 x3x4 x5图 1第六章1. 了解函数的定义2. 掌握特殊函数（满函数，单射函数，双射函数）2 设集合 A=a,b,c,d,B=1,2,3,4,则从 A 到 B 的函数f=,是什么函数2 设 R 为实数集，函数 f:RR,f(x)=x2-2x-1, 则 f 是什么函数3. 了解反函数第八章1. 代数系统的概念，幺元的概念，零元的概念，逆元
15、的概念2. 给出代数系统，能找出其幺元、零元、逆元3. 代数系统的同态和同构例：设 U=,V=是两个代数系统,令映射j : R R1, j(x)=ex则 j 是 U 到 V 的同态映射，因为 j(x+y)=ex+y, j(x)j(y)=exey=ex+y j(x+y)=j(x)j(y)但 j 不是满射,因为 j(R)=R+R。 U 在 j 下的同态象 j(R)是 R 的真子集 R+ 例：设 f:RR 定义为对任意 xR f(x)=5x，那么 f 是从到的一个单同态。 因为 f(x+y)=5x+y=5x5y=f(x)f(y)第九章1. 半群、含幺半群（独立点）的概念练习：P243,62. 群的概
16、念3. 给定代数系统 U=，判定 G 是否是群的步骤：(1) 验证 * 运算的可结合性(2) 验证是否存在幺元 e(3) 验证对于所有 x，是否存在 x-1，使得 x*x-1=x-1*x=e4. 群的同态和同构P246 39,40给定群，且 aG,定义映射 f(x)=a*x*a-1,xG.,证明：f 是 到其自身的同构映射。 第十二章1. 零图、平凡图、完全图、简单图、补图的概念2. 设 G 是含 n 个顶点和 m 条边的无(有)向完全图，则有m= (m=n(n-1)3. 图的矩阵表示作业：P322 23,2第十三章1 欧拉图的概念及其判定定理2 哈密顿图的概念第十四章1 树的概念及相关定理(
17、1)-(5)2 平面图的概念3 欧拉公式4 欧拉公式 5 个的推论5 P352 第 1，2 题要点：1. 命题的判定、符号化，对偶式（选择题） 。2. 小项和大项的定义（选择题） 。3. 谓词逻辑的符号化，谓词公式的等价式，n 元谓词公式定义，自由变元约束变元的判定（选择题） 。4. 幂集，联集（选择、填空）设 A=, ,则幂集 P(A)，P(A)。5. 给定一个关系图，判断关系具有的性质；给出一关系的集合表示，写出自身与自身的复合的集合表示；给定一个关系的集合表示，写出其自反闭包或者对称闭包。 （选择、填空）6. 代数结构的判定，格的类型；格的定义；单向连通、强连通的定义；欧拉圈的定义。 （
18、选择、填空）7. 图论中给定一无向图的顶点数和边数，判定其是简单图或者多重图；强分图、单向分图的个数；树的顶点与树的总度数的关系；前缀码。8. 设图 G 是有 n 个顶点的一颗树，这棵树的总度数应该？9. 设 G为无环的无向图， |V|=7，|E|=24，则 G 是？10. 一棵树有 3 个 2 度点，1 个 3 度点，4 个 4 度点，其余都是叶子结点，问有_片树叶。11. 设无向连通图 G 有 14 条边，有 6 个 4 度顶点，其余顶点度数均小于 3，则 G 中至少有_个顶点。12. 设图 G 是有 7 个顶点的连通图，总度数为 22，则从 G 中删去（ ）条边后使之变成树。13. 推理规则。14. Abel 群的证明。15. 证明是 Abel 群。其中 P(C)是集合 C 的幂集，任意的集合 A,BP（C） ，AB=(AB)(A B)=( A-B)(B -A)16. 哈斯图、判断是否是格、有补格、找出最大元最小元等。17. 幂集或者正因子。18. 有向图的最短路问题。19. 最小树问题。20. 最优二叉树及其权。21. 有向图的邻接矩阵、两个节点之间长度为 n 的路的条数、某节点自身到自身的回路数、长度为m 的回路总数、可达矩阵。
