1、离散数学复习题一. 有两个小题1分别说明联结词 、和 的名称，再分别说明它们在自然语言中表示什么含义。解：(1) 叫做否定 。 (2) 叫做合取。(3) 叫做析取。(4) 叫做蕴涵。 (5) 叫做等价。“”表示“不成立” ， “不” 。“”表示“并且” 、 “不但而且.” 、 “既又 .”等。“”表示“或者” ， 是可兼取的或。“”表示 如果 ，则 ；只要 ，就 ； 只有 , 才； 仅当 。“”表示“当且仅当” 、 “充分且必要” 。2分别列出 P、PQ、P Q、P Q、PQ 的真值表(填下表)。P Q P PQ PQ PQ PQ解：P Q P PQ PQ PQ PQF F T F F T T
2、F T T F T T FT F F F T F FT T F T T T T二. 将下面命题写成符号表达式。(3,4 题要使用句后给定的谓词。)1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。解：设 P：小张去。Q：小王去。R：小李去。此命题的表达式为：(P(QR)( P(QR)2.我们不能既划船又跑步。解：令 P:我们划船。Q:我们跑步。 此命题的表达式为 (PQ) 3.有些运动员是大学生。(L(x): x 是运动员，S(x): x 是大学生。)解：x(L(x)S(x)4.每个运动员都钦佩一些教练。( L(x):x 是运动员，A(x,y):x 钦佩 y，J(x):x 是教练。)解
3、：x(L(x)y(J(y)A(x,y)三. 有三个问题1.先说明什么叫永真式(也叫重言式)。解：A(P1,P2,Pn) 是含有命题变元 P1,P2, Pn 的命题公式，如不论对P1,P2, Pn 作任何指派，都使得 A(P1,P2,Pn) 为真，则称之为重言式，也称之为永真式。2.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。 (1). (PQ)P (2). P(PQ) (3). (P(PQ)Q (4). (PQ)Q 解:(2),(3),(4)为永真式。3.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。证明 (4). (PQ)Q 设前件(PQ)为真，则得 Q 为真。所以(PQ)Q 是
4、永真式。 四. 写出命题公式 (QP)Q 的主合取范式。 （要求有解题过程）解：方法 1：等价变换(QP)Q(QP)Q ( 去 ) (QP)Q ( 摩根定律 ) Q ( 吸收律 ) (PP)Q （互补、同一律 ） (PQ)(PQ) ( 分配律 )方法 2：真值表法先列(QP) Q 的真值表如下：P Q P QP (QP)QF F T T FF T T T TT F F T FT T F F T从真值表看出，该命题公式的主合取范式含有大项 M0和 M2，即(PQ)和(PQ)。于是此命题公式的主合取范式为：(QP)Q (PQ)(PQ)五. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格
5、式书写推理过程。xP(x), x(Q(x)R(x), x(P(x)R(x) xQ(x)解： xP(x) P P(a) ES x(P(x)R(x) P P(a)R(a) US R(a) T I x(Q(x) R(x) P Q(a) R(a) US Q(a) T I xQ(x) EG 六. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 xC(x), x(A(x)B(x), x(B(x)C(x) xA(x)解： x(A(x)B(x) P A(a)B(a) ES xC(x) P C(a) US x(B(x)C(x) P B(a)C(a) US B(a) T I A(a)
6、T I xA(x) EG 七. 令集合 A=1,1,B=1，P(A)表示 A 的幂集。1.判断下面命题的真值。并说明原因，否则不给分。(1) BA, (2) P(B)P(A)(3) P(A) (4) 1P(B)解：P(A),1,1, 1,1P(B),1：真值为 T；因为 A=1,1, B=1, B 是 A 中一个元素，所以 BA。：真值为 T；因为 P(B),1，P(B)中两个元素 和1都属于 P(A),所以 P(B)P(A)。：真值为 T；因为集合中只有一个元素 ，而 P(A)中也有元素 ，所以P(A)。：真值为 F。因为1不是 P(B)中元素，故真值为 F。2.分别计算: （注意：要求要有
7、计算过程，不能直接写出计算结果！）(1) AP(B)(2) AB(3) P(A)P(B)解： A=1,1, B=1， AP(B)1,1 ,1, AB(AB)(A B)=(1,11) (1,1 1)1,1 11。 P(A)P(B),1,1, 1,1,11, 1,1八. 令全集 E=1,2,A=1, P(A)表示集合 A 的幂集。（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）1. 指出 P(E)和 P(A)各有多少个元素。即求|P(E)|和|P(A)|.解：因为 P(E),1,2, 1,2 所以 P(E)有 4 个元素。即|P(E)|4。P(A),1 所以 P(A)有 2 个元素。即|P(A)
8、|2。2. 计算AE解：因为AEA=1,2-1=2AE2 1,2 (21,2)(21,2) 1,221 九. 令集合 A=1,B1,2, P(A)表示集合 A 的幂集。（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）1计算 A 与 B 的对称差 AB。解：AB(A B)(AB)(11,2) (1 1,2)1,21 2 2计算 P(B)P(A)解： P(B)P(A)P(1,2)P(1),1,2,1,2,12,1,2 十. 给定集合 A=1,2,3,定义 A 上的关系如下：R=,S=,T=,M=(空关系)N=AA(完全关系（全域关系）)1.写出关系 R 的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。解：关
9、系 R 的矩阵如下：下面是几个关系的有向图：。 132MS。 132。 132R。132N。 132T2.判断各个关系性质。用“”表示“是” ，用“”表示“否” ，填下表：自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的RSTMN解：01MR自反的 反自反的 对称的 反对称的 传递的R S T M N 3.上述五个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？哪些是 A 上函数？对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。 对函数，指出它的类型。解：S 和 N 是等价关系。 R 是偏序关系。A/S=1,2,3 A/N=1,2,3T 是函数。是双射的。4.分别求复合关系 RoS 以及 R 的逆关系 Rc。解：R
10、oS,Rc,十一. R 是实数集合，给出 R 上的运算：+、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y 的绝对值运算。1. 判断各个运算性质。用“”表示“是” ，用“”表示“否” ，填下表：+ max min |x-y|有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2.分别指出 R 对上面哪些运算是半群、独异点和群。3.如果有群，请说明它为什么是群。解:1.+ max min |x-y|有交换性 有结合性 有幂等性 有幺元 有零元 2. 构成半群的有：， ， , .构成独异点的有： ， 。构成群的有： 。3. 是群的理由：(1) 在实数集合内满足封闭
11、性。即任何 a,bR, 有R。(2) 是可结合的。(3) 0 是运算的幺元。任何 aR, 有 0+a=a=a+0 .(4) 任何实数 a, 都有逆元aR , 使得 (-a)+a=0=a+(-a) .所以是群。十二. 设 I 是整数集合，在 I 上定义二元运算*如下：对于任何 a,bI a*b=a+b4 求证是个交换群.解：1.证明封闭性:任取 a,bI 因 ab4 I , a*bI. 所以* 满足封闭性。2.证明交换性:任取 a,bI, 因为 a*b=ab4=ba4=b*a.所以*满足交换性。3.证明结合性,任取 a,b,cI, (a*b)*c=(ab4)c4=ab4c4 =a(bc4)4=a
12、*(b*c).所以*满足结合性。4.证明-4 是幺元, 任取 aI, 因为(-4) I, 使得 a* (-4)=a4(-4)=a (-4) *a=(-4)+a+4=a，所以-4 是幺元。5.证明有逆元, 任取 aI, 因为-8-aI ,使得a* (-8-a)= a+(-8-a)+4=-4 (-8-a) *a=(-8-a)+a+4=-4 所以-8-a 是 a 的逆元。综上所述 是个交换群。十三 有三个小题。1.名词解释无向图结点的度有向图结点的出度，入度平行边简单图无向完全图 Kn路，回路迹，闭迹通路，圈无向连通图欧拉图汉密尔顿图树根树m 叉树完全 m 叉树解：无向图结点 v 的度:G 是个无向
13、图, vV(G), 结点 v 所关联边数,称之为结点 v的度. 记作 deg(v).(或 d(v).有向图结点的出度和入度: G=是有向图,vVv 的出度: 从结点 v 射出的边数. v 的入度: 射入结点 v 的边数. 平行边:在两个结点之间关联的多条边，这些边是平行边. 简单图:不含有环和平行边的图.无向完全图 Kn：G 是个简单图, 如果每对不同结点之间都有边相连，则称 G 是个无向完全图。如果 G 有 n 个结点, 则记作 Kn。路: 给定图 G=，设 v0 ,v1,v2,vnV, e1,e2,enE 其中 ei 是关联 vi-1 ,vi 的边, 则称结点和边的交叉序列 v0 e1v1
14、 e2v2envn是连接 v0 到 vn 的路. 回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则称此路是一个回路. 迹： 如果一条路中,所有边都不同,则称此路为迹.闭迹：如果一条回路中,所有边都不同,则称此回路为闭迹.通路：如果一条路中,所有结点都不同,则称此路为通路.圈： 如果一条回路中,除起点和终点外,其余结点都不同,则称此回路为圈.无向连通图: 如果一个无向图 G 只有一个连通分支(W(G)=1),则称 G 是连通图.欧拉图：在无孤立结点的图 G 中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此图为欧拉图。汉密尔顿图：图中有通过每个结点恰好一次的回路。(具有汉密尔顿回路)的图.称之为汉
15、密尔顿图。树：一个连通无回路的无向图 T，称之为树。根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为 0,其余所有结点的入度均为 1,则称此树为根树. m 叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是 m, 则称此树是 m 叉树.完全 m 叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是 m 或者等于 0, 则称此树是完全 m 叉树.2给定图的集合 G=A,B,C,D,E,F,H,K,M,N,R,S,T,V,W,X,Y,其中各个图如下所示，请指出这些图中哪些是彼此同构的。2解:同构的有:AR ；BD；CMSW ；EFTY；H ；KX ； VN。3.请画出五个具有五个结点的无向图，使之分别满足：(1) 此图既是欧拉
16、图也是汉密尔顿图。(2) 此图是欧拉图但不是汉密尔顿图。(3) 此图是汉密尔顿图但不是欧拉图 。(4) 此图是完全图 K5。(5) 此图是棵树解：(1) (2) (3)(4) (5)十四. 有三个小题1. 指出下面各个图中哪些是彼此同构的.a b c df g h ie解： a、h、i 同构； b、d 同构； c、g 同构； e、f 同构。2.完全二叉树中，设边数为 e，叶结点数为 t，求证 e=2(t-1)。解：由完全 m 叉树公式 (m1)i=t1 这里 m2，得 (21)i=t1, i=t1, T 中总的结点数 v 为: v=it =(t1)t=2t1，于是 T 的边数 e：e=v1= 2t11= 2t2=2(t1)3根据给定一组权值:1,6,2,5,3,4,1,6,2 画出一棵最优完全二叉树。要求有画图的过程。解 权值排序并画图：1,1,2,2,3,4,5,6,62,2,2,3,4,5,6,62,3,4,4,5,6,64,4,5,5,6,65, 5,6,6,86,6,8,108,10,1212,1830321 121851030841224665
