1、 1 绪言 离散数学（又称计算机数学）是现代数学的重要分支，是计算机专业课程中的核心基础课程之一。 离散数学以是研究：离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，其研究对象一般为：有限或可数个元素（例如：自然数、整数、真假值、有限个结点等），而离散性也是计算机科学的显著特点。 2 绪言 离散数学与计算机科学的其他课程 如：数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错技术、人工智能等有密切的联系。它是这些课程的先导和基础课程。 3 n离散数学 q 上海科学技术文献出版社 n 左孝凌等编著 n离散数学 q 电子工业出版社 n 朱一清 编著 n离散数学 q 北京大学出版社 n 耿素云
2、、屈婉玲、方新贵编著 主要参考书 4 绪言 本课程根据大纲的内容和相关独立性，可分为四大部分 第一部分 数理逻辑 （书上第一 篇）包括第一章：命题逻辑和第二章：谓词逻辑 第二部分 集合论 （书上（第二篇）：第三章：集合与关系；第四章：函数 ） 第三部分 代数系统 (书上（第三篇）：第五章:代数结构； 第六章：格和布尔代数 ) 第四部分 图 论 （书（第四篇）：第七章:图论） 讲课时数：64小时如果时间允许，我们会增加离散数学在计算机中的应用（形式语言与自动机、纠错码等等） 5 绪言 本课程有二个特点： （）定义、定理多。 本课内容（定义）（定理）（例题） （）课外作业较多，没有上机实验。 为了
3、学好这门课，特提出三点要求： 弄懂定义、定理，弄懂例题，加深对定义、定理的理解； 在复习基础上，做好课外作业。同学之间可以讨论，但要弄懂弄通后再做。 做好课堂笔记、讲课内容和次序，从系统角度讲和讲义大致相同，但内容上可能有一些不同。 6 绪言 最后，做两点说明和一个要求： （1）考试内容以课堂上讲的为范围； （2）每次课后均布置作业。希望大家认真完成。 一要求： 为搞好教学，双方努力。 7 第一篇 数理逻辑 逻辑学：研究思维形式及思维规律的科学。 逻辑学分为二类： 辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。 数理逻辑：是用数学的方法研究概念、判断和推理的科
4、学，显然数理逻辑是属于形式逻辑的范畴。 8 第一篇 数理逻辑 在数理逻辑中，用数学的方法是指引进一套符号体系的方法来研究概念、判断和推理。即对符号进行判断和推理。 数理逻辑分为四大分支：证明论、模型论、递归论和公理集合论。我们这里介绍的是属于四大分支的共同基础古典数理逻辑(命题逻辑和谓词逻辑)。 1 第一章 命题逻辑 1.命题 2.命题联结词 3.命题变元与命题公式 4.等价式 5.永真蕴含式 6.命题联结词总结 7.范 式 和 判 定 8.推论规则和证明方法 2 1命题 定义： 具有唯一真值的陈述句叫命题。 讨论定义： （）命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真又为假。 （）命题分类：
5、)原子命题（基本命题、本原命题）：一个命题，不能分解成为更简单的命题。 例：我是一位学生。 3 1命题 )分子命题（复合命题）：若干个原子命题使用适当的联结词所组成的新命题 例：我是一位学生和他是一位工人 (3)命题所用符号：常用大写个英文字母表示命题。用、表示。 (4)命题中所有的“真”用“”表示， 命题中所有的“假”用“”表示。 4 1命题 例：判断下列语句是否为命题。 陈述句一般为命题 （1）十是整数。 （） （2）上海是一个村庄。（） （3）今天下雨。 （4）加拿大是一个国家。（） （5）是偶数而是奇数。 （6）她不是护士。 （7） （8）今天是星期天。 5 1命题 命令句，感叹句，疑
6、问句均不是命题。 （1）把门关上！ （2）你到哪里去？ 语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的句子称为“悖论”。 （3）他正在说谎。 （在命题逻辑中不讨论这类问题） 6 2命题联结词 在命题演算中也有类似的日常生活中的联结词称做：“命题联结词”下面先介绍五个常用的命题联结词。 否定词：（否定运算、非运算） （）符号 ,读作“非”，“否定” 设命题为，则在的前面加否定词 ，变成， 读做“的否定”或“非” 7 2命题联结词 （）定义：严格由真值表定义 （）举例： ：北京是一座城市。 ：北京不是一座城市。 ：每一种生物均是动物。F ：有一些生物不是动物。T 这里不能讲成“每一种生物都不是动物”为
7、假命题了。 对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量化词也要加以否定。 T F F T P P 8 2命题联结词 合取词（“合取”、“积”、“与”运算） 符号 “” 设，为两个命题，则称与的合取，读作：“与”、“与的合取”、“并且”等。 定义（由真值表给出）： 9 2命题联结词 T T T T F F F T F F T F F F F F QP P Q Q P 真值表如下 ： 10 2命题联结词 当且仅当和的真值均为“”，则（）的真值为“”。否则，其真值为“”。 注意：和是互为独立的；地位是平等的，和的位置可以交换而不会影响的结果。 11 2命题联结词 举例： (a) P：王华的成绩很
8、好 Q：王华的品德很好。 则：王华的成绩很好并且品德很好。 (b) P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则：我们去种树与房间里有一台电视机。 12 2命题联结词 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 则：今天下大雨和3+3=6 由例(b)(c)可见，在日常生活中，合取词应用在二个有关系的命题之间。而在逻辑学中，合取词可以用在二个毫不相干的命题之间。 13 2命题联结词 (d) 下列语句不是合取联结词组成的命题。 P: 王大和王二是亲兄弟。 Q: 他打开箱子然后（而后）拿出一件衣服来。 14 2命题联结词 析取词（或运算） （）符号“” 设、为二个命题，则（）称作与的“析取”，读作：“或”
9、。 （）定义（由真值表给出）： 15 2命题联结词 当且仅当、均为“”时，（）为“”。否则，其真值为“” T T T T F T T T F F F F P Q Q P 真值表 如右： 16 2命题联结词 区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取词为可兼或即:P和Q均为“T”时（PQ）为“T” 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今晚写字或看书。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。 17 2命题联结词 “不可兼或”中当P和Q均为“T”时，则P异或Q为“F”。 （异或用“”表示） F T T T F T T T F F F F PQ Q P 18 2命题联结词 例： 他通过电视看杂技
10、或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。 以上两句均为不“可兼或”。 19 2命题联结词 单条件联结词：（“蕴含”联结词、蕴含词） （）符号“”，读作：“如果则”、“蕴含” 、为二个命题，（）为新的命题，读作：“如果则”，“蕴含”，“仅当”，“当且”，“是的充分条件”。 （）定义 20 2命题联结词 （由真值表定义）： T T T F F T T T F T F F PQ Q P 21 2命题联结词 当为“”，为“”时，则 （）为“”，否则（）均为“”。 ：称为前件、条件、前提、假设 ：称为后件、结论。 （）举例： P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 22 2命题联结词 PQ：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 (b) P：月亮出来了 Q：33=9 PQ：如果月亮出来了，则 33=9。 通常称：(a)为形式条件命题。 前提和结果有某种形式和内容上的联系。
