1、1,第5章 函数,2,第5章 函数,5.1 函数定义及其性质 5.2 函数的复合与反函数,3,5.1 函数定义及其性质,5.1.1 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 5.1.2 函数的像与完全原像 5.1.3 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数,4,函数定义,定义5.1 设 f 为二元关系, 若 xdomf 都存在唯一的yranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数. 对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y=f(x), 并称 y 为 f 在 x 的值. 例如 f1=, f2=, f1是函数, f2不是函数 ,5,函数相等,定义5.2 设f, g为函数, 则 f=
2、g fggf 如果两个函数 f 和 g 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domf = domg (2) xdomf = domg 都有 f(x) = g(x) 实例 函数f(x)=(x21)/(x+1), g(x)=x1 不相等, 因为 domfdomg.,6,从A到B的函数,定义5.3 设A, B为集合, 如果(1) f 为函数 (2) domf = A(3) ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : AB. 实例 f : NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g : NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数,7,B上A,定义5.4 所有从A到B的
3、函数的集合记作BA, 读作“B上A” 符号化表示为 BA = f | f : AB 计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm.A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 BA=A= .,8,实例,解BA = f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=, ,例1 设A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA.,9,重要函数的定义,定义5.5 (1) 设f：AB, 如果存在 cB 使得对所有的 xA 都有 f(x)=c, 则称 f : AB是常函数. (2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的
4、恒等函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x. (3) 设, 为偏序集，f : AB，如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的； 如果对任意的 x1, x2A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.,10,重要函数的定义(续),(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A A, A 的特征函数 A : A0,1 定义为,实例：设A=a,b,c, A的每一个子集 A都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如 = ,，a,b = ,.,11
5、,(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : AA/R g(a) = a, aA 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.,重要函数的定义(续),12,实例,给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一个自然映射 g : AA/R. 不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射. 例如： A=1, 2, 3, 等价关系: R1=,IA 自然映射：g1(1) = g1(2) = 1,2, g1(3) = 3 等价关系：IA 自然映射：g2(1)=1, g2(2)=2, g2(3)=3,13,重要函数的定义(续)
6、,W : Z+Z+作为算法的时间复杂度函数 W(n)的含义：对于规模为 n 的输入，该算法在最坏情况 下所执行的基本运算次数是W(n). 复杂度函数 f(n) 的阶的表示：f(n)=O(g(n) f(n)的阶不超过g(n)的阶 f(n)=(g(n) f(n)=O(g(n)且g(n)=O(f(n) 例如: f(n)=n2+n=(n2), g(n)=nlogn=O(n2) 其中 logn 是 log2n 的简写 算法：二分搜索 W(n)=O(logn)归并排序 W(n)=O(nlogn),14,函数的像与完全原像,定义5.6 设函数 f : AB, A1A, B1B,称 f(A1) = f(x)
7、| xA1 为A1 在 f 下的像，f(A) 称为函数的像. f1(B1)= x | xA f(x)B1 为B1 在 f 下的完全原像 注意:函数的像与值的区别：函数值 f(x)B, 像 f(A1)B. A1f1(f(A1)， f(f1(B1)B1. 实例 11,2=f1(a)= f1(f(1) f(f1(b,c)=f(3)=bb, c,15,实例,1. 设 f : NN, 且令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 2 f(B) = f(2) = 1 2. A=1, 2, 3, B=a, b, c, f=,，则f1(a,b) =1,2,
8、3, f1(b,c) =3,16,函数的性质,定义5.7 设 f : AB, （1）若ranf = B, 则称 f : AB是满射的. （2）若 yranf 都存在唯一的 xA使得 f(x)=y, 则称 f : AB是单射的. （3）若 f : AB既是满射又是单射的, 则称 f : AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y. f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2,17,实例,例2 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? （1）f : RR, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+R, f(x)=lnx, Z+为正整数集 （3）f
9、 : RZ, f(x)=x （4）f : RR, f(x)=2x+1 （5）f : R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.,18,解 (1) f : RR, f(x)= x2+2x1 (2) f : Z+R, f(x)=lnx(3) f : RZ, f(x)= x(4) f : RR, f(x)=2x+1(5) f : R+R+, f(x)=(x2+1)/x,实例(续),在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.,单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf=ln1, ln2, .,是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.,是满射、单射、
10、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.,有极小值f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的.,19,构造从A到B的双射函数,有穷集之间的构造 例3 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,.,令 f : AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f7,20,实数区间之间构造双射 构造
11、方法：直线方程 例4 A=0,1 B=1/4,1/2 构造双射 f : AB,构造从A到B的双射函数(续),解 令 f : 0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4,21,A与自然数集合之间构造双射 方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应,构造从A到B的双射函数(续),例5 A=Z, B=N，构造双射 f : AB,将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：011 2233 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： ,22,5.2 函数的复合与反函数,5.2.1 函数的复合 函数复合的基本定理及其推论 函数复合的性质 5.2.2 反
12、函数 反函数存在的条件 反函数的性质,23,函数复合的基本定理,定理5.1 设f, g是函数, 则fg也是函数, 且满足 (1) dom(fg)= x | xdomf f(x)domg (2) xdom(fg) 有 fg(x) = g(f(x) 证 先证明 fg 是函数. 因为 f, g 是关系, 所以 fg 也是关系. 若对某个 xdom(fg)，xfgy1和 xfgy2, 则 fg fg t1(f g) t2(f g) t1t2 (t1=t2 g g) y1=y2 所以 fg 为函数.,24,证明,再证明结论 (1) 和 (2) . 任取x, xdom(f g) t y (fg) t (x
13、domf t=f(x) tdomg) x x | xdomf f(x)domg 任取x, xdomf f(x)domg f g fg xdom(fg)fg(x)g(f(x) 所以(1) 和 (2) 得证.,25,推论,推论1 设f, g, h为函数, 则(fg)h 和 f(gh)都是函数, 且 (fg)h = f(gh) 证 由上述定理和关系合成运算的可结合性得证.推论2 设f : AB, g : BC, 则 fg : AC, 且xA都有 fg(x) = g(f(x). 证 由上述定理知 fg是函数, 且 dom(fg) = x | xdomf f(x)domg = x | xA f(x)B
14、= A ran(fg) rang C 因此 fg : AC, 且xA 有 fg(x) = g(f(x).,26,函数复合的性质,定理5.2 设 f : AB, g : BC. (1) 如果 f : AB, g : BC都是满射的, 则 fg : AC也是满射的. (2) 如果 f : AB, g : BC都是单射的, 则 fg : AC也是单射的. (3) 如果 f : AB, g : BC都是双射的, 则 fg : AC也是双射的.,27,证明,(1) 任取 cC, 由g : BC的满射性, bB 使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f : AB 的满射性，aA 使得 f(a)=b. 由
15、 定理5.1 有 fg(a) = g(f(a) = g(b) = c 从而证明了fg : AC是满射的. (2) 假设存在 x1, x2A使得fg(x1) = fg(x2) 由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2) 因为 g : BC是单射的, 故 f(x1) = f(x2). 又由于 f : AB 也是单射的, 所以 x1=x2. 从而证明fg : AC是单射的.,28,函数复合的性质(续),定理5.3 设 f : AB，则f = f IB=IAf 定理5.3 的证明可以采用集合相等的证明方法,29,反函数的存在条件及定义,定理5.4 设 f : AB是双射的, 则f1: BA也是双射的
16、. 证 因为 f 是函数, 所以 f 1是关系, 且 dom f 1= ranf =B , ran f 1= domf =A, 对于任意的 xB, 假设有 y1, y2A 使得 f 1f 1 成立, 则由逆的定义有 f f. 根据 f 的单射性可得 y1=y2, 从而证 明了f 1是函数，且是满射的. 若存在 x1, x2B使得 f 1(x1) = f 1(x2)=y, 从而有 f 1f 1 f f x1=x2 因为 f 是函数） 从而证明了f 1的单射性. 对于双射函数f : AB, 称f 1: BA是它的反函数.,30,实例,例1 设 f : RR, g : RR,求 f g, gf. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数.,解,f : RR不存在反函数；g : RR的反函数是 g1: RR, g1(x)=x2,31,关于反函数的定理,定理5.5 设 f : AB是双射的, 则 f 1f = IB, ff 1 = IA证 根据定理5.4可知 f 1: BA也是双射的. 由定理5.1 可知 f 1f : BB, ff 1: AA，且它们都 是恒等函数.对于双射函数 f : AA, 根据上述定理有 f 1f = ff 1 = IA. ,
