离散数学18

1、第四章 函数,第一节 函数的基本概念 第二节 函数的合成和合成函数的性质 第三节 二元运算,第一节 函数的基本概念,一、函数的定义二、特种函数,一、函数的定义,1、函数 2、函数的定义域 3、函数的值域 4、陪域 5、函数相等 6、函数的图和矩阵表示 7、缩小和扩大(略),1、函数,函数是满足任意性和唯一性的二元关系。,f:XY,对任意的xX都存在唯一的yY, f,y=f(x)，,任意性,唯一性,函数,映射,原像,像点,函数举例,设X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3 判断下列关系是否是函数？ f1=, f2=, f3=,解答,f1=,不是函数。, x2对应两个不同的像点y2和y3 不满足唯一。

2、集合的基本概念和运算,第三章,3.1 集合的基本概念,一、集合：一些可确定的可分辨的事物构成的整体。用大写字母A,B,C,标记。,如：(1) 26个英文字母的集合 ；,(2) 坐标平面上所有点的集合。,规定：(i) 元素之间彼此相异 ；,(ii) 没有次序关系 。,组成一个集合的每一个特定的事物，叫做集合的元素，用小写字母a,b,c,标记。,常用集合记号：,N：自然数集 (包括0) ；,Z：代表整数集 ；,Q：有理数集 ；,R：实数集 ；,C：复数集 ；,：空集 (不含任何元素) ；,U：全集,二、常用集合,三、集合的表示方法：,(1) 列举法：A=a,b,c,d 可以看出aA，但eA,(。

3、1,13.3 算法的平均复杂度分析,13.3.1 排序算法 快速排序算法 桶排序算法 13.3.2 散列表的检索和插入 散列函数 链接法 开地址法(线性搜索法,双散列函数法),2,快速排序算法,算法13.6 快速排序算法 Quicksort(A,p,r) 1. if pr then return A 2. xAr /取Ar作为轴值 3. ip1 4. for jp to r1 do 5. if Ajx then ii+1, 交换Ai与Aj 6. 交换Ai+1与Ar /把Apr分成Api和Ai+2r,主元x置于Ai+1 7. Quicksort(A,p,i) 8. Quicksort(A,i+2,r),3,计算实例,4,快速排序算法平均时间复杂度分析,前提:假设输入服从均匀分布 n:n个数的排列, T(n):输入为n时算法的计。

4、1,第13章 初等数论和 离散概率的应用,2,第13章 初等数论和 离散概率的应用,13.1 密码学 13.2 产生伪随机数的方法 13.3 算法的平均复杂度分析 13.4 随机算法,3,13.1 密码学,13.1.1恺撒密码 明文, 密文, 加密, 解密, 密钥 13.1.2 RSA公钥密码 私钥密码与公钥密码,4,恺撒(Caesar)密码,加密方法: ABCDEFGH I J KLMNOPQRS TUVWXYZDEFGH I JKLMNO PQRS TUVWXYZ ABC 明文: SEE YOU TOMORROW 密文: VHH BRX WRPRUURZ18 4 4 24 14 20 19 14 12 14 17 17 14 2221 7 7 1 17 23 22 17 15 17 20 20 17 25 加密算法 E(i)=(i+k)mod 26, i=0, 1,25, 解密算。

5、第16章 树,离 散 数 学,本章说明,树是图论中重要内容之一。 本章所谈回路均指初级回路（圈）或简单回路，不含复杂回路（有重复边出现的回路）。,16.1 无向树及其性质,定义16.1无向树连通无回路的无向图，简称树，用T表示。平凡树平凡图。森林若无向图G至少有两个连通分支（每个都是树）。树叶无向图中悬挂顶点。分支点度数大于或等于2的顶点。 举例 如图为九个顶点的树。,定理16.1 设G是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的： （1）G是树。 （2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 （3）G中无回路且mn1。 （4）G是连通的且mn1。 （。

6、第七章 图论,7-1 图的基本概念,例.“七桥问题”V=A,B,C,D E=e1, e2, e3, e4, e5 e6, e7,例. 在机械加工中,经常需要在一块金属薄板上钻若干孔 如何确定钻孔的次序,使之加工的时间最短. (或者是机械手在印刷电路板上安装电子元件)如图所示:,这个问题可以抽象为在一个图上求从某一个结点出发,经过所有结点一次, 使得此路径最短. 如何找到此路径.,这样钻孔显然是不合适的：,一. 图的概念,设A，B为两个非空集合，记AB=|aAbB(笛卡儿积)A&B=(a,b) |aAbB(无序对集合) 定义1：一个无向图G定义为一个二元组，记做作G=，其中 （1）V是一个非空集合， 。

7、第7章 图,学习要点: 理解图的定义和与图相关的术语。 理解图是一个表示复杂非线性关系的数据结构。 掌握图的邻接矩阵表示及其实现方法。 掌握图的邻接表表示及其实现方法。 了解图的紧缩邻接表表示方法。 掌握图的广度优先搜索方法。 掌握图的深度优先搜索方法。 掌握单源最短路径问题的Dijkstra算法。 掌握有负权边的单源最短路径问题的Bellman-Ford算法 掌握所有顶点对之间最短路径问题的Floyd算法。 掌握构造最小支撑树的Prim算法。 掌握构造最小支撑树的Kruskal算法。 理解图的最大匹配问题的增广路径算法。,2019/4/30,1,第7章 图,7.1。

8、离散数学,主讲教师：王 影电话：18981820519信箱:Teacher_wy163.com,命题演算,第一章 命题逻辑,命题与合式公式 逻辑等值式 范式 推理理论,命题与合式公式,命题的定义：自然语言中能描述判断的陈述句；自然语言中有确切的肯定与否定的陈述句；具有唯一真值的陈述句。 例子：2不是素数。木星上有水。金字塔是外星人修建的。今天是五四青年节。张红和王兰都看过这部电影。如果我是你，我决不答应。,反例：多大的雨啊！你说了吗？我正在撒谎。x3。,祈使句、疑问句、悖论以及含变元的句子不是命题。,命题的真值,真：1 ；T，t ；True真命题 假：。

9、1,2.1.1 集合的概念有些书本上是这样定义集合： 具有某种特性的对象的整体，就是集合。这样定义突出了构成集合的元素的特性;集合在某些场合又称为类、族或搜集, 它是数学中最基本的概念之一, 如同几何中的,第二章 集 合 2.1 集合论的基本概念,2,“点”、 “线”等概念一样, 不可精确定义, 现描如下: 一个集合是能作为整体论述的事物的集体。现在的定义突破元素的“特性”这一要求，一些对象的整体就是集合。如 ： (1)“高二(1)班的学生”是一集合。 (2)硬币有两面正面和反面, “正面、 反面”构成一集合。,3,(3) 计算机内存之全体单元构成。

10、复习,廖波,一、命题 可以确定其值的陈述语句。非陈述、悖论不可二、联结词：能给出真值表 否定、合取、析取、条件、双条件 的等价式、异或、不可兼或、可兼或三、合式公式的定义(1)命题变元、常量是合法 (2)若A是合式公式，则 A合式(3)若A、B合则AB、AB、AB、AB合式(4)有限次使用(2)(3)得到的式子都是合法的。学会判断一个公式是否合法。,四、真值表 先确定公式中命题变元即自由变元清单 可以分步给出每部分的公式的真值 也可以直接将各部分的值写在运算符的下方 证明两个公式等值、求主析取范式、主合取范式、设计电路、重言式或永真式、。

11、离散数学概述,离 散 数 学,课程名称,离散数学 Discrete Mathematics 离散数学结构 Discrete Mathematical Structures,课程简介,离散数学，是现代数学的一个重要分支，计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。 离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。 离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。,后续课程,数据结构 操作系统 编译理论 算法分析 系统结构 。

12、1,1.1个体、谓词在命题演算中, 原子命题是演算的基本单位, 不再对原子命题进行分解。故无法研究命题内部的成分 , 结构及其逻辑特征。 例如: “所有的人总是要死的” “苏格拉底是人”“所以苏格拉底是要死的”,第一章 数理逻辑 1.1 个体、谓词和命题函数,颈昂诛聊滓借幌澳阳动茨耪蚂坐嚏陇陋麻旭斯还茄鬃肛饭略踪旋墒携姨矢离散数学(05)离散数学(05),2,凭直觉这个苏格拉底论证是正确的, 但无法用命题演算表达出来。为了深入研究形式逻辑中的推理问题, 所以有必要将命题演算扩充而引入谓词演算。2.1.1 谓词例 1 (a) 5 是质数 x是质数(b) 张。

13、1,第三章 二元关系 3.5 等价关系和划分,3.5.1 等价关系二元关系的另一重要类型是等价关系,其定义如下:定义3.51如果集合A上的二元关系R是自反的, 对称的和传递的,那么称R是等价关系。,2,设R是A上的等价关系,a,b,c是A的任意元素。如果aRb(即R),通常我们记作ab,读做“a等价于b”，如日常中的“相等”“相同”。 (1)因为具有R自反性，所以A上每一元素和自己等价。反映到R的有向图上，每一结点都有一自回路。,3,(2)因为R具有对称性，所以如果a等价于b，则b也等价于a, 反映到R的有向图上，如果有从a到b的弧，那么也有从b到a的弧。 (2)因为具有R。

14、1,离散数学 Discrete Mathematics,主讲人：肖芬 手 机：13187327100 办公室：信息楼508 Email: xiaofxtu.edu.cn,2,关于离散数学,计算机系统本身可以看成是一个有限（存储空间、运算速度）的离散结构，所以计算机科学研究的对象大多是离散型的。由此产生了作为计算机科学的数学基础离散数学。离散数学是以离散量为研究对象的，其主要内容在计算机出现之前已散见于各数学分支中，且其内容随着计算机科学的发展不断丰富和完善。,3,学习的目的和意义,1、主要内容：集合论；图论；数理逻辑；代数结构；组合分析。 2、目的：培养数学抽象能力；。

15、6.3 基数的比较,也许有人会问，是否所有集合都以自然数、0 和 C 之一作为其基数呢？其实不然。例如，(R)（R 为实数集）不以 C 为基数，更不以 0 和自然数为其基数，需另外加以确定。为了作更深入的讨论，引入基数大小的概念。,6.3.1 基数的比较 表示集合元素 “多少” 的基数并不限于自然数，0 和 C，还存在着其它集合和表示它们元素 “多少” 的其它基数，只是为了简化，不讨论一般的基数概念。但是，为了对基数有一个总体的认识，以下要讨论基数大小的概念。定义6.9 设 A，B 为任意集合 (1) 称 A，B 基数相等，记为 |A|B|， 如果有双射 。

16、5 9 20209 29AM DiscreteMath LYG 1 漫谈离散数学林永钢SwimminginDiscreteMathematics 5 9 20209 29AM DiscreteMath LYG 2 研究离散结构的数学分科 辞。

17、1,第5章 函数,2,第5章 函数,5.1 函数定义及其性质 5.2 函数的复合与反函数,3,5.1 函数定义及其性质,5.1.1 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 5.1.2 函数的像与完全原像 5.1.3 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数,4,函数定义,定义5.1 设 f 为二元关系, 若 xdomf 都存在唯一的yranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数. 对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y=f(x), 并称 y 为 f 在 x 的值. 例如 f1=, f2=, f1是函数, f2不是函数 ,5,函数相等,定义5.2 设f, g为函数, 则 f=g fggf 如果两个函数 f 和 g 相等, 一定满足下面两个条件： (1。