1、1-7第一课时 数 列（一）教学目标：理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果 A、B 都是非空的数集，那么 A 到 B 的映射 fAB 就叫做 A 到 B
2、 的函数，记作：yf (x)，其中 xA，yB.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，50 1，2，2 2，2 3，2 63 15，5，16，16，28 0，10，20，30，1000 1，0.84，0.84 2，0.84 3， 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.引出数列及有关定义.1.定义（1）数列：按照一定次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列，它就是我们班学生的学号由小
3、到大排成的一列数.数列，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列，可看作是在 1 km 长的路段上，从起点开始，每隔 10 m 种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过 1 年，它就只剩留原来的 84%，若设这种物质最初的质量为 1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.84 2，0.84 3，.2-7诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现
4、在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，第 n 项，.那么，数列一般可表示为 a1，a 2，a 3，a n，.其中数列的第 n 项用 an 来表示.数列还可简记作a n.数列a n的第 n 项 an 与项数 n 有一定的关系吗？数列中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 50 项 1 2 3 50即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1n50) 来表示.且nN*)数列中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 64 项 1 2 2
5、2 263 2 21 22 263 211 221 231 2641即：a n2 n1 (n 为正整数，且 1n64)数列中：序号 1 2 3 101 项 0 10 20 1000 100 101 102 10100 10(11) 10(21) 10(31) 10(1011)a n10(n1)( nN*且 1n101).数列中：序号 1 2 3 4 项 1 0.84 0.842 0.843 0.840 0.841 0.842 0.843 a n0.84 n1 (n1 且 nN*)数列a n的第 n 项 an 与 n 之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？3-7不是，如数列的项与序号的关系就不可
6、用这样的式子来表示.综上所述，如果数列a n的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用 1，2，3，代替公式中的 n,就可以求出该数列相应的各项.下面，我们来练习找通项公式.1，. 1213141，0.1，0.01，0.001，. 1，1，1，1，. 2，2，2，2，2，2. 1，3，5，7，9，. 得出数列的通项公式为：a n 且 nN *.1n数列可用通项公式：a n ，(nN *，n1)来表示.110n 1数列的通项公式为：a n( 1)n(nN*)或 an 1 （ n为 奇 数 ）1 （ n为 偶 数 ） )数列的通
7、项公式为：a n2(nN *且 1n6)数列的通项公式为：a n2n1(nN *).数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序.例如，数列 4，5，6，7，8，9 与数列 9，8，7，6，5，4 是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列与，均有重复出现的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.an与 an 又有何区别和联系？an表示数列；a n 表示数列的项.具体地说
8、，a n表示数列a1，a 2，a 3，a 4，a n，而 an 只表示这个数列的第 n 项.其中 n 表示项的位置序号，如：a1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第 1 项，第 2 项，第 3 项及第 n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集 N*(或它们的有限子集1 ，2，3，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列、的图象.根据所求通项公式画
9、出数列、的图象，并总结其特点：4-7特点：它们都是一群弧立的点.（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列只有 6 项，是有穷数列.（6）无穷数列：项数无限的数列.如数列、都是无穷数列.2.例题讲解例 1根据下面数列a n的通项公式，写出它的前 5 项：(1)an ； (2)an(1) nnnn 1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中 n 依次取 1，2，3，4，5，即可得到数列的前 5 项.解：(1)在 an 中依次取 n1，2，3，4，5，得到数列 的前 5 项分别为：nn 1 nn 1， .即：a 1 ；a 2 ；a 3 ；a 4 ；a 5 .12233445 56 12 23 34
10、45 56(2)在 an(1) nn 中依次取 n1，2，3，4，5，得到数列1 nn的前 5 项分别为：1，2，3，4，5.即：a 11；a 22；a 33；a 44；a 55.例 2写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) ， ， ，22 12 32 13 42 14 52 15(3) ， ， ， .112 123 134 145分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1)序号： 1 2 3 4 项： 1211 3221 5231 7241规律：这个数列的前 4 项 1，3，5，7 都是序号
11、的 2 倍减去 1，所以它的一个通项公式是an2n1；5-7(2)序号： 1 2 3 4 项分母： 211 321 431 541 项分子： 221 321 421 521规律：这个数列的前 4 项 ， ， ， 的分母都是序号加上 1，分子都是22 12 32 13 42 14 52 15分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ；（ n 1） 2 1n 1（3）序号： 1 2 3 4 项：112 123134 145 （1） 1 )(（1） 2 )(（1） 3 )(（1） 4 )(规律：这个数列的前 4 项 ， ， ， 的绝对值都等于序号与序号加 1112 123 134 145的积的
12、倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n(1) n.1n（ n 1）.课堂练习课本 P32 练习 1，2，3，4，5，6.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.课后作业课本 P32 习题 1，2，36-7数 列（一）1把自然数的前五个数排成 1，2，3，4，5；排成 5，4，3，2，1；排成3，1，4，2，5；排成 2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个A.1 B.2 C.3 D.42已知数列的a n的前四项分别为 1，0，1，0，则下列各式可作为数列 an的通项公式的个数有 （ ）a
13、 n 1（1） n+1；12a nsin 2 ；(注 n 为奇数时， sin2 1；n 为偶数时，sin 2 0.) ；n2 n2 n2a n 1( 1) n+1( n1)(n2)；12a n ，( nN*)(注：n 为奇数时，cosn 1，n 为偶数时，cosn 1)；1 cosn2a n 1 （ n为 正 偶 数 ）0 （ n为 正 奇 数 ） )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3数列1， ， ，的一个通项公式 an 是 （ ）85 157249A.(1) n B.(1) nn22n 1 n（ n 2）n 1C.(1) n D.(1) n（ n 1） 2 12（ n 1） n
14、（ n 2）2n 14数列 0，2，0，2，0，2，的一个通项公式为 （ ）A.an1(1) n1 B.an1(1) nC.an1(1) n+1 D.an2sinn25以下四个数中是数列n(n1)中的一项的是 （ ）A.17 B.32 C.39 D.3806数列 2，5，11，20，x，47，中的 x 等于 （ ）A.28 B.32 C.33 D.277数列 1，2，1，2，1，2 的一个通项公式是 .8求数列 ， ， ，的通项公式.252152357-7数 列（一）答案1分析：按照数列定义得出答案.评述：数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以这四种排法都可叫做数列. 答案：
15、D2分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的 n 代入 an，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.解：对于，将 n3 代入，a 331，故不是a n的通项公式；由三角公式知； 和实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列 1，0，1，0 的通项公式；对于，易看出，它不是数列a n的通项公式；显然是数列a n的通项公式.综上可知，数列a n的通项公式有三个，即有三种表示形式 . 答案：C3D 4B 5D6解析：5231 ，11 532 ，201133，x203432. 答案：B评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前 n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，） ，建立合理的联想、转换而达到问题的解决.7a n1 1（1） n.128求数列 ， ， ，的通项公式.25215235分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母 5，15，35，的一个通项公式102n1 5.故所求数列的通项公式为：a n .2102n 1 5
