1、2.3 幂函数一、教学目标：知识与能力1、通过实例，了解幂函数的概念； 2、会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题。过程与方法培养学生数形结合能力，合作交流能力，以及应用数学的能力。情感态度与价值观让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用,激发学生的学习动力。二、重点难点 重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质. 四、教学过程（一）实例观察，引入新课(1)如
2、果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 P = W 元 P 是 W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2 S 是 a 的函数（y=x 2）(3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V =a3 S 是 a 的函数（y=x 3）(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长 a= a 是 S 的函数 （y= ）12 12x(5)如果某人 t s 内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度 v=t-1 V 是 t 的函数 （y=x -1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意
3、图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义；一般地，函数 y=x 叫做幂函数(power function) ，其中 x 为自变量， 为常数。注意:幂函数的解析式必须是 y = a 的形式，其特征可归纳为 “系数为，只有项”（让学生判断 y=2x2 y=（x+1） 2 y=x2+1 是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点） 不妨也找出典型的函数作为代表：y=x y
4、=x2 y=x3 y= y=x-112x让学生自主动手，在同一坐标系中画出这 5 个函数的图像 问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当 x0 时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数 ,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个
5、函数递减.问题五：所有图像都过哪些点，为什么？学生反应：都过点（1,1） ，因为 1 的任何指数幂都为 1.问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？学生反应：当 01 时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.教师活动：在 01 时，指数大的函数值就大.【总结】 幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根
6、式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出 5 个幂函数的相关性质：y=x y=x2 y=x3y=12xy=x-1定义域 R R R 0，+) xx0值域 R 0，+) R 0，+) yy0单调性 增 (-,0)增0，+)减增 增 (-,0)减（0+)减奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇公共点 （1,1）【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.（三）新知应用例 1.证明幂函数 y= 在0，+) 上是增函数x证明： 1
7、212,0,),x任 取 且 则 12121212()()() xxfxf 12x1212120,0,0,x因 为 所 以 12()()ff所 以(),).f即 幂 函 数 在 上 的 增 函 数教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。 （3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断 12x0例 2.比较下列各组数种两个值的大小函数性质（1） （2） , （3） 0.250.10.9370.922.5173.58解：:(1) y= 5.2x 是增函数, 0.10.
8、2 5.2 0.1 5.20.2 (2) y=x0.9 在(0,+)内是增函, 3.23.7 3.2 0.9 3.70.9（3） 1.72.51.82.51.83.5 1.已知一个函数 22 3()1)mfxmx是幂函数，且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的实数 m 的集合。解：依题意,得 解方程,得 m=2 或 m=-121检验:当 m=2 时,函数为 符合题意.当 m=-1 时，不合题意,舍去.所以 m=23()fx【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.五、课堂小结（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.六、课后作业课时练与测七、教学反思
