1、高中数学必修一专题讲解 高中数学必修一专题讲解（集锦）专题一：抽象函数常见题型解法总章抽象函数的考察范围及类型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大, 解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特
2、殊模型 抽象函数正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 )y(fx指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) 或对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) )(fx)y(f或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )(fx1)yx(f余切函数 f(x)=cotx y一. 定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。例 1.若函数 y = f（x）的定义域是 2，2
3、，则函数 y = f（x+1）+f（x1）的定义域为 1。解：f(x)的定义域是 ,，意思是凡被 f 作用的对象都在 2, 中。评析：已知 f(x)的定义域是 A，求 xf的定义域问题，相当于解内函数 x的不等式问题。练习：已知函数 f(x)的定义域是 2,1 ，求函数 xf3log21 的定义域。例 2：已知函数 xf3log的定义域为3，11，求函数 f(x)的定义域 。 1log,3评析： 已知函数 的定义域是 A，求函数 f(x)的定义域。相当于求内函数 x的值域。练习：定义在 8,3上的函数 f(x)的值域为 2,，若它的反函数为 f-1(x)，则 y=f-1(2-3x)的定义域为，
4、值域为 。 8,340二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标 ,细心研究,反复试验;例 3.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1)0,则 f(2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： ,)1()1(, 2fnffynx得令令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令x=y=0,得：f(0)=0,f(1)= 2, .201)(f,2)(f,f()-f( 故即R 上的奇函数 y=f(x)有反函数 y=f-1(x),由 y=f(x+
5、1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是 f(2009)，可由 y=f-1(x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)= f(x)-2，又 f(0)=0,通过递推可得 f(2009)=-4918.例 4.已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1,且对任意 xR 都有 f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)=_.1解:由 g(x)=f(x)+1-x,得 f(x)=g(x)+x-1. 而 f(x+5)f(x)+5，所以 g(x+5)+(x+5)-1g(x)+x-1+5 ,
6、又 f(x+1)f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1g(x)+x-1+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x). 所以 g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1) ,故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1, 故 g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为 (0,)，对任意正实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y) 且 f(4)=2 ，则(2)f（ 1 ）2 . 的 值 是则且如 果 )201(f)5(f634)1(f2,)(f,y)x(f 。20002(1)ff22248(3)()(7)ffff.( ()2nf,原式=1
7、6)3、对任意整数 yx,函数 xf满足： 1xyy，若 f，则)8(fCA.-1 B.1 C. 19 D. 434、函数 f(x)为 R 上的偶函数，对 xR都有 (6)(3)fxf成立，若 (1)2f，则(205)f=（ ） （B）A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在 R 上的函数 Y=f(x)有反函数 Y=f-1(x)，又 Y=f(x)过点（2，1） ，Y=f(2x)的反函71)( 7)1(,3)(,220)( 21),()(4311,)2(52bf bfff aaffaf同 理则设 可 解 得又 、数为 Y=f-1(2x)，则 Y=f-1(16)为（ ） （A）A） 1
8、8 B） 16 C）8 D）16的 值求的 值求均 有 对 所 有上 的 函 数 ， 满 足 ，是 定 义 在为 实 数 ， 且、 已 知 )71(2)1( )(,0)(106fayafxyxf xffa 三、值域问题例 4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x,使得 )(21xff，求函数 f(x)的值域。解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立，这与存在实数 21，使得 )(21xff成立矛盾，故 f(0)0，必有 f(0)=1。由于
9、 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此， 0)2()xff ,又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)0 矛盾,所以 f(x)0.四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1 (0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2) 故 f(x)=-x2+3x+1 (0u2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 6、设对满足 x0,x1 的所有
10、实数 x，函数 f(x)满足, xfx1 ,求 f(x)的解析式。解: (1),x0( 1)x(f) 且- 2):1-f得代 换用（2）:)(- 得中 的代 换再 以 .1)(x-1(xf-（3）)0 2xf:2)(313且得由小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例 7.已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:易知 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a0)，代入比较系数得:a=1,b=
11、 -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 8.是否存在这样的函数 f(x),使下列三个条件:f(n)0,nN; f(n 1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N*;f(2)=4 同时成立 ?若存在,求出函数 f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数 f(x),满足条件, 得 f(2)=f(1+1)=4,解得 f(1)=2.又 f(2)=4=22,f(3)=23,由此猜想:f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明 略） 小结：对于定义在正整数集 N*上的抽象函数, 用数列中的递推法来
12、探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9 、已知 )(xf是定义在R上的偶函数，且 )21()3(xff恒成立，当3,2x时， ，则当 )0,2(x时，函数 的解析式为（ D ）A B 4 C 1 D 13x解：易知 T=2，当 )1,(x时, ,x, )(4)(xff;当 )0,1(时 32, 2)(xf.故选 D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练习：1、 .23|)x(f:|,)x1(f2),x(f,)x(fy 求 证且为 实 数即是 实 数 函 数设解: 03 ,12,x2与 已
13、知 得得代 换用 ，.|)x(f,04)(9f 02得由2.（2006 重庆）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解析表达式。22222(),()-)( ()-33,1)0,00IxRfxfxfafafa解 ： 因 为 对 任 意 有所 以又 由 得 ） 即若 则 即 0200022(I)()(). , ()()xfxfxRffxxfx因 为 对 任 意 ， 有又 因 为 有 且 只 有 一 个 实 数
14、， 使 得所 以 对 任 意 有在 上 式 中 令 ， 有再 代 ， 得 ， 故 =或 1若 ， 则 ， 即2 002 (,1.) xf R 但 方 程 有 两 个 不 相 同 实 根 ， 与 题 设 条 件 矛 盾 。 故若 1， 则 有 即 易 验 证 该 函 数 满 足 题 设 条 件 。综 上 ， 所 求 函 数 为3、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0， （1 ）求(f的值； （2 ）对任意的 1(0,)2， 1(,)，都有 f(x1)+20 时 f(x)0,f(x 2-x1)0 时，f(x)1,且对于任意实数
15、x、y ，有 f(x+y)=f(x)f(y)， 求证：f(x)在 R 上为增函数。证明：设 R 上 x11，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于 f(x1)，因为 f(x1)的正负还没确定) 。取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f（0）=0,令 x0,y=0，则 f(x)=0 与 x0 时，f(x)1矛盾，所以 f(0)=1，x0 时， f(x)10,x0， f(-x)1,由)(1)()0( xfxff得，故 f(x)0，从而 f(x2)f(x1).即 f(x)在 R 上是增函数。（注意与例 4 的解答相比较，体会解答的
16、灵活性）例 11、已知偶函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2 都有1212()(fxf，且当 1时 ()0,(2)1ff，（1） f(x)在(0,+)上是增函数； （2）解不等式 x解： （1）设 1x，则 2211()()(xfff2211()()xfxf 210， 21， 21()f0，即 21()0fxf， 21()fxf ()fx在 ,)上是增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2 ） ， (4)(2ff， ()fx是偶函数不等式(1)fx可化为 2|x，又函数在 0,上是增函数，0 2|，解得： 10| 2x且练习：已知函数 f
17、(x)的定义域为 R，且对 m、 nR ,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f(21)=0,当 x 21时， f(x)0.求证： f(x)是单调递增函数；证明：设 x1 x2,则 x2 x1 2,由题意 f(x2 x1 )0, f(x2) f(x1)=f (x2 x1)+x1 f(x1)=f(x2 x1)+f(x1)1 f(x1)=f(x2 x1)1= f(x2 x1)+f( )1= f( x2 x1) 0, f(x)是单调递增函数 .例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足: 对任意实数 m,f(xm)=mf(x); f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对
18、任意正数 x,y 都成立; (2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;(3)若 f(x)+f(x-3)2, 求 x 的取值范围.解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数, 则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y),2x,x0:)2( nm121 且 使可 令设证 明 0)(f)(f)(fn得由故 f(x1)0 可得 f(a)f(b). k）练习 4、已知函数 f(x)对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y),且 f(x)0,当 x
19、1 时,f(x)f(x2),故 f(x)在 R+上为减函数. )2()0,),3()(,3, )(5 ，、，、 的 解 集 为， 则上 单 调 递 减 ， 且在、 奇 函 数练 习 DCBA Cfxfx练习 6、. 已知函数 ()f的定义域为 0,，且同时满足：(1)对任意 0,1x，总有 ()2fx； (2) f(3)若 12,且 12，则有 1212()()fxfxf.(I)求 ()的值； (II)求 fx的最大值；(III)设数列 na的前 项和为 nS，且满足 *2(3),nnaN.求证： 123 13()()()ffffa .baff(解：（I ）令 120x，由(3),则 (0)2
20、,(0)2fff由对任意 ,，总有 ,fx （2 分）（II）任意 12且 12，则 2121,xfx2 1()()()fxfffma()3f（6 分）(III) *1(3nnSaN123nnSa13 3),0(8 分)13()()()4nnnnnnnffffff1143()，即 14(f。22112214 43 3 33() ()nn nnnfafafa 故122 13()()()nfff即原式成立。 （14 分）六、奇偶性问题例 13. （1）已知函数 f(x)(x0 的实数)对任意不等于零的实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇
21、偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与 f(x)的关系：取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取 x=y=-1 有 f(1)=2f(-1)，取 x=y=1 有 f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。（2 ）已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是（ D ）A.x=1 B.x=2 C.x= 21D.x=解析：f(2x+1)关于 x=0 对称 ,则 f(x)关于 x=1 对称, 故 f(2x)关于 2x=1 对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F（ x）=f(2x+1
22、)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1)f(x)关于 x=1 对称。例 14：已知函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 )(1)(1xfyfxf，（2）存在正常数 a，使 f(a)=1.求证： f(x)是奇函数。证明：设 t=x-y,则 )()()()() tfxfyfxyft ，所以 f(x)为奇函数。例 15：设 )(xf是定义在 R上的偶函数，且在 )0,(上是增函数，又)12312(aaf。求实数 a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道： )(xf在 ),0上减，而 012a，0123a，所以由 )3(12fa得132a，解得 。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨
23、论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如： )21()()( afaff 或 等；也可将定义域作一些调整）例 16：定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 3 且对任意 x， yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3 )+f(3 x-9 -2)0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，yR )- 令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即 f(-x)=
24、-f(x)对任意 xR 成立，f(x)是奇函数(2)解 ： f(3)=log 230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k3 x)-f(3 x-9 -2)=f(-3 x+9 +2)， k3 x-3 x+9 +2，3 2-(1+k)3 x+20 对任意 xR 成立令 t=3 x0 ，即 t 2-(1+k)t+20 对任意 t0恒成立 2 21()1),20(0),()(1)8012令 其 对 称 轴当 即 时 ， 符 合 题 意 ；+k当 时对 任 意 恒 成 立解 得 - kfttxfktf故： 312()
25、(92)0时 ， xkfkf对任意xR 恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t 2-(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3 x-3 +9 x+2 得,123,132xxuk而要使对 R不等式 .xk恒成立，只需 kun (nN*).解:(1) 、令 a=b=0,得 f(0)=0,令 a=b=1,得 f(1)=0. (2)、令 a=b=-1,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)=
26、 -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:u n=f(2n)0 (nN*)(略)2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x0时f(x) 0恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明f(x) 为减函数；若函数f(x)在-3，3）上总有f(x)6成立，试确定f(1)应满足的条件； )0a,n(),afx(fn1)(fax(fn1x)3( 22 是 一 个 给 定 的 自 然 数的 不 等 式解 关 于解:（1） 同例16（略）（2）设任意 x1，x 2R且x 1x
27、2，则x 2-x10，f（x 2-x1）0,而f（x 2-x1）= f（x 2）+ f（-x 1）= f（x 2）-f（x 1）0 f(x2)+f( x1)0,即 f(x2)f(x1),所以函数 f(x)在1，1上是增函数.（2）由不等式 f(x+ ) f( )得 12xx,解得1 0，恒有 f (x + T ) = f (x)，则在区间0，2 T上，方程 f (x) = 0 根的个数最小值为（ ）CA. 3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个解： f (0) = 0 x1= 0， 又 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T， x3 = 2T.又因为2xf令
28、 x = 0 得 f, 32Tf=0.(本题易错选为 A)例 20 f(x)满足 f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若 f(a) =-f(2000)，a5，9 且 f(x)在5，9上单调。求 a 的值。解： f(x)=-f(6-x) f(x)关于（3，0）对称 又 f(x)= f(2-x) f(x)关于 x=1 对称 T=8 f(2000)= f(0) 又f(a) =-f(2000) f(a)=-f(0) 又f(x) =-f(6-x) f(0)=-f(6) f(a)=f(6) a =6设 y=f(x)是定义在-1,1 上的偶函数，函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图
29、象关于直线 x=1 对称，且当 x 2,3时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2) 3(a 为常数且 a R)（1 ）求 f(x); （2 ）是否存在 a 2,6或 a (6,+),使函数 f(x)的图象的最高点位于直线 y=12上？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点 M(x,f(x)为函数 y=f(x)图象上任意一点，则点 M 关于直线 x=1 的对称点为 N(2-x,f(x).y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于直线 x=1 对称. 点 N(2-x,f(x)在 y=g(x)图象上.由此得 f(x)=g(2-x)（利用结论 4 的命题易得这一结果：y=g(x
30、)与 y=g(2-x)的图象关于直线 x=1 对称）设 x -1,0，则 2-x 2,3.此时 f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3又 f(x)为偶函数 f(-x)=f(x),x -1,1. 当 x 0,1时，f(x)=2ax-4 x3 （2）注意到 f(x)为偶函数，只须研究 f(x)在0,1 上的最大值.()当 a (2,6时，由 0 x 1 得 a-2x20 ，f(x)=2x(a-2 x2)= = （当且仅当 4 =a2 ,即 x=0,1时等号成立）. 由题意知 ,f(x)的最大值为 12,令 =12 得 =486 ,a6,这与 a(2,6矛盾, 故此时满足条件的 a 不存在.()当
31、 a=2 且 0x1 时,f(x)=4x(1 )同理可证 f(x)= (当且仅当 2 =1- ,即 x= 时等号成立),也与已知矛盾.()当 a6 时,设 0 ,则 f( )-f( )=2a( - )-4( - )=2( - )a-2( + )，由题设 06 a-2( + + )0 又 -0)在区间 8,上有四个不同的根 1234,则1234_.xx-8八、综合问题例 21. 定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意实数 m，n，总有，且当 x0 时，00的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。例 22.设定义
32、在 R 上的函数 f(x),满足当 x0 时,f(x)1, 且对任意 x,yR, 有 f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 .1)2(f3x(f21)(f)2(;,4x3(f)1( 解 方 程解 不 等 式解:(1)先证 f(x)0,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),x0 时 f(x)1,所以 f(0)=1.则使假 设 存 在 某 个又 ,0)(f,R,0)(f2(f)x oo2f(x)=f(x-xo)+xo=f(x-xo)f(xo)=0,与已知矛盾，故 f(x)0,任取 x1,x2R 且 x10,f(x2-x1)1,所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x
33、1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10. 所以 xR 时,f(x) 为增函数. 解得:x|10.求证:()f(x)是奇函数； （）).3(f5n(f)19(f2解:(1)易证f(x)是奇函数。（2 ）易证f(x)在(-1,0),(0,1) 上是单调递减函数 . )3n(21f)3n(21f)5n1(f2又 )3n1(f)2(f)3n1(2f )(f)5(f4f)5(f)19(f2 命 题 成 立又 .31(fn3,0n抽象函数问题的“原型”解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、
34、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如()0)fxk有 121212()()()fxkxfxf可抽象为yfy。那么 = 就叫做抽象函数
35、(满足的“原型” （函数） ，分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般 均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相 同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型” （ 函数）并举例说明 “原型”解法。 来源:学,科, 网一、中学阶段常用抽象函数 ()fx的“原型” （函数）1、 ()()fxyfy k( 为常数）2、 =a（ 0 且 a1）3、 log ( 0 且 1)4 、 ()()ff nx( 为常数）5、 2)2yxyf或 )()2()
36、fyfxfxy = cos( 为常数）6、 )(1fxffy = tan二、 “原型”解法例析来源:Z+xx+k.Com【例 1】 设函数 ()f满足 ()2()(2xyfff，且 f( )=0， x、yR；求证： ()fx为周期函数，并指出它的一个周期。来源:学_科_网分析与简证：由 2()(2xyfyff来源: 学&科&网想： 12cos=2cos 1cos 1原型： y= x，为周期函数且 2 为它的一个周期。猜测： ()f为周期函数，2 为它的一个周期令 1x= +， 2= 则 ()(2)(2ffxff=0 ()(2ffx 为周期函数且 2 是它的一个周期。【例 2】 已知函数 )f满
37、足 1()()ffxx，若 (0)4f，试求 f(2005)。分析与略解：由 (1xf想： tan( + 4)= tan原型： y= x为周期函数且周期为 4 4=。来源:学科网 ZXXK猜测： ()f为周期函数且周期为 41=4 1()2fxfxf= )(1)(xff=- 1f (4)()2()ff ffx( +4)= ()f x是以 4 为周期的周期函数又f(2)=2004 1(04)(205)()2fff= 1()f= 204=- 53f(2005)=- 3 【例 3】 已知函数 ()fx对于任意实数 x、 y都有 ()()fxyfy，且当x0 时， 0 ， (-1)=-2，求函数 )在
38、区间-2，1上的值域。分析与略解：由： ()yf想： k( + y)= +k原型： x（ 为常数）为奇函数。 k0 时为减函数， k0 时为增函数。猜测： )f为奇函数且 ()fx为 R 上的单调增函数，且 ()fx在2,1 上有()fx4,2设 10 f( 2x 1)0 ()fxf= 1)()ff= 21()fx0 来源:Z&xx&k.Com 21()fxf, ()fx为 R 上的单调增函数。令 = y=0,则 (0)=0,令 y= ，则 f( x)= ()f来源:学科网 ZXXK 为 R 上的奇函数。 f(-1)=- f(1)=-2 f(1)=2， (-2)=2 (-1)=-4-4 ()x
39、2(x-2,1)故 在-2, 1上的值域为-4，2【例 4】 已知函数 ()f对于一切实数 x、 y满足 f(0)0， ()()fxyfy，且当 x20 时，令 x1=mx2（ m1） ，则f（ x1） f（ x2）=f（ mx2）f（ x2）=f（ m）f（ x2）f（ x2）=f（ m）0.所以对于 x1 有 f（ x）0.又设 x1=mx20（0 m1） ，则 0x1x2.因为函数 f(x)在 R 上是增函数，所以 f（ x1）f（ x2）0, 即 f（ mx2）f（ x2） = f（ m） f（ x2）f（ x2）=f（ m）0. 所以对于 0x1 有 f（ x）0. 综上所述：当 x
40、 R 时，f （ x）的值域为 R.四、求函数的解析式例 4 设对满足| x |1 的所有实数 x，函数 f（ x）满足 3()1f+ ()xf=x，求f（ x）的解析式.解：将 x 取为 31, 代入原等式，有 3()1fx+ f（ x）= ， （1）将 x 取为 , 代入原等式，有 f（ x）+ ()f= .（2）（1）（2） ，且将原等式代入即得327()xf(|x|1)专题三：复合函数的定义域和解析式1、复合函数的定义设 是 到 的函数， 是 到 上的函数，且，当 取遍 中的元素时， 取遍 ，那么 就是到 上的函数。此函数称为由外函数 和内函数 复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定
41、义域，就是复合函数 中 的取值范围。 称为直接变量， 称为中间变量， 的取值范围即为 的值域。 与 表示不同的复合函数。例 1设函数 ，求 若 的定义域为 ，则复合函数 中， 注意： 的值域 例 2（课时练 2 例 1）若函数 的定义域是0，1，求 的定义域；若 的定义域是-1，1，求函数 的定义域；已知 定义域是 ，求 定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答： 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数函数 的定义域是0，1，B=0,1，即函数 的值域为0，1 ， ，即 ，函数 的定义域0， 函数 是由
42、 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数的定义域是-1， 1，A=-1,1，即-1 ， ,即 的值域是-3 ，1， 的定义域是-3， 1点评：若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是不等式 的的集合；若已知 的定义域为 ，则 的定义域就是函数 的值域。 函数 是由 A 到 B 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数的定义域是-4， 5),A=-4,5)即 ， 即 的值域 B=-1，8）又 是由 到 上的函数 与 B 到 C 上的函数 复合而成的函数，而 ,从而 的值域 的定义域是1， ）例 3已知函数 定义域是（a,b），求 的定义域解：由题， ， ，当 ，即
43、 时， 不表示函数；当 ，即 时， 表示函数，其定义域为 说明： 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即 ， 。通过解不等式 求得 的范围，即为 的定义域。 已知 的定义域为(a,b)，求 的定义域的方法：若已知 的定义域为 ，求 的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即 。先利用 求得 的范围，则 的范围即是 的定义域。2求有关复合函数的解析式例 4已知 求 ；已知 ，求 例 5已知 ，求 ；已知 ，求 点评：已知 求复合函数 的解析式，直接把 中的 换成 即可。已知 求 的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法
44、就是在 中把关于变量 的表达式先凑成 整体的表达式，再直接把 换成 而得 。换元法就是先设 ，从中解出 （即用 表示 ），再把 （关于 的式子）直接代入 中消去 得到 ，最后把 中的 直接换成 即得。例 6已知 是一次函数，满足 ，求 ；已知 ，求 点评： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除 是未知量外，还出现其他未知量，如 、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出 。三、课堂练习：已知 ，求 和 解：令 ，设 ，令 ，设 ，已知 ，求 分析： 是用
45、替换 中的 而得到的，问题是用 中的替换呢，还是用 替换呢？所以要按 、 分类；注： 是用 替换 中的 而得到的，问题是用 替换中的 呢，还是替换 呢？所以要看 还是 ，故按 、 分类。Key: ；注： 。四、课堂小结：复合函数的定义；设函数 ， ，则我们称 是由外函数和内函数 复合而成的复合函数。其中 被称为直接变量， 被称为中间变量。复合函数中直接变量 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量 的取值范围，即是 的值域，是外函数 的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由 解 ）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由 求 的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法五、附录：求函数的定义域的主要依据有： 当 为整式或奇次根式时， R； 当 为偶次根式时，被开方数不小于 0（即0 ）； 当 为分式时，分母不为 0；当分母是偶次根式时，被开方数大于 0； 当 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为 0（如 ，中 ）。 当 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数 的定义域是各段上自变量 的取值集合的并集。
