1、1专题 1.1 集合与简易逻辑与数学文化一考场传真1. 【2017 课标 1，理 1】已知集合 A=x|x1， B=x|31，则A |0BxB R C |D AB【答案】A【解析】由 31x可得 03x，则 ，即 |0x，所以|ABx， |1|0|1ABxx，故选 A.2 【2017 课标 3，理 1】已知集合 A=2(,)y， B=(,)y，则 AB 中元素的个数为A3 B2 C1 D0【答案】 B3 【2017 课标 II，理】设集合 1,24A， 240xm。若 1A，则 （ ）A.1, B. ,0 C.1,3 D. ,5【答案】C4 【2017 天津，理 4】设 R，则“ |12”是“
2、 1sin2”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 【解析】 |0126 sin2 ，但 10,sin2，不满足 |12，所以是2充分不必要条件，选 A. 5 【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B6 【2017 北京，理 6】设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn
3、”是“ 0”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【 解析】若 0，使 n，即两向量反向，夹角是 018，那么cos180mnmT，若 n，那么两向量的夹角为 09,18，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分不必要条件，故选 A.7 【2017 浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 6S， 【答案】32【解析】二高考研究【考纲解
4、读】1.考纲要求1 了解集合的含义，元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法、描述法）描述不同的具体问题.了解“若 p则 q”形式的逆命题，否命题和逆否命题，会分析四种命题的相互关系.了解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义.32理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，在具体情境中，了解全集与空集的含义.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系与运算. 理解命题的概念.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.理解全称量词和存在量词的意义
5、.3.体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.体会分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想等数学思想在解题中的运用.4解决问题的创新题常分三步：信息提取，确定划归方向；对所提取的信息进行加工，探求解决方法；将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取与划归是解题的关键，也是解题的难点.5增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.2.命题规律从近几年高考题
6、来看，集合的运算考查比较频繁，新课标用韦恩图表达集合的关系与运算，集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体 考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力 . 常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判断等，难度一般不大，对数学文化应结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考
7、法命题形式 3学法导航 1.活用“定义法”解题，重视“数形结合”涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多，所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型就可以了. 定义是一切法则和性质的基础，是解题的基本出发点，注意方法的选择,抽象到直观的转化.2有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可以和各章融合命题,正是这一理 性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第一轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养 3夯实基础的同时加大信息量4夯实双
8、基是提高数学能力的必要条件，只有对数学基础知识和数学规律、性质有一定的了解才谈得上思维能力的开拓，因此必须注重数学基础的学习。同时，对于有能力的学生，加大信息量，在教材之外，适当的把一些数学思想，以及与高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透，都有助其解决问题.一基础知识整合基础知识：1集合(1)集合的运算性质：并集的性质： A A； A A A； A B B A； A B ABA交集的性质： A ； A A A； A B B A； A B AAB补集的性质： A(C UA) U； A(C UA)；C U(CUA) A子集的性质： A B ABA； A B BBA； ABUAUB
9、.集合运算中的常用结论: ()(),()()C；()(),C； ,()ABA；(2)子集、真子集个数计算公式对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2 n1,2 n2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集 合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用 Venn 图求解2四种命题及其相互关系(1) 原 命 题 若 p则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q则 p 否 命 题 若 p则 q 互 逆 互 逆 互 否 互 否 互 为 逆 否 互 为 逆 否 (2) 互为逆否的两个
10、命题是等价的即原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真53含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题 p q：若 p， q 中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真(2)命题 p q：若 p， q 中至少有一个为假，则命题为假命题， p， q 同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真(3)命题 ：与命题 p 真假相反4全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题 p： x M， p(x)，其否定为特称(存在性)命题 p： x0 M， p (x0)(2)特称(存在性)命题 p： x0 M， p(x0)，其否定为全称命题
11、 ： x M， (x)常见结论的否定形式5充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若 pq，则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件)；若 pq，且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件)(2)集合法：利用集合间的包含关系例如，若 AB，则 A 是 B 的充分条件( B 是 A 的必要条件)；若A B，则 A 是 B 的充要条件(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题二高频考点突破考点 1 集合的概念与运算【例 1】已知集合 2 240 log1AxNBxNx， ，则 AB等于（ ）A 2 3， B 3 ，
12、C 4 5， D 5 6，分析：本题考查集 合 的 运 算 性 质 和 应 用 根 据 集 合 A和 集 合 之 间 的 关 系 ， 然 后 根 据 交 集 的 定 义原结论 否定形式 原结论 否定形式是 不是 至少有一个 一个也没有都是 不都是 至多有一个 至少有二个大于 不大于 至少有 n个 至多有 n-1 个小于 不小于 至多有 个 至少有 +1 个p或 qp且 q对所有 0x成立 存在某 0x不成立且 或 对任何 不成立 存在某 成立6进 行 求 解 即 可 【答案】B【规律方法】1.解决集合问题的一般思路:(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在
13、求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性2.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的 关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系3已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析4.注意 当题目中有条件 BA 时，不要忽略 B的情况！5.集合的基本运算应把握：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运
14、算问题的前提(2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图【举一反三】【2018 陕西西安长安区联考】若 xA，则 1，就称 A是伙伴关系集合， 集合1,0,23M的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）A. 31 B. 7 C. 3 D. 1【答案】B 【解析】集合 023， ， ， ， ， 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合为： 11 1122323 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 B 考点 2 四种命题的
15、关系【例 2】 ,ABC三个学生参加了一次考试， ,AB的得分均为 70 分， C的得分为 65 分已知命题 :p若及7格分低于 70 分，则 ,ABC都没有及格在下列四个命题中，为 p的逆否命题的是（ ）A若及格分不低于 70 分，则 ,都及格 B若 ,AC都及格，则及格分不低于 70 分C若 ,至少有一人及格，则及格分不低于 70 分 D若 ,B至少有一人及格，则及格分高于 70分【答案】C【解析】根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p：若及格分低于 70分，则 ,ABC都没有及格，p的逆否命题的是：若 ,ABC至少有 1人及格，则及格分不低于 分故选：C 【规律方法】四种命题的定
16、义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上；由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：原命题含有否定词“不” 、 “不能” 、 “不是”等；原命题含有“所有的” 、 “任意的” 、“至少 ” 、 “至多”等；原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.【举一反三】原命题为“三角形 ABC 中，若 cosA 0，则三角形 ABC 为钝角三角形” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A真，真，真 B. 假，假，真 C真，真，假 D真，假，假【答案】B考
17、点 3 充分条件与必要条件【例 3】 【2018 东北名校联考】对于实数 ,xy，若 :4,:3pxyqx或 1y，则 p是 q的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A8【规律方法】充分条件、必要条件常用判断法：1、 定义法：判断 B是 A的什么条件，实际上就是判断 BA或 是否成 立，只要把题目中所给条件按照逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断若 pq,则 是 的充分条件 1若 ,则 是 的必要条件 2若 ,则 是 的充要条件 3若 pq且 p，则 是 q的既不充分也不必要条件 42、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时
18、，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断3、集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件 p、q所对应的集合分别为 A、 B，则：若 AB,则 p是 q的充分条件 若 AB,则 p是 q的充分不必要条件 1 2若 ,则 是 的必要条件 若 A,则 是 的必要不充分条件 3 4若 = , 则 是 的充要条件 若 , 且 则 是 的既不充分也不必要条件 5 6【举一反三】 “ 1x”是“ 12log()0x”的（ ）A充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也 不必要条件【答案】B【解 析】 12log()0x21x，故正确答案
19、是分不必要条件，故选 B. 考点 4 全称命题与特称命题【例 4】已知命题 p： 1x， 2R， 2121()()0fxfx，则 p是（ ）9A 1x， 2R， 2121()()0fxfx B 1x， 2R， 2121()()0fxfxC ， ， D ， ， 【 答案】C【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题 :,()PxMp则否定为 00:,(),PxMpx故选C.【规律方法】 有关全(特)称命题问题的解题策略(1)判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时只需举出一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中每一个元素都成立(2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命
20、题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论【举一反三】1.已知命题 p： 01,2xR，则 p为（ ）A ,2x B 01,20xR C D x【答案】D【解析】 p为 01,20xR，选 D.考点 5 集合中的创新问题【例 5】若 x A，则 A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M 的所有非空子集中具有伙1x 1， 0， 12， 2， 3伴关系的集合的个数是( )A1 B3 C7 D31分析:抓住新定义的特点， “若 x，则 1”，从而得出具有伙伴关系集合的元素特点，进而研究由这些特殊元素组成的集合的元素个数【规律方法
21、】与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，集合的新定义问题的解决方法是：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.10按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.【举一反三】1. 【河北省衡水中学 2018 届测试】用 CA表示非空集合 A中的元素个数，定义,* CAB，若 221,2| 0Bxax，且1，设实数 a的所有可能取值集合是 S，则 （ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B2. 对于非空实数集 A，记 A* y|x A， y x
22、设非空实数集合 M、 P 满足： MP，且若 x1，则 xP.现给出以下命题：对于任意给定符合题设条件的集合 M、 P，必有 P*M*；对于任意给定符合题设条件的集合 M、 P，必有 M* P ；对于任意给定符合题设条件的集合 M、 P，必有 M P* ；对于任意给定符合题设条件的集合 M、 P，必存在常数 a，使得对任意的 b M*，恒有 a b P*，其中正确的命题是( )A B C D【答案】C【解析】对于，假设 1=Px|02，则 1*=y|2，则 *P，因此错误； 对于，假设 M|1，则 M，又 P，则 *，因此也错误，而和都是正确的，故选 C.考点 6 数学文化【例 6】 【 2018 百校联盟联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本
