1、1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题 3分,满分 21分.把答案填在题中横线上.)(1) .0limcot2x(2) .snd(3) 曲线 在点 处的切线方程是.0(1)2xytdt(0,)(4) 设 ,则 .)f xn ()f(5) 设 是连续函数,且 ,则 .(x10()ftdfx(6) 设 在 处连续,则常数 与 应满足的关系是.2,()sin0abxfab(7) 设 ,则 .tayxdy二、计算题(每小题 4分,满分 20分.)(1) 已知 ,求 .arcsinxyey(2) 求 .2ldx(3) 求 .10im(sco)x(4) 已知 求 及 .2ln,a
2、rtydy2(5) 已知 及 ,求 .1(),()0ff2()1fx20()xfd三、选择题(每小题 3分,满分 18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设 时,曲线 ( )0x1sinyx(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若 ,则方程 ( )2350ab53240xabxc(A) 无实根 (B) 有唯一实根(C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根(3) 曲线 与 轴所围成的图形,绕 轴旋转一周所成的旋转体的体cos()2yxxx
3、积为 ( )(A) (B) (C) (D) 22(4) 设两函数 及 都在 处取得极大值,则函数 在 处()fxgxa()()Fxfgxa( )(A) 必取极大值 (B) 必取极小值(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定(5) 微分方程 的一个特解应具有形式(式中 为常数) ( )1xye,ab(A) (B) (C) (D) xabxabxexaeb(6) 设 在 的某个领域内有定义,则 在 处可导的一个充分条件是( )()f ()f(A) 存在1lim)(hff(B) 存在0(2ah(C) 存在)()lihff(D) 存在0(四、(本题满分 6分)求微分方程 满足 的解.2(1)x
4、xye(0)(1)0y五、(本题满分 7分)设 ,其中 为连续函数,求 .0sin()xfxtfdf()fx六、(本题满分 7分)证明方程 在区间 内有且仅有两个不同实根.0l1cos2xxe(0,)七、(本大题满分 11分)对函数 ,填写下表：2yx单调减少区间单调增加区间极值点极值凹( )区间凸( )区间拐点渐近线八、(本题满分 10分)设抛物线 过原点,当 时, ,又已知该抛物线与 轴及直线2yaxbc01x0yx所围图形的面积为 ,试确定 使此图形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积1x13,a最小.V1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题 3分,满分 21分
5、.)(1)【答案】 12【解析】这是个 型未定式,可将其等价变换成 型,从而利用洛必达法则进行求解.00方法一： 000cos2limcotlilimcos2nxxxx.1i洛方法二： 00cslict2l2xx 0121ioli.nsnx【相关知识点】 是两个重要极限中的一个, .0sinlmxm(2)【答案】 【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解, 0sintd00(cos)cos(cos)ttttd 分 部 法.0in()(3)【答案】 2yx【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即 .0()fx这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即 .12y由
6、在其定义域内的连续性,可知 .y 0(1)2xy所以,所求切线方程为 ,即 .2()(4)【答案】 !n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即 00()(1)2()0()limlixxf xnf.12!n 方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()()()1(2)()fxxxn ,(1)2(1)xxn所以 .0)00f 2!n(5)【答案】 【解析】由定积分的性质可知, 和变量没有关系,且 是连续函数,故10()ftd()fx为一常数,为简化计算和防止混淆,10()ftd令 ,则有恒等式 ,两边 0到 1积分得a()2fxa,1100()dxd即 ,11111200000(2
7、)2axdxaax 2解之得 ,因此 .f(6)【答案】 b【解析】如果函数在 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等,0x由函数连续性可知 .()0ffab而 ,000sinsisinlmllmxxxb如果 在 处连续,必有 ,即 .()fx()ffa(7)【答案】 2()dy【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得 ,2secydxy所以 ,( ).222sec1tan()dxdxyy0二、计算题(每小题 4分,满分 20分.)(1)【解析】令 , ,则 ,由复合函数求导法则, xuevarcsiarcsinxyeu,22211(arcsin)vvyuex即 .2
8、1xe【相关知识点】复合函数求导法则： 的导数 .()yfx()yfx(2)【解析】利用不定积分的换元积分法, .22ln1lldC(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限, 1 100lim(2snco)lim(sico)x xx x,2sinco12sinco12nxx 令 ,则当 时, ,si1t0t则 ,112sinco0l(2inco)lixtx t这是个比较熟悉的极限,即 .0lm(tte所以 ,012sinco1l0li(sc)xxx 而 ,02noili2x洛所以 .12snco1lim0li(sc)xx ee(4)【解析】这是个函数的参数方程,21dytxt.2 2
9、2311()()()22()4dydtdtxtxtxt【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果 ,则 .()ty()dytx(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, 11 1222 20001()()()()xfdxfxff 分 部 法0d1(2)()fxf10(2)fffxd,101(2)()fff令 ,则 ,2tx1,2tdxt所以 .00()()ff把 及 代入上式,得),2f21x1 10 0()()(2)()xfdfffxd 22t.101三、选择题(每小题 3分,满分 18分.)(1)【答案】(A)【解析】函数 只有间断点 .1sinyx0x,其中 是有界函数.当 时
10、, 为无穷小,无穷小量00limlxxsi 0x和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以,001lilimnxxy故函数没有铅直渐近线.,0sisilill11xxxtyt 所以 为函数的水平渐近线,所以答案为(A).1y【相关知识点】铅直渐近线：如函数 在其间断点 处有 ,则()yfx0x0lim()xf是函数的一条铅直渐近线；0x水平渐近线：当 ,则 为函数的水平渐近线.lim(),xfa为 常 数 ） ya(2)【答案】(B)【解析】判定方程 实根的个数,其实就是判定函数 与 有几个交点,()0f()yfx即对函数图形的描绘的简单应用,令 ,53()24fxabxc则 .46令 ,则 ,2
11、tx422()53563()fxtabft 其判别式 ,22(6)4531(5)0abab所以 无实根,即 .ftt(ft所以 在 是严格的单调递增函数.53()2xxc,)又 53limli(4xxfab() )xc所以利用连续函数的介值定理可知,在 内至少存在一点 使得(,0(,)x,又因为 是严格的单调函数,故 是唯一的.0()fx()yfx0x故 有唯一实根,应选(B).(3)【答案】(C)【解析】如图 的图像,则当 绕 轴旋转一周,在 处取cos()2yxcosyxx微增 ,则微柱体的体积 ,所以体积 有dxsdVxdV2cosVx2221cos4dxdx.222sin0()4x因此
12、选(C).(4)【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取 ,两者都在 处取得极大值 0, 而2()()fxgxaxa在 处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.4F若取 ,两者都在 处取得极大值 1, 而2()1()fxxx在 处取得极大值 1,所以(B)也不正确,从而选(D).ga(5)【答案】(B)【解析】微分方程 所对应的齐次微分方程的特征方程为 ,它的1xye210r两个根是 .12,r而形如 必有特解 ； 必有特解 .xye1xYae1y1Yb由叠加得原方程必有特解 ,应选(B).b(6)【答案】(D)【
13、解析】利用导数的概念判定 在 处可导的充分条件.()fxa(A)等价于 存在,所以只能保证函数在 右导数存在；0()limtfatfxa(B)、(C)显然是 在 处可导的必要条件,而非充分条件,fx如 在 处不连续,因而不可导 ,但是1cos,0yx0,0 0 011cos()cs()cos()()limlimlim0222h h hfaf hh均存在；0 0 0()()()()li li lih h hff(D)是充分的：存在 存在,应0 0()()limlimxhxfaffa0()()limhfahf选(D).四、(本题满分 6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式,
14、21()xyex通解为 .11()()2dxdxyeeC2()()xxxedC代入初始条件 ,得 ,所求解为 .()0()xey【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为 ,其通解公式为 ()pyqx,其中 为常数.()()pxdpxdyeqeC五、(本题满分 7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,0 00(sin()sin()()x xxfxtfdftdtf所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得,0 0()co()()cos()x xfftffft 再求导,得,即 ,()sin()fxf()infxf这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的
15、齐次方程的特征方程为 ,210r此特征方程的根为 ,而右边的 可看作 , 为特risinxsixe0,i征根,因此非齐次方程有特解 .coYab代入方程并比较系数,得 ,故 ,所以10,2b.12()sinsxfx又因为 ,所以 ,即 .(0),()ff,c1()incos2xf六、(本题满分 7分)【解析】方法一：判定方程 等价于判定函数 与 的交点个数.()0fx()yfx令 ,0()ln1cos2fxde其中 是定积分,为常数,且被积函数 在 非负,故01cos2d 1cos2x(0),为简化计算,令 ,即 ,x0k lnxfke则其导数 ,令 解得唯一驻点 ,()fe()fxxe即 ,
16、0(),xf所以, 是最大点,最大值为 .e()ln0efk又因为 ,00lim()li(n)xxfke由连续函数的介值定理知在 与 各有且仅有一个零点(不相同),故方程 在 有且仅有两个不同实根.0ln1cos2xxde(0,)方法二： ,因为当 时, , 所以00inxsin0x.2 0sis2co2x其它同方法一.七、(本大题满分 11分)【解析】函数 的定义域为 ,将函数化简为21xy,021,yx则 .3 436216(1)()yxx 令 ,得 ,即0yx故 为极小值点.21()0,(2,),(0,)xyx2x令 ,得 ,即03316(2)0,(3,)0,),yxx 为 凹 ， 为
17、凸 ，在 处左右变号,所以 为函数的拐点.y3x23,()9xy又 故 是函数的铅直渐近线；201limli()xxy0故 是函数的水平渐近线.,y填写表格如下：单调减少区间 (,2)(0,)单调增加区间极值点 x极值 14y凹区间 (3,0)(,)凸区间 (,3)拐点 2,9渐近线 0xy八、(本题满分 10分)【解析】由题知曲线过点 ,得 ,即 .(0)c2yaxb如图所示,从 的面积 ,所以xdSd11123200 01()Syabxabx,3由题知 ,即 .1223b当 绕 轴旋转一周,则从 的体积 ,所以yaxxd2Vydx旋转体积,12542322112200 0() ()53abxabVdab用 代入消去 ,得 ,这是个含有 的函数,两边对 求bab224(1()573V a导得,(1)25da令其等于 0得唯一驻点 , 在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,54aV这时 ,故所求函数 .32b2234yxbcx
