1、1988年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 二 试 题一 、 填 空 题 (本 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 20分 .)(1)设 2 , 0sin cos , 0xx a xf x e x x x 在 , 内 连 续 ， 则 a .(2)设 21lim 1 txxf x t x ， 则 f t .(3)设 f x 连 续 ， 且 3 10x f t dt x ， 则 7f .(4) tan0 1lim xx x .(5) 40 xe dx .二 、 选 择 题 (本 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 20分 .)(1
2、) 3 21 1 6 13 2f x x x x 的 图 形 在 点 0,1 处 切 线 与 x轴 交 点 坐 标 是 ( )(A) 1 ,06 (B) 1,0 (C) 1 ,06 (D) 1,0(2)设 f x 与 g x 在 , 上 皆 可 导 ， 且 f x g x ， 则 必 有 ( )(A) f x g x (B) f x g x (C) lim limo ox x x xf x g x (D) 0 0x xf t dt g t dt (3)若 函 数 y f x ， 有 0 12f x ， 则 当 0x 时 ， 该 函 数 在 0x x 处 的 微 分 dy 是( )(A)与 x
3、等 价 的 无 穷 小 (B)与 x 同 阶 的 无 穷 小(C)与 x 低 阶 的 无 穷 小 (D)与 x 高 阶 的 无 穷 小(4)由 曲 线 32sin 0y x x 与 x轴 围 成 的 平 面 图 形 绕 x轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积为 ( )(A) 43 (B) 43 (C) 223 (D) 23(5)n维 向 量 组 1 2, , , 3s s n 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 ( )(A)有 一 组 不 全 为 0 的 数 1 2, , , sk k k， 使 1 1 2 2 0s sk k k (B) 1 2, , , s 中 任 意
4、 两 个 向 量 都 线 性 无 关(C) 1 2, , , s 中 存 在 一 个 向 量 ， 它 不 能 用 其 余 向 量 线 性 表 示(D) 1 2, , , s 中 任 意 一 个 向 量 都 不 能 用 其 余 向 量 线 性 表 示三 、 (本 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 5 分 ,满 分 15分 .)(1)已 知 2 , 1xf x e f x x 且 0x ,求 x 并 写 出 它 的 定 义 域 .(2)已 知 1 ,xyy xe 求 0xy 及 0xy .(3)求 微 分 方 程 21 1 1y yx x x 的 通 解 （ 一 般 解 ）四 、 (本 题 满
5、分 12分 )作 函 数 2 62 4y x x 的 图 形 ， 并 填 写 下 表单 调 增 加 区 间 凹 区 间单 调 减 少 区 间 凸 区 间极 值 点 拐 点极 值 渐 近 线五 、 (本 题 满 分 8 分 )将 长 为 a的 铁 丝 切 成 两 段 ， 一 段 围 成 正 方 形 ， 另 一 段 围 成 圆 形 ， 问 这 两 段 铁 丝 各 长 为 多少 时 ， 正 方 形 与 圆 形 的 面 积 之 和 最 小 。六 、 (本 题 满 分 10分 )设 函 数 y y x 满 足 微 分 方 程 3 2 2 xy y y e ， 且 其 图 形 在 点 0,1 处 的 切 线 与 曲线 2 1y x x 在 该 点 的 切 线 重 合 ， 求 函 数 y y x七 、 (本 大 题 满 分 7 分 )设 1x ， 求 1 1x t dt 八 、 (本 题 满 分 8 分 )设 f x 在 , 上 有 连 续 导 数 ， 且 m f x M （ 1） 求 20 1lim 4 aaa f t a f t a dta （ 2） 证 明 1 02 aa f t dt M aa f x m
