1、1987年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学 二 试 题一 、 填 空 题 (本 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 15分 )(1) 设 ln 1y ax ， 其 中 a为 非 零 常 数 ， 则 y ， y .(2) 曲 线 arctany x 在 横 坐 标 为 1 的 点 处 的 切 线 方 程 是 ， 法 线 方 程 是 .(3) 积 分 中 值 定 理 的 条 件 是 ， 结 论 是 .(4) 2lim 1 nn nn .(5) ( )f x dx ； (2 )ba f x dx .二 、 (本 题 满 分 6 分 )求 极 限 0 1
2、 1lim 1xx x e .三 、 (本 题 满 分 7 分 )设 5 sin5 1 cosx t ty t ， 求 2 2, .dy d ydx dx四 、 (本 题 满 分 8 分 )计 算 定 积 分 10 arcsinx xdx .五 、 (本 题 满 分 8 分 )设 D 是 由 曲 线 sin 1y x 与 三 条 直 线 0, , 0x x y 围 成 的 曲 边 梯 形 ， 求 D 绕Ox 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 旋 转 体 的 体 积 .六 、 证 明 题 (本 题 满 分 10分 )（ 1） 若 f x 在 ,a b 内 可 导 ， 且 导 数 f x 恒 大
3、 于 零 ， 则 f x 在 ,a b 内 单 调 增 加 。（ 2） 若 g x 在 x c 处 二 阶 导 数 存 在 ， 且 0, 0,g c g c 则 g c 为 g x 的 一个 极 大 值 .七 、 (本 大 题 满 分 10 分 )计 算 不 定 积 分 2 2 2 21sin cos dxa x b x ,其 中 ,a b是 不 全 为 0 的 非 负 数 .八 、 (本 题 满 分 10分 )（ 1） 求 微 分 方 程 dyx x ydx 满 足 条 件 2 0xy 的 特 解 .（ 2） 求 微 分 方 程 2 xy y y xe 的 通 解 .九 、 选 择 题 (本
4、 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 16分 )(1) cossin xf x x x e x 是 ( )(A)有 界 函 数 (B)单 调 函 数 (C)周 期 函 数 (D)偶 函 数(2) 函 数 sinf x x x ( )(A)当 x 时 为 无 穷 大 (B)在 , 内 有 界(C)在 , 内 无 界 (D)当 x 时 有 有 限 极 限(3)设 f x 在 x a 处 可 导 ， 则 0limx f a x f a xx 等 于 ( )(A) f a (B) 2 f a (C)0 (D) 2f a(4)设 0 ( ) ,stI t f tx dx 其 中 ( )f x 连 续 ， 0, 0s t ， 则 I 的 值 ( )(A)依 赖 于 ,s t (B)依 赖 于 , ,s t x(C)依 赖 于 ,t x， 不 依 赖 于 s (D)依 赖 于 s， 不 依 赖 于 t十 、 (本 题 满 分 10分 )在 第 一 象 限 内 求 曲 线 2 1y x 上 的 一 点 ， 使 该 点 处 的 切 线 与 所 给 曲 线 及 两 坐 标 轴 所围 成 的 图 形 面 积 最 小 ， 并 求 此 最 小 面 积 。
