1、 Born to win1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 其中 可导,且 ,则 .3()1,txfyef(0)f0tdyx(2) 函数 在 上的最大值为.2cosx0,(3) .0limsxe(4) .21()d(5) 由曲线 与直线 所围成的图形的面积 .xyeyexS二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当 时, 是 的 ( )0xsinx2(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无
2、穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小(2) 设 ,则 ( )2,0()xf(A) (B) 2 , ()()0fx 2(),0() xf(C) (D) 2 ,()f 2,() 0fx(3) 当 时,函数 的极限 ( )1x12xe(A) 等于 2 (B) 等于 0(C) 为 (D) 不存在但不为(4) 设 连续, ,则 等于 ( )()fx20()()xFftd()Fx(A) (B) 4 24()fx(C) (D) 2()xfBorn to win(5) 若 的导函数是 ,则 有一个原函数为 ( )()fxsinx()f(A) (B) 1si1sinx(C) (D) co co三
3、、(本题共 5小题,每小题 5分,满分 25分.)(1) 求 .123lim()6xx(2) 设函数 由方程 所确定,求 的值.()y1yxe20xdy(3) 求 .321xd(4) 求 .0sin(5) 求微分方程 的通解.3()20yxdy四、(本题满分 9分)设 ,求 .21 ,0xfe31(2)fxd五、(本题满分 9分)求微分方程 的通解.32xye六、(本题满分 9分)计算曲线 上相应于 的一段弧的长度.2ln(1)yx102x七、(本题满分 9分)求曲线 的一条切线 ,使该曲线与切线 及直线 所围成的平面图形yxll0,2x面积最小.八、(本题满分 9分)已知 ,试证：对任意的二
4、正数 和 ,恒有(0,(fxf1x212()()fxff成立.Born to win1992年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.)(1)【答案】 3【解析】由复合函数求导法则可得 ,于是 .3/(1)ttdyefx03tdyx【相关知识点】复合函数求导法则:如果 在点 可导,而 在点()ugx()f可导,则复合函数 在点 可导,且其导数为()ugx()yfx或 .dxdyux(2)【答案】 36【解析】令 ,得 内驻点 .12sin0y26因为只有一个驻点,所以此驻点必为极大值点,与端点值进行比较,求出最大值.又 , , ,(0)(
5、)36()y可见最大值为 .y(3)【答案】【解析】由等价无穷小,有 时, ,故0x2211()xx:,200limlicoscosxxee上式为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,由洛必达法则,有0原式 .0lisinxe(4)【答案】 1ln2【解析】令 ,b原式 (分项法)2211limli()()bbdxxd21lim(bxd(凑微分法)211linlibbb211lilin(bbbxx2linln1bBorn to win.21limnlnb1ln2l(5)【答案】 e【解析】联立曲线和直线的方程,解得两曲线的交点为 ,则所围图形面积为(0,)1e,再利用分部积分法求
6、解,得10()xSed.12012xxeeSd注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定 与 均具有连续的导函数,则()ux()v或者 ,uvdxvd .duv二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.) (1)【答案】(B)【解析】 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,连续20sinlimx00运用两次洛必达法则,有 ,故选(B).2000sin1cosinlilml2xxx【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中, 为无
7、穷小且存在极限 ,(),()lil(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；0,l,x(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；1()()x:(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .,l ()x()ox若 不存在(不为 ),称 不可比较.)limx,(2)【答案】(D)【解析】直接按复合函数的定义计算. 2 (), 0()xf2,0 .x所以应选(D).Born to win(3)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点 的极限是否存在,需要判定左极限 和右极限0x 0x是否存在且相等,若相等,则函数在点 的极限是存在的.0x0x,1121limli()0xxxee.
8、1121lili()xxx,故当 时函数没有极限,也不是 .故应选(D).0x(4)【答案】(C)【解析】 ,2 240()()()()xFftdfxxf故选(C).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶可导,则()tfxd()t.()()Ffttft(5)【答案】(B)【解析】由 的导函数是 ,即 ,得()fxsinx()sinfx, 其中 为任意常数.codC所以 的原函数()fx,其中 为任意常数.12(cos)sinFfxx 12,令 , 得 .故选(B).10C2)1in三、(本题共 5小题,每小题 5分,满分 25分.)(1)【答案】32e【解析】此题考查重要
9、极限： 1lim().xxe将函数式变形,有 6311 223li()li()6xxx .3131lim6262lixxe3eBorn to win(2)【答案】 2e【解析】函数 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.()yx方法 1：在方程两边对 求导,将 看做 的函数,得yx,即 ,0e1yex把 代入可得 .0,1xy(0)y两边再次求导,得,2(1)()yyyexex 把 , 代入得 .01xy()(0)y20xd方法 2：方程两边对 求导,得 ；xye再次求导可得 ,2()yyyex把 代入上面两式,解得 , .01x(0)e(220xde【相关知识点】1.复合函
10、数求导法则:如果 在点 可导,而 在点)ug()yfx可导,则复合函数 在点 可导,且其导数为()ugx()yfx或 ,ddyux2.两函数乘积的求导公式：.()()()fxgfgf 3.分式求导公式： .2uv(3)【答案】 其中 为任意常数.32(1)xC【解析】方法 1：积分的凑分法结合分项法,有32 22 22 1()()(1)xxdddxxBorn to win22211()(xdx2 22()(1)x其中 为任意常数.3221()1xC方法 2：令 ,则 ,tanx2secdt33222ttan(sec)(1)(sec1dttdt,其中 为任意常数.33221sec()tCxC方法
11、 3：令 ,则 ,2tx,tdxt此后方法同方法 1,积分的凑分法结合分项法21tdx,其中 为任意常数.3221()()1tdtxC(4)【答案】 42)【解析】注意 不要轻易丢掉绝对值符号；绝对值函数的积分(),fxffx实际上是分段函数的积分.由二倍角公式 ,则有sin2icos.221iiincosincos2所以 200 0sinsi ixxxddd202coinsinco2Born to win2022sincocosinxx.4(1)(5)【答案】 ,其中 为任意常数35yCxC【解析】所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为 .21yx由一阶线性微分方程的通解公式,得 112
12、2dxdxyeeC其中 为任意常数.35C【相关知识点】一阶线性非齐次方程 的通解为()yPxQ,其中 为任意常数.()()PxddyeeC四、(本题满分 9分)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令 ,则 当 时, ；当 时, ,于是2xt.dxt1t3x1t3 021 10()()ffdtde分 段3017.3tte五、(本题满分 9分)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程有两个根为 ,而非齐次项 为单特征根,因而非齐230r12,r1,xer次方程有如下形式的特解 ,(
13、)xYabe代入方程可得 ,所求解为,2ab,其中 为任意常数.21()xxxyCee12,C【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设 是二阶线性非齐次方程*()yBorn to win的一个特解. 是与之对应的齐次方程()()yPxQyfx()Yx的通解,则 是非齐次方程的通解.0 *y2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即 中的 、 均是常数,方()Yx()()0PxQy()PxQ程变为 .其特征方程写为 ,在复数域内解出两个特征根0ypq2rpq；12,r分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 ,则通解为12r12
14、;rxrxyCe(2) 两个相等的实数根 ,则通解为112r(3) 一对共轭复根 ,则通解为 其中1,2ri12cosin.xyeCx为常数.12,C3.对于求解二阶线性非齐次方程 的一个特解 ,可用待定()()yPxQyfx*()yx系数法,有结论如下：如果 则二阶常系数线性非齐次方程具有形如(),xmfxPe *()()kxmQe的特解,其中 是与 相同次数的多项式,而 按 不是特征方程的根、是特征方Q()k程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果 ,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()cos()sinxlfexPx的特解可设为ypqyf,*(1)(2)cossinkxmm
15、eRxx 其中 与 是 次多项式, ,而 按 (或 )不是特征(1)mRx(2) alki方程的根、或是特征方程的单根依次取为 或 .0六、(本题满分 9分)【解析】由于 ,2ln(1)yx,22(), 2211,(0)xdsydBorn to win所以 221/ 1/200()xxsdd1/21/21/2000xxx.1/20lnln3【相关知识点】平面曲线弧长计算：已知平面曲线 的显式表示为 ,则:AB()yfxab弧微分为 ,弧长 ,其中 在 有连续的导21()dsfxd21()basfxdf,数.七、(本题满分 9分)【解析】过曲线上已知点 的切线方程为 ,其中当 存在时,0(,)x
16、y00()ykx0()yx.0()kyx如图所示,设曲线上一点 处的切线方程为(,)t,12ytxt化简即得 .t面积 ,20 14() 23xtSt xdt其一阶导数 .3/21/2()ttt令 解得唯一驻点 ,而且 在此由负变正,即 在 单调递减,在0SttS()St1单调递增,在此过程中 在 时取极小值也是最小值,所以将 代入先前所1)()1t设的切线方程中,得所求切线方程为 .2xy八、(本题满分 9分)【解析】证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设 ,要证的不等式是210xxyO 2ttBorn to win.1221()()(0fxfxff在 上用中值定理,有 ,10x0,1x在 上用中值定理,又有 ,2122212()()fxffx由 所以 单调减,而 ,有 ,所以()fx()fx(f,12211()(0)fxffx即 .12()(fxfxf证法二：用函数不等式来证明.要证 .11()(),0ffxf令辅助函数 ,则 .)x1()()xffx由 单调减, ,由此,(0,(ff1()fxf.1)0(0)(0)fx改 为 即得证.x2【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数 满足在闭区间 上连续,在开区间 内可导,那么在 内至()fxabab,ab少有一点 ,使等式 成立.ab()()ff
