1、 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题下面对其求法进行探究1定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法例 1 如图，点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点 M 在圆周上，将纸片折起，使点 M 与点 A 重合，设折痕 m 交线段 CM 于点 N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆 C：(x 1) 2y 24a 2 (a1)，
2、A(1,0) ，记点 N 的轨迹为曲线 E.(1)证明曲线 E 是椭圆，并写出当 a2 时该椭圆的标准方程；(2)设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B，点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q，若椭圆 E 的离心率 e ，求点 Q 的纵坐标的取值范围12，32解 (1)依题意，直线 m 为线段 AM 的垂直平分线，|NA | |NM|.|NC |NA|NC |NM| |CM|2a2，N 的轨迹是以 C、A 为焦点，长轴长为 2a，焦距 为 2 的椭圆当 a2 时，长轴长为 2a4，焦距为 2c2，b 2a 2c 23.椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)设椭圆的标准方程为 1 (
3、 ab0)x2a2 y2b2由(1)知：a 2b 21.又 C(1,0) ，B(0，b)，直线 l 的方程为 1 ，即 bxyb0.x 1 yb设 Q(x，y)，点 Q 与点 A(1,0)关于直线 l 对称，Error! 消去 x 得 y .4bb2 1离心率 e ， e 2 ，12，32 14 34即 . a 24.14 1a2 34 43 b 214，即 b ，43 33 3y 2，当且仅当 b1 时取等号4bb2 1 4b 1b又当 b 时，y ；当 b 时，y . y2.3 333 3 3点 Q 的纵坐标的取值范围 是 ，232直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识
4、推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法例 2 已知直线 l1：2x 3y20，l 2：3x 2y30.有一动圆 M(圆心和半径都在变动)与l1，l 2 都相交，并且 l1，l 2 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26,24.求圆心 M 的轨迹方程解 如图，设 M(x，y)，圆半径 为 r，M 到 l1，l2 的距离分别是 d1，d2，则 d 13 2r 2，d 12 2r 2，21 2d d 25，2 21即 2 225，化简得圆心 M 的轨迹方程是( x1) 2y 265.(3x 2y 313 ) (2x 3y
5、 213 )点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标 x，y 的方程即可3待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹) 的方程时，可由待定系数法求解例 3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cosOFA ，求椭圆的方程23解 椭圆的长轴长为 6，cosOFA ，23所以点 A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|c，|AF| |OA|2 |OF|2 b2 c2a3， ，所以 c2，b 2 322 25，c3 23故椭圆的方程为 1 或 1.x29 y25 x2
6、5 y294相关点法(或代入法)如果点 P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点 P 与点 Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点 P 的运动轨迹便可得到点 Q 的运动轨迹例 4 如图所示，从双曲线 x2y 21 上一点 Q 引直线 l：xy2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程分析 设 P(x，y)，因 为 P 是 QN 的中点，为此需用 P 点的坐标表示 Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可解 设 P 点坐标为(x，y )，双曲线上点 Q 的坐标为(x 0，y0)，点 P 是线段 QN 的中点，N 点的坐标为(2xx 0,2yy 0)又点 N 在直线 xy2 上， 2x
7、x 02yy 02，即 x0y 02x 2y2.又 QNl， k QN 1，2y 2y02x 2x0即 x0y 0x y.由，得 x0 (3xy2)，y 0 (x3y2)12 12又点 Q 在双曲线上， (3x y2) 2 (x3y2) 21.14 14化简，得 2 2 .(x 12) (y 12) 12线段 QN 的中点 P 的轨迹方程为2 2 .(x 12) (y 12) 12点评 本题中动点 P 与点 Q 相关，而 Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解5参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现
8、) 这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等) 的制约，即动点的坐标(x， y)中的 x，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法例 5 已知点 P 在直线 x2 上移动，直线 l 通过原点且与 OP 垂直，通过点 A(1,0)及点 P的直线 m 和直线 l 交于点 Q，求点 Q 的轨迹方程解 如图，设 OP 的斜率为 k，则 P(2,2k)当 k0 时，直线 l 的方程：y x；1k直线 m 的方程：y2k(x1)联立消去 k 得 2x2y 2 2x0 (x1) 当 k0 时，点 Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点 Q 的轨迹方程为 2x2y 22x0(x1)
