1、1信 号 与 系 统课 程 设 计题 目： 信号的抽样与恢复 学 生 姓 名： 院（系、部）： 机电工程学院 指 导 教 师： 2012 年 12 月 24 日至 2012 年 12 月 28 日专业： 电子信息工程 学号： 2摘 要本设计是运用 MATLAB 编程来实现抽样定理及其信号恢复的仿真并能在建立的图形用户界面上显示出相应的仿真结果。目的在于能够熟练的应用 MATLAB 软件来建立友好的用户界面，通过界面来显示原始信号、抽样信号以及恢复后仿真的信号。本设计通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对抽样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个
2、周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。通过 MATLAB 软件中的信号分析的方法来验证抽样定理的正确性。关键词：抽样与恢复；滤波器 ；MATLAB1 设计任务与要求（1）用 MATLAB 实现常用连续信号（2）用 MATLAB 实现常用离散信号（3）根据以下三种情况用 MATLAB 实现 的信号及恢复并求出两者误差，分析)(tSa三种情况下的结果。由于函数 不是严格的带限信号，其带宽 可根据一定的精度)(tSam要求做一近似。 的临界抽样及恢复： ， ， ；)(tSa,1mmcispT/4.2 的过抽
3、样及恢复： ， ， . m5 的欠抽样及恢复： ， ， 。t cis/.2 原理分析和设计图 1 总框架图32.1 连续信号的抽样定理连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB 并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当抽样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行抽样，是给它乘以一个抽样脉冲序列，就可以得到抽样点上的样本值，信号被抽样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了抽样信号的频谱。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以
4、用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域 恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。一个频谱在区间（ ）以外为零的频带有限信号 ，可唯一的由其在均m,)(tf匀间隔 上的样点值 确定,这就是抽样定理。ST)21(mf)(snTf时域抽样定理从抽样信号 恢复原信号 必需满足两个条件：tfs )(tf(1) 必须是带限信号，其频谱函数在 各处为零； )(tf m(2)
5、 抽样频率不能过低，必须 （或 2 ） 。如果抽样频率s2sfm大于或等于 ，即 （ 为连续信号 的有限频谱），则0/2Tsmax2maxsax)(t抽样离散信号 能无失真地恢复到原来的连续信号 。)(t )(t根据时域与频域的对称性，可以由时域抽样定理直接推出频域抽样定理。一个时间受限信号 ，它集中在（ ）的时间范围内，则该信号的频谱 在频)(tf m, )(jF域中以间隔为 的冲激序列进行抽样，抽样后的频谱 可以惟一表示原信号的条1)(1jF件为重复周期 ，或频域间隔 （其中 ） 。抽样信号 的mtT2mtf2112T)(tfs4频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当 时
6、，)(jFssm2不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从抽样信号 中恢)(tfs复原信号 。图 1 为不同抽样频率时的抽样信号及频谱)(tfa) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）(a)(b)(c)图 2 抽样定理2.2 信号抽样 如图 3 所示，给出了信号抽样原理图图 3 信号抽样原理图5，其中，冲激抽样信号 的表达式为：)()(tftsTs)(tsTnsTTtts )()(其傅立叶变换为 ，其中 。nss)(s2设 ， 分别为 ， 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定)(jF)(
7、js tf(tfs理，可得 nssnss jFTjj )(1)*21 若设 是带限信号，带宽为 ， 经过抽样后的频谱 就是将 在)(tf m(tf js )(jF频率轴上搬移至 处（幅度为原频谱的 倍） 。因此，当 ,02nsss1时，频谱不发生混叠；而当 时，频谱发生混叠。ms2 ms2一个理想抽样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列 的幅值调制器，即)(tT理想抽样器的输出信号 ，是连续输入信号 调制在载波 上的结果，如图 4)(*te)(te所示。图 4 信号的抽样用数学表达式描述上述调制过程，则有 )()(*tetT理想单位脉冲序列 可以表示为 )(tT0nTtt其中 是出现在时刻
8、，强度为 1 的单位脉冲。由于 的数值仅在抽)(ntt)(te样瞬时才有意义，同时，假设 0)(te所以 又可表示为)(*te*0()ntTtn2.3 信号恢复6设信号 被抽样后形成的抽样信号为 ，信号的恢复是指由 经过内插处)(tf )(tfs )(tfs理后，恢复出原来信号 的过程。)(tf若设 是带限信号，带宽为 ，经抽样后的频谱为 。设抽样频率)(tf m)(jFs，已知 是以 为周期的谱线。现选取一个频率特性ms2)jFss（其中截止频率 满足 ）的理想低通滤波器与csTjH0)( c2scm相乘，得到的频谱即为原信号的频谱 。jFs )(jF显然， ，与之对应的时域表达式为 )()
9、(jHFjs )(*)(tfhtfs而 nssnss nTtfTttff )()()()(1 tSajFthcs将 及 代入式 得ttfs *tfhtfsnscscscss nTtSafTtSaTtft )()()(*)( 上式即为用 求解 的表达式，是利用MATLAB实现信号恢复的基本关系式，Snftf抽样函数 在此起着内插函数的作用。)(ta利用MATLAB中的抽样函数 来表示 ，有)/(sin)(ttic)(tSa)/()(tSinct，于是，信号恢复的内插公式也可表示为：)/()(tSinctc)()()( tSaTntTftf ccsnss )()(scnScs tif3 详细设计3
10、.1 常用连续时间信号的实现7（1）正弦信号 )2sin()(FsfAxA=3;fai=3*pi/4;Fs=2;f=3;n1=0:0.01:pi;x1=A*sin(2*pi*f*n1/Fs+fai);subplot(3,2,1);plot(n1,x1);title(正弦函数);xlabel(n);ylabel(x(n);图 5 正弦函数（2）指数序列 nax)(a=2;n1=0:0.01:6;x1=a.n1;subplot(3,2,1);plot(n1,x1);title(指数函数);xlabel(n);ylabel(x(n);8图 6 指数函数（3） 函数)(tSawm=1; %升余弦脉冲信
11、号带宽wc=wm; %频率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率n=-100:100; %定义序列的长度是201nTs=n*Ts %抽样点f=sinc(nTs/pi); %抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); %信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(212);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(Sa(t)函数);grid;9
12、图7 函数)(tSa（4）单位阶跃信号 )(tft=-1:0.01:4; %定义时间样本向量t0=0; %指定信号发生突变的时刻ut=stepfun(t,t0); %产生单位阶跃信号 plot(t,ut) %绘制波形axis(-1,4,-0.5,1.5) %设定坐标轴范围title(单位阶跃信号) %设定标题图 8 单位阶跃信号（5）门函数 的波形()2)()fttt=-4:0.01:4; %定义时间样本向量t1=-2; %指定信号发生突变的时刻u1=stepfun(t,t1); %产生左移位的阶跃信号(t+2)10t2=2; %指定信号发生突变的时刻u2=stepfun(t,t2); %产生
13、右移位的阶跃信号(t-2)g=u1-u2; %表示门函数plot(t,g) %绘制门函数的波形axis(-4,4,-0.5,1.5) %设定坐标轴范围-4x4 ，-0.5y1.5title(门函数) %设定标题图 9 门函数3.2 常用离散时间信号的实现（1）单位抽样序列 01)(nn1=-20:20;x1=zeros(1,20),1,zeros(1,20);subplot(3,2,1);stem(n1,x1);title(单位抽样序列);xlabel(n);ylabel(n)）);11图 10 单位抽样序列（2）单位阶越序列 01)(nun1=-20:20;x1=zeros(1,20),1,
14、ones(1,20);subplot(3,2,1);stem(n1,x1);title(单位阶跃序列);xlabel(n);ylabel(u(n);图 11 单位阶跃序列（3）正弦序列 )2sin()(FsfAxf=10;Fs=1000; fai=0;n=1:99; 12N=100;x=sin(2*pi*f*n/Fs+fai);stem(n,x);axis(0,150,-1.2,1.2); xlabel(n),ylabel(x) 图 12 正弦序列（4）指数序列 nax)(a=2;n1=0:0.01:6;x1=a.n1;subplot(3,2,1);plot(n1,x1);title(指数序列
15、);xlabel(n);ylabel(x(n);a1=1.1;n=-5:15; x1=(a1.n);subplot(2,2,1);stem(n,x1,.k);title(指数序列);axis(-5,15,-0.5,5); 13图 13 指数序列（5） 函数序列)(tSawm=1; %升余弦脉冲信号带宽wc=wm; %频率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率n=-100:100; %定义序列的长度是 201nTs=n*Ts %抽样点f=sinc(nTs/pi); %抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t
16、1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(Sa(t)函数序列);14图 14 函数序列)(tSa3.3.1 的临界抽样及恢复)(tSa当抽样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为临界抽样。ms2（1） 的临界抽样及恢复程序代码；)(tSawm=1; %升余弦脉冲信号带宽wc=wm; %频率Ts=pi/wm; %周期ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率n=-100:100; %定义序列的长度是 201nTs=n*Ts %抽样点f=sinc(nTs/pi); %抽样信号Dt=0.005;t=
17、-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t); %信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);15title(sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号);subplot(212);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由 sa(t)=sinc(t/pi)的临界抽样信号恢复 sa(t);grid;（2）程序运行结果图
18、图 15 的临界抽样及恢复)(tSa（3）运行结果分析：信号的临界抽样与恢复，其中 ，其恢复信号可以近乎完ms2整的恢复为原信号，其误差可忽略不计。3.3.2 的过抽样及恢复)(tSa当抽样频率大于一个连续的同信号最大频率的 2 倍，即 时，称为过抽样。ms216(1) 的过抽样及恢复程序代码:)(tSawm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs
19、*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的抽样信号 );subplot(312);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t)=sinc(t/pi)的过抽样信号恢复 sa(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(
20、过抽样信号与原信号的误差error(t);17（2）程序运行运行结果图图 16 的过抽样信号、恢复信号及两信号的绝对误差)(tSa（3）运行分析： 时，此时为对原信号的过取样与恢复，由图 16可以看出，ms2两信号的绝对误差已在 数量级，说明恢复信号的精度已经很高。6103.3.3 的欠抽样及恢复)(tSa当抽样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即 时，称为欠抽样。ms2利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对抽样信号的恢复。（1） 的欠抽样及恢复程序代码；)(tSawm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;18nTs=n*Ts
21、f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-20:0.5:20f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel(kTs);ylabel(f(kTs);title(sa(t)=sinc(t/pi)的抽样信号 sa(t);subplot(312);plot(t,fa)xlabel(t);ylabel(fa(t);title(由sa(t
22、)=sinc(t/pi)的欠抽样信号恢复 sa(t);grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel(t);ylabel(error(t);title(欠抽样信号与原信号的误差error(t);（2）程序运行运行结果图19图 17 的欠抽样信号、恢复信号及两信号的绝对误差)(tSa（3）误差分析： ，为原信号的欠采样信号，因为它的取样频率不符合奈奎斯ms2特频率，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。频谱重叠的现象被称为混叠现象4 设计方案优缺点优点：MATLAB 在编程绘图方面提供了相当高级的函数序及程序界面，即使用
23、户没有丰富的程序设计经验，也能够快速地得到自己想要的结果，熟练的使用 MATLAB 的程序员或研究人员能缩短研究开发时间，从而提高竞争力，MATLAB 和其他高级语言有良好的接口，可以方便地实现与其他语言的混合编程，从而进一步扩宽 MATLAB 的应用潜力。本设计以 MATLAB 为工具研究信号的抽样与恢复，大大降低了难度，是我们更加直观的观察实验现象，缺点：由于对 MATLAB 并不十分熟悉，设计过程出现很多问题 ，在输入程序后不能得到想要的仿真结果。经过多次尝试，检查，最终获得了想要的结果。5 心得体会20经过本次信号与系统的课程设计，使我在独立思考问题以及对问题的求证方面的能力有所提高。
24、本次课程设计让我在 MATLAB 软件的使用方面有了进一步的了解，而且我对信号的抽样与恢复过程有了更深层次的了解，通过对课本的温习以及上网查阅资料，让我明白了不少以前心中有疑惑的地方，这一点很值得庆幸的。这次设计我用极其认真的态度去对待，让自己利用这次设计的机会好好的提高自己独立思考，团结合作完成设计能力，并为以后的学习和实验打下基础，在设计中我巩固了很多旧知识、学到很多新知识，这让我有更多的领悟，不枉费老师的谆谆教导，也是对自己负责的一种表现。在此，我还要感谢我的指导老师，是他的细心和耐心讲解让我少走弯路，又是他认真负责的为我指点迷津，让我反复的斟酌，仔细的推敲，最终圆满的完成了本次课程设计。真心的感谢老师！6 参考文献1董长虹. Matlab 信号处理与应用M.北京：国防工业出版社，2005.01：28-47.2路林吉，袁华. 信号与系统M.北京：机械工业出版社，2007.01：124-127.3甘俊英，胡异丁. 基于MATLAB的信号与系统实验指导M.北京：清华大学出版社，2007.084吴大正. 信号与线性系统分析（第四版）M.北京：高等教育出版社，2005.08：182-188.5楼顺天，刘小东，李博菡.基于MATLAB7.X的系统分析与设计信号处理M.西安：西安电子科技大学出版社，2005.05：268-273.
