1、概率论与数理统计第 1 章 初等数学是指通常在小学或中学阶段所教的数学内容，与高等数学相对。在一定的条件下 必然出现或必然不出现某种结果的现象叫做确定性现象 现象是随机指在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且在事先无法预知确切结果的现象。对于随机现象，就每次观察而言，其发生的结果具有偶然性，但是人们经过长期的实践和深入研究 发现在保持基本条件下不变的情况下，进行大量重复观察所得结果却呈现某种规律性，这种规律性称为随机现象的统计规律性。一个事件如果满足（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，但事先已知试验的所有可能结果；（3）每次试验总是恰好出
2、现所有可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不能确切预言。则称这个试验为随机试验。对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知其试验的结果，但实验的所有可能结果却是已知的。称实验的所有可能结果组成的集合为样本空间，记为（或 S） 。组成样本空间的元素，也就是随机试验的单个结果称为样本点，用“ ”表示。称样本空间的带有某种特征的子集为随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本被点发生了，则称此事件发生 如果一个随机事件只含有一个样本点则称该事件为基本事件 必然事件 属于 包含所有样本点 每次事件必然发生，不可能事件 属于 每次事件必然不发生 设 是试验 E 的样本空间， A
3、、B、C 及A1、A2、，An， 都是 E 的事件，即为 的子集。 （1）包含：如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称事件 A 包含于事件 B 中，记为A B。从“事件是样本空间的子集”的观点来看，即集合论的观点，此时 A 就是 B 的子集（如图 1-1） 。 。（2）相等：如果 A B 同时 B A，则称事件 A 与 B 相等，记为 A=B，即两集合相等。3 和事件：称“事件 A 发生或事件 B 发生” ，这一事件为A 与 B 的和事件（或并） ，即“事件 A 与 B 中至少有一个发生” ，记为 AUB。n 个事件 A1，A2，An 的和事件记为即 =
4、 A1，A2，An 中至少有一个发生 ；无穷多个事件 A1，A2 ，An ， 的和事件记为即 = A1，A2，An ，中至少有一个发生niiA11ii4 积事件：称“事件 A 和 B 同时发生”这一事件为 A 与 B的积事件（或交） ，记作 AB 或 AB。 n 个事件 A1，A2，An 的积事件记为即 = A1，A2，An 同时发生 ；无穷多个事件 A1，A2 ，An ， 的积事件记为即 = A1，A2，An ，同时发生 ；5 AB= 则称 A 和 B 互不相容或互斥 互不相容的两事件不可能在一次试验中同时发生基本事件是两两互不相容得： 6 差事件：属于 A 事件而但不属于事件 B 的样本点
5、组成的集合称为 A 与 B 的差事件，记为 A-B。7）对立事件（逆事件） 称事件 -A 为事件 A 的对立事件（或逆事件） ，记为 显然 发生当且仅当 A 不发生。A1，A2，An 中至少有一个不发生）A1，A2，An 都不发生BAAnii11ii BAnn 2121nnAA2121 频率设 E 为一个随机试验，A 为 E 的事件。将试验 E 重复进行 N 次，若事件 A 在这 N 次试验中发生了 n 次，则称 n/N 为事件 A 在这 N 次试验中发生的频率，记为 FN(A),即 FN(A)= n/N 。非负性 对任一事件 A，有 FN(A)0；(2) 规范性 FN( )=1；（3） 有限
6、可加性 若 A1，A2，AK 是两两互不相容的事件在重复试验中，同一事件发生的频率不完全相同，当试验次数较小时，频率的波动幅度较大，而当试验次数逐渐增大时，频率的波动幅度较小，并逐渐稳定于某一常数。频率的这种稳定性，即通常所说的统计规律性，说明了一个事件发生的可能性有一定的大小可言。当频率稳定于较大的数值，表明相应事件发生的可能性小，因而频率所稳定的数值就是相应事件发生可能性大小的一个客观的定量的度量，通常称为相应事件的统计概率，简称概率。概率的统计定义定义 1 设 E 为一个随机试验， A 为 E 的事件。将试验E 重复进行了 N 次，当 N 很大时，事件 A 发生的频率ki iNkiiN
7、AFF11 )()(FN(A)= n/N 稳定地在某一常数 P 的附近摆动，则称该常数 P（频率的摆动中心）为随机事件 A 的概率，记作 P(A),即 P(A)=P。概率的统计定义中，虽然没有提供直接确定概率的方法，但是当试验次数较大时，事件 A 发生的频率可以作为P(A)的一个估计值, 即 P(A) FN(A)。由频率的性质，可以得到概率的统计定义所定义的事件的概率有如下性质：非负性 对任意事件 A，有 P(A)0；（2）规范性 对必然事件 ,有 P( )=1;（3）有限可加性 若事件 A1，A2，An 两两互不相 容，则集合交换律 A B=B A A B=BA 集合结合律 (AB)C=A(
8、BC) (AB)C=A(BC) 集合分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(Bk)= (ABk) A(BC)=(AB)(AC) A(Bk)=(ABk)对偶律 第 6 页 根据理解 古典型随机试验及其特征nkknkk APP11 )()(有许多随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同（称为等可能性）这种随机试验是概率论发展早期的主要研究对象，称为古典随机试验，简称古典概型。设 E 为古典型随机试验，A 为 E 的事件，E 的样本点总数为n,A 是由其中的 m 个样本点所组成，其中 0mn,则由古典概型的特征，事件 A 发生的概率可定义为：给
9、出一个实际问题，要计算其中随机事件的概率，首先把该事件设出来，即设 A= ;(2)接下来就是要采用概率论中什么公式和什么方法计算 P(A);(3)这就要确定给出的实际问题中的随机试验是什么，该试验是什么类型的试验；(4)若试验是古典型，就用古典概率公式计算 P(A)=m/n ,这就要正确利用排列组合知识或列举分析的方法计算 n 和 m;(5)要计算 n 和 m，就要确定该试验的结果，即样本点是什么，然后计算 n 和 m，最后计算 P(A)。样 本 点 总 数所 含 的 样 本 点 的 个 数Anm基 本 事 件 总 数包 含 的 基 本 事 件 数P)(由古典概率的定义知古典概型中的事件的概率
10、具有如下基本性质：(1)非负性 对任意事件 A，有 P(A)0；(2)规范性 对必然事件 ，有 P( )=1;(3)有限可加性 若事件 A1，A2，AK 两两互不相容 则向某可度量的区域 内投一点（这个区域可以是一维，也可以是二维或三维） ，如果所投的点必在 内，且落在 中任意子去区域 A 内的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置和形状无关，则称这种随机试验为几何型随机试验，或称为几何概型。上面所说的几何度量，指的是有限区间的长度，有限平面区域的面积，有限空间区域的体积，通常用 (U ), u(A)分别表示区域 ，A 的几何度量。易知几何型随机试验有如下特征：（1）它的样本空间
11、含有无限个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同（称为等可能性）那么如何定义和计算几何随机试验产生的随机事件的概率？ki ikii PAP11 )()(给出一个实际问题，要计算其中随机事件的概率，首先把该事件设出来，即设 A= ；、(2)接下来就是采用概率论中什么公式和什么方法计算 P(A)；(3)这就要确定给出的实际问题中的随机试验是什么，该试验是什么类型的试验；(4)若试验是几何型，就要用几何概率公式计算(5) 要计算 U (A)和 (U ),就要确定 A 和 由哪些样本点组合，有时还要用数学表达式把它们列出来，并选取适当的几何度量计算 U (A)和 (U ), 最后计算 P(A)。由几
12、何概率的定义知几何概型中事件的概率具有如下基本性质：（1）非负性 对任意事件 A，有 P(A)0；（2）规范性 对必然事件 ，有 P( )=1;（3）有限可加性 若事件 A1，A2 ，Ak 两两互不相 容，则（4）可列可加性 若 A1，A2，Ak，为可列无限多个两两互不相容的事件，则 )()(APki ikii PAP11 )()(1.3 概率的公理化定义古典概率与几何概率的定义，都是以样本点的“等可能性”作为基础，因此它们的适用有很大的局限性。统计概率的定义也存在理论和应用上的缺陷。因此，对一般的随机试验明确地定义其随机事件概率，对于概率论的研究是十分必要的。由前面的讨论知道，统计概率、古典
13、概率和几何概率的定义，其背景虽然不同，但它们却具有一些共同的性质，即概率的非负性、规范性以及有限可加性；另外几何概率还具有可列可加性。这就说明这些性质是概率的最基本的性质，由此人们想到直接用这些性质作为一般随机试验的事件的概率定义，这就是下面的概率公理化定义，它是 1933 年前苏联数学家柯尔莫戈洛夫提出的。定义 4 设 E 是随机试验， 是它的样本空间，f 是由 E 的所有事件组成的集合。如果存在 F 列到实数集 R 的一个映射 P: f -R满足以下三个条件：（1）非负性 对任意事件 A 属于 f，均有 P(A)0；（2）规范性 对必然事件 有 P( )=1；（3）可列（完全可加性） 对于
14、互不相容的事件 Ak(k=1,2,n,)有11 )()(iiii APAP则称实数 P(A)为事件 A 的概率。二、概率的性质见书 16 17 页只需知道书上的证明过程即可设 A B 为两事件和事件差事件设 A,B 和 C 为三个事件，则有P(ABC)=P(A)+P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+ P(ABC)1.4 条件概率及有关公式前面求随机事件 A 的概率 P(A)没有加任何附加条件，但在有些实际问题中，求随机事件 A 的概率时往往要加一些附加条件，比如求“已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率” ，由于增加了附加条件“事件 B 已发生” ，所以这时A 发
15、生的概率与 P(A)就不一定相同。为了有所区别，称“已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率”为条件概率，记为 P(A|B)或 PB(A)。设 E 是随机试验， 它的样本空间，P()是事件“”);()()()()( APBAPBPBPABP );()()( ABPBPPAP )(P的概率（表示一般的事件） ，A,B 是两个随机事件即（A属于 ，B 属于 )，且 P(B)0，则“在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率”P(A|B）定义为, 即 （此公式也叫条件概率的计算公式）设 P(B)0，则条件概率 P(|B)满足概率的（公理化）定义中的三个条件，即：（1）非负性 对任意
16、事件 A，必有 P(A|B）0； （2）规范性 对必然事件 有 P( |B)=1；（3）可列（完全）可加性 设 A1, A2,. An,为可列无限多个两两互不相容的事件，则有条件概率也是一种概率，故它也满足概率的一般性质（定理 1） ，例如：P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)。)()|(BPAAP 11 )()( kkkk BAPBAP) BP(1) BAP(乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B),其中 P(B) 0 ；P(AB)=P(A)P(B|A),其中 P(A) 0 。推广 设 P(A1A2A3) 0,则有P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A1
17、|A2)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)。设 E 为随机试验，A，B1，B2，.,Bn 为 E 的随机事件，且 B1，B2，.,Bn 两两互不相容， P(Bi)0 ，i=1，2，.n,则有全概率公式贝叶斯公式在实际应用中一般有 ，此时称 B1，B2，.,Bn 为完全（完备）事件组，也叫 的一个划分niiBA1niiBA1ni ii BAPBP1 )|()()( niiB1什么形式下计算随机事件的概率要用全概率公式？（1）若随机试验 E 分几个步骤完成，那么计算 E 产生的事件的概率一般要用全概率公式，（2）若计算 P(A)要分情况计算，一般也要用全概率公式，若事件 A B 互不相容 则说明事件 A B 的积事件是空集 概率是 0 显然事件 A 与事件 B 的概率的乘积不为零 所以事件 A 与事件 B 不独立 （事件互不相容 说明一个事件的发生必然另一个事件不发生 相互之间肯定是有影响的 肯定不独立）几何概率之所以有可列可加性是因为样本点数无限多个概率的公里化定义有可列可加性而没有有限可加性 可能因为有限可加性比较局限 使用可列可加性更广泛教学材料历年试卷 课件 Ppt 中德题目 书上及课后习题那个地区的问题)|()()|()()|(1ni ii kkk BAPP
