1、1Matlab 概率论与数理统计一、matlab 基本操作1. 画图【例 01.01】简单画图hold off;x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y,-r);x1=0:0.1:pi/2;y1=sin(x1);hold on;fill(x1, pi/2,y1,1/2,b);【例 01.02】填充，二维均匀随机数hold off;x=0,60;y0=0,0;y60=60,60;x1=0,30;y1=x1+30;x2=30,60;y2=x2-30;xv=0 0 30 60 60 30 0;yv=0 30 60 60 30 0 0;fill(xv,yv,b);hold on;p
2、lot(x,y0,r,y0,x,r,x,y60,r,y60,x,r);plot(x1,y1,r,x2,y2,r);yr=unifrnd (0,60,2,100);plot(yr(1,:),yr(2,:),m.)axis(on);axis(square);axis(-20 80 -20 80 );22. 排列组合C=nchoosek(n,k)： ，例 nchoosek(5,2)=10, nchoosek(6,3)=20.knCprod(n1:n2)：从 n1 到 n2 的连乘【例 01.03】至少有两个人生日相同的概率公式计算 nnnN Np )1()(1)!(1! 36543654365rs
3、rs rs=20,25,30,35,40,45,50; %每班的人数p1=ones(1,length(rs);p2=ones(1,length(rs);% 用连乘公式计算for i=1:length(rs)p1(i)=prod(365-rs(i)+1:365)/365rs(i);end% 用公式计算（改进）for i=1:length(rs)for k=365-rs(i)+1:365p2(i)=p2(i)*(k/365);end;end% 用公式计算（取对数）for i=1:length(rs)3p1(i)=exp(sum(log(365-rs(i)+1:365)-rs(i)*log(365)
4、;endp_r1=1-p1;p_r2=1-p2;Rs =20 25 30 35 40 45 50 P_r=0.4114 0.5687 0.7063 0.8144 0.8912 0.9410 0.9704二、随机数的生成3. 均匀分布随机数rand(m,n); 产生 m 行 n 列的 (0,1)均匀分布的随机数rand(n); 产生 n 行 n 列的(0,1)均匀分布的随机数【练习】生成(a,b)上的均匀分布4. 正态分布随机数randn(m,n); 产生 m 行 n 列的标准正态分布的随机数【练习】生成 N(nu,sigma.2)上的正态分布5. 其它分布随机数函数名 调用形式 注 释 Uni
5、drnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数 binornd binornd(N,P,m,n) 参数为 N, p 的二项分布随机数 Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为 Lambda 的泊松分布随机数 geornd geornd(P,m,n) 参数为 p 的几何分布随机数 hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为 M，K，N 的超几何分布随机数 Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为 MU，SIGMA 的正态分布随机数，SIGMA 是标准差 Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) A,
6、B上均匀分布(连续) 随机数 Exprnd exprnd(MU,m,n) 参数为 MU 的指数分布随机数 chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为 N 的卡方分布随机数 Trnd trnd(N,m,n) 自由度为 N 的 t 分布随机数 Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为 N1,第二自由度为 N2 的 F 分布随机数 gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为 A, B 的 分布随机数 betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为 A, B 的 分布随机数 lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为 MU,
7、 SIGMA 的对数正态分布随机数 nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为 R，P 的负二项式分布随机数 ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为 N1，N2，delta 的非中心 F 分布随机数 nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta 的非中心 t 分布随机数 ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta 的非中心卡方分布随机数 raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为 B 的瑞利分布随机数 weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为
8、A, B 的韦伯分布随机数 4三、一维随机变量的概率分布1. 离散型随机变量的分布率(1) 0-1 分布(2) 均匀分布(3) 二项分布：binopdf(x,n,p)，若 ，则 ， (,)XBnp(1)knknPXCpx=0:9;n=9;p=0.3;y= binopdf(x,n,p);plot(x,y,b-,x,y,r*)y= 0.0404, 0.1556, 0.2668, 0.2668, 0.1715, 0.0735, 0.0210, 0.0039, 0.0004, 0.0000 当 n 较大时二项分布近似为正态分布x=0:100;n=100;p=0.3;y= binopdf(x,n,p);
9、plot(x,y,b-,x,y,r*)5(4) 泊松分布：piosspdf(x, lambda)，若 ，则()X!kePXx=0:9; lambda =3;y= poisspdf (x,lambda); plot(x,y,b-,x,y,r*)y= 0.0498, 0.1494, 0.2240, 0.2240, 0.1680, 0.1008, 0.0504, 0.0216, 0.0081, 0.0027 (5) 几何分布：geopdf (x, p)，则 1()kPXkp(6) 超 几何分布：hygepdf(x,N,M,n)，则 knMNCPXx=0:9;p=0.3y= geopdf(x,p);
10、plot(x,y,b-,x,y,r*)y= 0.3000, 0.2100, 0.1470, 0.1029, 0.0720, 0.0504, 0.0353, 0.0247, 0.0173, 0.0121 6x=0:10;N=20;M=8;n=4;y= hygepdf(x,N,M,n);plot(x,y,b-,x,y,r*)y= 0.1022, 0.3633, 0.3814, 0.1387, 0.0144, 0, 0, 0, 0, 0, 0 2. 概率密度函数(1) 均匀分布：unifpdf(x,a,b)，1()0axbfxb其 它a=0;b=1;x=a:0.1:b;y= unifpdf (x,a
11、,b);(2) 正态分布：normpdf(x,mu,sigma) ，21()()2xfxex=-10:0.1:12;mu=1;sigma=4;y= normpdf(x,mu,sigma);rn=10000;z= normrnd (mu,sigma,1,rn); %产生 10000 个正态分布的随机数d=0.5;a=-10:d:12;b=(hist(z,a)/rn)/d;%以 a 为横轴，求出 10000 个正态分布的随机数的频率plot(x,y,b-,a,b,r.)(3) 指数分布：exppdf(x,mu)，1()0xeabf其 它x=0:0.1:10;mu=1/2;7y= exppdf(x,
12、mu);plot(x,y,b-,x,y,r*)(4) 分布：chi2pdf(x,n)， 2 1220(;)()0nxnefxhold onx=0:0.1:30;n=4;y= chi2pdf(x,n);plot(x,y,b);%bluen=6;y= chi2pdf(x,n);plot(x,y,r);%redn=8;y= chi2pdf(x,n);plot(x,y,c);%cyann=10;y= chi2pdf(x,n);plot(x,y,k);%blacklegend(n=4, n=6, n=8, n=10);(5) t 分布：tpdf(x,n) ，12(1)(;)nnxfxhold onx=-
13、10:0.1:10;n=2;y= tpdf(x,n);plot(x,y,b);%bluen=6;y= tpdf(x,n);plot(x,y,r);%redn=10;y= tpdf(x,n);plot(x,y,c);%cyan8n=20;y= tpdf(x,n);plot(x,y,k);%blacklegend(n=2, n=6, n=10, n=20);(6) F 分布：fpdf(x,n1,n2) ，1 1221212 2() 0(;,)0nnnxxfxn hold onx=0:0.1:10;n1=2; n2=6;y= fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,b);%bluen1=6;
14、n2=10;y= fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,r);%redn1=10; n2=6;y= fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,c);%cyann1=10; n2=10;y= fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,k);%blacklegend( n1=2; n2=6, n1=6; n2=10, n1=10; n2=6, n1=10; n2=10);3. 分布函数 ()FxPXx【例 03.01】求正态分布的累积概率值设 ，求 ，2(3,)XN5,410,2,3XPXp1=normcdf(5,3,2)- normcdf(2,3,2)=0.5328p1=norm
15、cdf(1,0,1)- normcdf(-0.5,0,1) =0.5328p2=normcdf(10,3,2)- normcdf(-4,3,2)=0.9995p3=1-(normcdf(2,3,2)- normcdf(-2,3,2)= 0.69779p4=1-normcdf(3,3,2)=0.5004. 逆分布函数，临界值 ， ， 称之为临界值()yFxPXx1()Fyx【例 03.02】求标准正态分布的累积概率值y=0:0.01:1;x=norminv(y,0,1);【例 03.03】求 分布的累积概率值2(9)hold offy=0.025,0.975;x=chi2inv(y,9);n=9
16、;x0=0:0.1:30;y0=chi2pdf(x0,n);plot(x0,y0,r);x1=0:0.1:x(1);y1=chi2pdf(x1,n);x2=x(2):0.1:30;y2=chi2pdf(x2,n);hold onfill(x1, x(1),y1,0,b);fill(x(2),x2,0,y2,b);5. 数字特征函数名 调用形式 注 释 sort sort(x),sort(A) 排序,x 是向量，A 是矩阵，按各列排序sortrows sortrows(A) A 是矩阵，按各行排序mean mean(x) 向量 x 的样本均值var var(x) 向量 x 的样本方差std st
17、d(x) 向量 x 的样本标准差median median(x) 向量 x 的样本中位数geomean geomean(x) 向量 x 的样本几何平均值harmmean harmmean(x) 向量 x 的样本调和平均值range range(x) 向量 x 的样本最大值与最小值的差10skewness skewness(x) 向量 x 的样本偏度max max(x) 向量 x 的最大值min min(x) 向量 x 的最小值cov cov(x), cov(x,y) 向量 x 的方差，向量 x,y 的协方差矩阵corrcoef corrcoef(x,y) 向量 x,y 的相关系数矩阵11【练习
18、 1.1】二项分布、泊松分布、正态分布（1） 对 二项分布，画出 的分布律点和折线；10,.2np(,)bnp（2） 对 ，画出泊松分布 的分布律点和折线；)（3） 对 ，画出正态分布 的密度函数曲线；2,(2(,)N（4） 调整 ，观察折线与曲线的变化趋势。np12【练习 1.2】 股票价格的分布已知某种股票现行市场价格为100元/股，假设该股票每年价格增减是以 呈20%0.4,1.6p与-10%两种状态， （1）求 年后该股票价格的分布，画出分布律点和折线；（2）求 年之后0n n的平均价格，画出平均价格的折线。a=1.2,1.22,1.23,1.24,1.25,1.26,1.27,1.2
19、8,1.29,1.210;b=0.910,0.99,0.98,0.97,0.96,0.95,0.94,0.93,0.92,0.9;x=100*a.*b;m=1:10;n=10;p=0.4;y=binopdf(m,n,p);plot(x,y,b-,x,y,r.)x2=x.*yx3=geomean(x2)x4=x3,x3;y4=0,0.3;hold on plot(x4,y4,b-)13【练习 1.3】 条件密度函数设数 在 上随机取值，当观察到 时，数 在区间 上随机取值， （1）X(0,1) ,(01)XxY(,1)x求 的密度函数 ，画出密度函数曲线；（2）模拟该过程，产生 个随机数 ，在根
20、YYfy 0nX据每个 的值，产生一个随机数 （共有 ） ，画出 的样本密度曲线。Yn【练习 1.4】 二项分布、正态分布、切比雪夫不等式在每次实验中，事件 发生的概率是 0.5，求在 1000 次独立实验中，事件 发生的次数在A A475525 之间的概率。 （1 ）用二项分布公式精确计算；（2）用正态分布近似计算；（3）用切比雪夫不等式进行估计。 k=475:525;y=0.5.k.*0.5.(1000-k); sum(y)ans =144.7596e-300（2）y1=normrnd(500,sqrt(250),1,1000) ;j=0;for k=1:1000;if y1(k)=475end;end ;p1(j)=k/1000;16end;plot(x1,p1,b-)
