《概率论与数理统计》复习资料.doc

1、概率论与数理统计复习资料（内部资料） 1概率论与数理统计复习资料1、填空题（15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】 （P379）分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 （E ） 方差（D）（01）分布 01p1(),0kkPXpp(1)p二项分布n,0,1,knkkn()n负二项分布10rp(1),rkrkPXpkrrp2(1)rp几何分布 11(),2k12p超几何分布,()NMan,max0,min,MNknPXkkM为 整 数 N1Nn泊松分布 0!0,12kePXk均匀分布 ab,axbb()f0,其 他2ab2()1ba【相关例题】1、设 ， ， ，则求 a，b 的值。(,)X

2、Uab:(2EX1()3DZ概率论与数理统计复习资料（内部资料） 221(,),(),31,23.XUabEDX:解 ： 根 据 性 质 ：解 得 ：2、已知 ,则求 n，p 的值。(,)0.5,().45XbnpEX:.,(1).0p解 ：由 题 意 得 ：解 得 ：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】 （P163）2/2, 1-/XnXzn 为 已 知 由 枢 轴 量 ， 得 到 的 一 个 置 信 水 平 为 的 置 信 区 间 ：【相关例题】1、 （样本容量已知） 1225(,0.8),5,0.9NXX已 知 总 体 为 样 本 且 则 的 置 信 度 的置 信 区 间 为

3、 ： /20.259.18964.72,5.38Xzzn解 ： 代 入 公 式 得 ：2、 （样本容量未知） 123(,), ,0.910.8,92.nNX:已 知 为 样 本 容 量 若 关 于 的 置 信 度 的 置 信 区 间 ，求 样 本 容 量 2227.843.9.Xzzznnn解 ：由 题 意 知 ： 样 本 长 度 为 ， 则 有 ：代 入 数 据 ， 得 ：概率论与数理统计复习资料（内部资料） 3题型三：方差的性质【相关公式】 （P103）21()0,2(),)(3, )DCXDXCYYY为 常 数 。 ， 为 常 数 。相 互 独 立【相关例题】1、 2121212(,4)

4、(0,9),().UNXDX:已 知 ， 两 变 量 ， 且 相 互 独 立 求12 212(,4)(0,9)()4)49361XUbaDXD解 ：题型四：2t分 布 、 分 布 的 定 义【相关公式】 （P140、P138） 21232221(0,)(),/ ., (0,1),.nXYnXYtnttNXn:设 且 相 互 独 立 ， 则 称 随 机 变 量服 从 自 由 度 为 的 分 布 ， 记 为设 是 来 自 总 体 的 样 本 则 称 统 计 量服 从 自 由 度 为 的 分 布 记 为【相关例题】1、 2(0,)(4),/XYXY: :若 且 相 互 独 立 ？()/Xtn答 ：2

5、、 302123301,?iiXNX:若 变 量 服 从 则3021().iiX:答 ：概率论与数理统计复习资料（内部资料） 4题型五：互不相容问题【相关公式】 （P4）,ABAB若 则 称 事 件 与 事 件 是 互 不 相 容 的 。【相关例题】1、 ()0.6,().PP若 互 不 相 容 求,()()()(0.6ABPSPAB解 ： 互 不 相 容2、选择题（15 分）题型一：方差的性质【相关公式】 （见上，略）【相关例题】 （见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理

6、解（P161）题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】 (0,2)(3,9)?XNYXY若 则 1.答 ：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2,0x设 ()Xf,其 他已知 ,PaXa则 求 。概率论与数理统计复习资料（内部资料） 5201|2aPXaPXxda解 ： 由 题 意 ， 得 ：即 有 ：又3、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】 全概率公式：n12SP()=| | |()(|)()|)|).i nESAEBAPBABPPBA12设 实 验 的 样 本 空 间 为 ， 为 的 事 件 ， ， ， ，为 的 划 分

7、， 且 0,则 有 ：其 中 有 ： 。特 别 地 ： 当 n2时 ， 有 ： 贝叶斯公式： i 1 00(,2,)(|)|) (=()(|)(|)|()i iii njESE APBAPBPBAPABPB 12n设 实 验 的 样 本 空 间 为 。 为 的 事 件 ,， ， ， 为 S的 一 个 划 分 ， 且 P，则 有 ：特 别 地 ：当 n2时 ， 有 ：【相关例题】1、P19 例 5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂 次品率 提供原件的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓

8、库中是均匀混合的，且无区分标志。问：概率论与数理统计复习资料（内部资料） 6（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。 （见下）123112=(1,2).()|)(|)(|)(0.25.08.305()(|).21| .405(|ABiiBPBPAPAPBA解 ： 设 取 到 一 只 次 品 ， 在 厂 取 到 产 品 且 、 、 是S的 一 个 划 分 。则 由 全 概 率 公 式 有 ：由 贝 叶 斯 公 式 有 ：233|(.8) .6)(|.3| .1205PBA答 ： 综

9、 上 可 得 ， 次 品 出 自 二 厂 的 可 能 性 较 大 。2、袋中装有 m 枚正品硬币， n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽） ，在袋中任意取一枚，将他掷 r 次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ =B=rP|,1,(),(|),(|)1.2| 2| .()|)(|)(r rrA ABPPAnn mnBBPA 解 ： 设 所 抛 掷 的 硬 币 是 正 品 ， 抛 掷 次 都 得 到 国 徽 ， 本 题 即 求 得 ：即 有 ：3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%（这一事件记为 A1） ，损坏 10%（这一事件记为 A2）

10、 ，损坏 90%（这一事件记为 A3） ，且知 P（A 1）=0.8，P（A 2）=0.15，P（A 3）=0.05.现在从已经运输的物品中随机取 3 件，发现这三件都是好的（这一事件记为 B） ，123(|),(|),(|)B试 求 这 里 物 品 件 数 很 多 ， 取 出 一 件 后 不 影 响取 后 一 件 是 否 为 好 品 的 概 率 。（见下）概率论与数理统计复习资料（内部资料） 733312212333311(|)0.98,(|)0.9,(|)0.1.5,5| | |()0864(|)0.98.(|)624PBAPBAPBAPPBA解 ： 由 题 意 可 知 ：23 71|.(

11、)04、将 A、B、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而输出其他字母的概率都是（1-）/2.今将字母串 AAAA、BBBB、CCCC 之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC 的概率分别为 p1、p2、p3（p1+p2+p3=1） ，已知输出为 ABCA。问输入 AAAA 的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的。 ）22333312221231=C=ABC|.()(|)(|)(1()()(|)(|) ()BDPADPDCppppPAAD解 ： 设 输 入 为 ， 输 入 为 ， 输 入 为 ， 输 出 为 ，依 题 意 求 321 112311()()()()

12、()pppap题型二：1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度 f(x)求分布函数抓住公式： ，且对于任意实数，有：()1fxd。21221()()xPXFfd【相关例题】（1）设随机变量 X 的分布函数为：0,1xFX（ X）= lne概率论与数理统计复习资料（内部资料） 81,xe1 5(2)(03)(2)PXPX求 、 、2 .xf求 概 率 密 度（见下）(1)(2)ln03(0155(2)l41)XXPFdx解 ：,xe()xf0,其 他（2） ，是确定常数 A。2()()1Afxx200+1-(arctnarc

13、tn1dxxA解 ： 由 相 关 性 质 得 ：解 得 ：（3）,036x设随机变量 X 具有概率密度 f(x)= ，求 X 的分布函数。240,其他解：0，x0,36xd2,031x3,40x2,4x1,4()F概率论与数理统计复习资料（内部资料） 92、正态分布(高斯分布)【相关公式】（1）公式 其中：2()1() )xfxe, ,为 常 数 ， 则 称 X服 从 参 数 为 的 正 态 分 布 。（2）若 2=(0,1).xNZN， ， 则（3）相关概率运算公式：122112();()();()().PXxxxxxXPx【相关例题】1、 （P58 27）某地区 18 岁女青年的血压（收缩

14、压：以 mmHg 计）服从 N（110,12 2） ，在该地任选一名 18 岁女青年，测量她的血压 X，求：（1） 05,120;PX（2）确定最小的 .5x使 2(1)(0,1)015()1(0.42)1.680.372;221()().59340(2)1121NXPPXxxx:解 ：min 0.5120().95(.6)1.62.828 xxx :即 有 ：2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数 的正态分布，规定长10.5,.6度在范围 内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。10.52（见下）概率论与数理统计复习资料（内部资料） 10.9.310.5.0170510.5() (22)(

15、10.95466.66().94.APAXXP P解 ： 设 一 螺 栓 合 格 ， 本 题 求题型三：二维随机变量的题型【相关公式】 +1 (,)=(,)1-2(,)3(1):()()12:()(3): XYxyXYXYXYXfxydfxydfxyZffzfydfxzdxfzfxZf、 二 维 随 机 变 量 的 求 法 ：、 联 合 概 率 密 度 求 法 :、 随 机 变 量 的 函 数 分 布 ： ()XYfzd【 注 意 点 】 讨 论 x,y取 值 范 围 。【相关例题】1、 （P84 3）设随机变量（X,Y）的概率密度为：(6),02,4kxyy(,)fxy,其 他(1).2X,

16、Y33.5(4)4kP确 定 常 数求求求（见下）yx0442y=4-x概率论与数理统计复习资料（内部资料） 11 22042441(6)6|12108313262084.527(3)8146203xkxydkydkydxydyxdy解 ：解 得 :=由 题 意 即 求 ：由 题 意 即 求 ：由 题 意 即 求 (如 图 )：2、 （P86 18）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在区间（0,1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为：21,0ye()Yf0,其 他12X.P求 和 的 联 合 概 率 密 度 .求解 ： 由 题 意 的 ： 的 概 率 密 度 如 下 ：1,0x1Xf

17、0,其他22 22121(,),0,()11|000yy y yxfxexedxedxedx 其 他由 题 意 ,即 求 ：概率论与数理统计复习资料（内部资料） 123、 （P87 25）设随机变量 X，Y 相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为1,xe()f0，其他求 Z=X+Y 的概率密度。 1122(,)()001.2xzXYXYzzfxyfxdeded解 ：4、 （P87 26）设随机变量 X,Y 相互独立，它们的概率密度为,0xe()f0，其他求 Z=Y/X 的概率密度。 00(1)20,.()()().().xzxzzxXZYfZffYdfXYzxdedeefZ解 ： 由

18、题 意 知 :当 时 ，当 时 ,综 上 所 述 ， 的 概 率 密 度 为 ：21,0z()Zfz0,概率论与数理统计复习资料（内部资料） 13题型四：最大似然估计的求解【相关公式】(1)0ln()022l(1,3,)iiddLLiik当 只 有 一 个 变 量 的 时 候 ， 有 ：或 ；当 未 知 变 量 有 的 时 候 ， 有 ：或 【相关例题】1、设概率密度为：,01xe()f,其 他求 的 最 大 似 然 估 计 .111()expln()l()0=.nnxnii iinLdxl解 ：令 ， 即 有 ：2、 （P174 8） 123,nXX设 是 来 自 概 率 密 度 为 ：1,

19、0x(;)fx,其 他的总体的样本， 未知，求 的最大似然估计。概率论与数理统计复习资料（内部资料） 14 11111()lnllnl()ln=0lnnii ininiLxxdxx解 ：令 ， 得 ：题型五：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】000/202022101/(2)(1)/ (1)/1():()XZnttsXttnsHnSnn:、 正 态 总 体 均 值 的 假 设 检 验标 准 差 已 知 （ Z检 验 法 ） ：标 准 差 未 知 （ 检 验 法 ） :拒 绝 域 为 ：、 正 态 总 体 方 差 的 假 设 检 验当 为 真 时 ， 有 ：拒 绝 域 为

20、【相关例题】1、 （P218 3）某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在 =0.01 下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.概率论与数理统计复习资料（内部资料） 150120=0.3.25:13-.25.0.342/0/:().(4).61,4.61,.3=.HxxSXtntnH:解 ：在 显 著 性 水 平 下 检 验 问 题 ：检 验 统 计 量 ， ， ,。代 入 数 据 ， 得 观 察 值 ：拒 绝 域 为即 ：接 受在 3.25的 情 况 下 可 以 接 受 假 设 ， 这 批 矿 砂 的 镍 含 量 均 值 为2、 （P220 12）某种导线，要求电阻的标准差不得超过 0.005，尽在一批导线中取样品 9根，测得 s=0.007，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平 =0.05 下能否认为这批导线的标准差显著偏大？ 0122210.50=0.5.7,9.()8715.68: (.15.68.7=.HsnStH解 ：在 显 著 水 平 下 检 验 问 题 ： ：检 验 统 计 量 ：代 入 数 据 ， 得 观 察 值 :拒 绝 域 为拒 绝在 显 著 性 水 平 下 能 认 为 这 批 导 线 的 标 准 差 显 著 性 偏 大 。