1、2.3.1 直 线 与 平 面 垂 直的判定,(一)直线与平面垂直的定义,如果一条直线 l和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 互相垂直. 记作l ,l叫做的垂线, 叫做 l的垂面, l与的交点P叫做垂足,1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 互相垂直（ ）,思考：,（性质定理）,2.b是平面内任一直线,a，则ab,错误,a,D,B,A,C,B,D,C,容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直。,A,思考,（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面,你同意他的说法
2、吗?,（2）折痕ADBC,翻折之后垂直关系不变,即AD CD,AD BD,由此你能得到什么结论?,思考？,一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？,判定定理,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.,例1、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,直线和平面所成角,1.斜线2.斜足3.斜线在平面内的射影,和平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线,斜线和平面相交的交点,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线,平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角,说明:1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角
3、为90,2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0 ,直线和平面所成角的取值范围为,0,90,例3在正方体ABCD-ABCD中,求:(1)直线AB和平面ABCD所成的角(2)直线AB和平面ABCD所成的角,练习:P74,O,（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？ （2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？ （3）本节课你还有哪些问题？,4.总结反思提高认识,“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。,直线与平面垂直的判定方法,3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。,1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线
4、，则此直线垂直于这个平面.,2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。,4.如果直线和平面所成的角等于90,则这条直线和平面垂直,作业:P73 探究,平面与平面垂直的判定,观看动画演示,观看动画演示,想一想,1、二面角的平面角：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,=,?,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）,注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角
5、多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规定 为（0,）。,二面角的 平面角的定义、范围及作法,观看动画演示,2、二面角的记法： 面1棱面2,（1）、以直线 为棱，以 为半平面的二面角记为：,（2）、以直线AB 为棱，以 为半平面的二面角记为：,A,B,二面角的 画法与记法,平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。,1、半平面：,2、二面角：,半平面及二面角的定义,棱,面,面,半平面,半平面,观看
6、动画演示,2、二面角的平面角的作法：,1、定义法：根据定义作出来。,2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。,注意：二面角的平面角必须满足： （1）、角的顶点在棱上。 （2）、角的两边分别在两个面内。 （3）、角的边都要垂直于二面角的棱。,o,二面角的 平面角的定义、范围及作法,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边 （顶点）,表示法,AOB,图形,角与二面角的比较,二、面面垂直,1、定义：,如果两个平面相交，且它们所成的二面角等于90度时，则称这两个平面垂直。,2、表示方法：,1）图形表示 如图,2）文字表示,3、判定方法,1）如果两个平面垂直，则其中一个
7、面内的所有直线都垂直于另一个平面。,2）如果两个平面垂直，则其中一个平面内的无数条直线垂直于另一个平面。,3）最少有几条直线垂直于另一个面，可以得到面面垂直？,判定定理：,如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。,作用：,由线面垂直证明面面垂直。,应用：,例1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。,2.3.3 直线与平面垂直的性质,2.3.4 平面与平面垂直的性质,复习回顾,1、直线与平面垂直的定义,2、直线与平面垂直的判定,如图，已知直线a,b和平面，如果a,b那么，直线a,b一定平行吗？,直线与平面垂
8、直的性质定理,垂直于同一个平面的两条直线平行。,b,例、设直线a,b分别在正方体ABCD-ABCD中两个不同的平面内，欲使ab,a,b应满足什么条件？,面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平 面垂直。,B,2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。 A 3 B 2 C 1 D 0,B,例1. 已知平面M、N，直线a满足MN， aN， a不在平面M内，试判断直线a与平面M的位置关系。,例题,a,b,N,M,c,小结,线线垂直,线面垂直,面面垂直,线线平行,面面平行,
