1、习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量 .现在测试了 炉铁水，其含24.5,018XN:5碳量分别为 .如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？4.28,0.,4357如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化 ？.解 由题意知， ， ， ， ，24.5,018XN:5n514.36ix0.5.52201.96iisx当 已知时，)0.8设统计假设 .0010:4.5,:45H当 时， ，临界值 ，.50.975126u 120.8.960.475cun拒绝域为 .000.947Kxcx ，所以拒绝 ，接受 ，即认为当方差没有改4.36.5.86xK0H1变时，总体的均值有显著变化
2、.当 已知时，2)0.设统计假设 .22220010:.8,:18H当 时，临界值.5，22 2210.5 0.97511.6, .6cncn拒绝域为 .222201000.6.1ssssKc或 或 ，所以拒绝 ，接受 ，即均值没有改变时，总体方2 020.9568.71sK0H1差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于 .现抽取 件，得其均值 .已知该1h25950xh种元件寿命 ，问这批元件是否合格 ？2,10XN:0.解 由题意知， ， ， ， ， .2,10XN:5n90x.501设统计假设 .01,:HH当 时， ，临界值 ，.50.5.6u1.6532cun拒绝域为 .0
3、003Kxcx ，所以拒绝 ，接受 ，即认为这批元件不合格.951xK0H13.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为 ，现从某天生产的罐头中随5g机抽测 罐，其质量分别为 （单位： ） ，假定50,498,32,497,6g罐头质量服从正态分布.问机器工作是否正常 ？1).能否认为这批罐头质量的方差为 ？225.0.解 设 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位： ）.由题意知X g，方差 未知. ， ， ， 250,N:29n915089ix0.5，222113.68ni ii isxx22013.67iisx设统计假设 .)0010:5,:5H ，临界值 ，0.9751282
4、.36tnt 12.7952.3064.5sctn拒绝域为 .0004.56Kxcx ，所以接受 ，拒绝 ，即认为机器工作5.89.89x K0H1正常.当 已知时，2)0设统计假设 .22220010:5.,:5HH当 时，临界值.5，222210.5 0.975119.3, .13cncn 拒绝域为 .222201000.3ssssK或 或 ，所以接受 ，拒绝 ，即为这批罐头质量的方差为2 0203.671.385sK0H1.24.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市 个集市上鸡蛋的平均售价为2，标准差为 .已知往年的平均售价一直稳定3.9元 /50克 0.269元 /5克左右
5、，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年 ？2元 克 0.5解 由题意知， ， ， ， ， .23.5,XN:n3.9x.269s设统计假设 .0010:25H当 时， ，临界值.51.95.7tt，1.26.0.16sctn拒绝域为 000.7Kxcx ，所以拒绝 ，接受 ，即认为市场当前的鸡蛋3.9.25.149xK0H1售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度 ，某日抽测 根纤维，其纤度分别为2,.48XN:8，问这天生产的维尼纶纤度的方差 是否明显1.32,4.5,136.40,51.,392变大了 ？解 由题意知 ， ， ， ，2,0.48XN:n81.425ix0.2221
6、10.ni ii isxx设统计假设 .22220010:.48,:48HH当 时，临界值0.5，拒绝域为 .2210.957.1cn22001ssKc ，所以拒绝 ，接受 ，即这天生产的维尼纶纤度的2 02048sK0H1方差 明显变大了.26.某种电子元件，要求平均寿命不得低于 ，标准差不得超过 .现从一批该种元2h30h件中抽取 个，测得寿命均值为 ，标准差 .设元件寿命服从正态分布。试51950148s在显著性水平 下，确定这批元件是否合格.0解 设 表示这批元件的寿命，由题意知 ， ， ，X20,XN:5n190x， 148s设统计假设 .1)0010:2,:HH当 时， ，临界值.
7、5.54.7tnt，148.70.62sctn拒绝域为 .0005.4Kxcx ，所以接受 ，拒绝 ，即认为这批元件平均寿命195xK0H1不得低于 .2h设统计假设 .)22220010:3,:3H当 时，临界值.5，2210.954.75cn拒绝域为 .02201.ssKc ，所以接受 ，拒绝 ，即认为这批元件标准差不超过2020148.963s0H1.h所以这批元件合格.7.设 为来自总体 的样本，已知对统计假设12,nX ,4XN:0:1;H的拒绝域为 .:.5H02K当 时，求犯两类错误的概率 与 ；1)9n证明：当 时， .20,解 ， ， .),4XN:1:25,H02KX9n2
8、19.XPP，1.50682.5.2.90.75X.0.7510.76， .2),4N:1:,:25,H02KX，10,XnnPXPn2.5.2.5 ,44n8.设需要对某一正态总体 的均值进行假设检验 取检,4XN:01:5;:H验水平 ，试写出检验 的统计量和拒绝域.若要求当 中的 时犯第类0.50H13错误的概率不超过 ，估计所需的样本容量 n解 .01(,4):;:5XN拒绝域为 ，统计量为 .05Kc2301.65cunn3. 3.011PXPXn， 1.651.65.22n.20.95(1.65)0.9,1.6,3.0,.nnu所需的样本容量 .9.设 来自总体 的样本， 为已知，
9、对假设 ，12,nX 20,XN:2000:H，其中 ，试证明 .11:H011210nu解 由题意知 ，且 为已知，故 ，拒绝域为20,XN20cn.0001Kxun01 XP(+c=)101 10( ) XPnun，10()un所以 ，101，22101 nu即 .2011n10.设 为来自总体 样本，对假设127,X 20,XN:的拒绝域 .求犯第类错误的概率 和犯第0:9:3.9H4Ks错误的 .解 由题意知 ，20,XN，20249sPWK，查表得 ；24179c0.5，220 43.193.1s，查表得 .21473.c0511.设总体的密度函数为，1,0,; .xf其 他统计假设
10、 ， .现从总体中抽取样本 ，拒绝域 ，0:=1H:212,X02134KX求：犯两类错误的概率 .,解 当 成立时，0:=11,0,; .xfx其 他02134PWKPX；13420.25.507ln.5xd当 成立时，1:=H2,1,; .xf其 他02134PWKPX.1342109ln07568xdx12.设总体 ，根据假设检验的基本原理，对统计假设：,XN:； ，试2001101):H已 知 20010):,:H未 知分析其拒绝域.解 因为 ，所以 ，即 ，)2,XN2,XNn:,XN当 时， ，即 ，2已 知 10PuHn10uPn所以拒绝域为 .100KX因为 ，所以 ，即 ，2
11、)2,N:2,Nn:0,1XN:当 时,用 作为 的近似，则 ，2未 知 2S1XtnS:，即 ，01XPtnH0tP所以拒绝域为 .001stnKX13.设总体 根据假设检验的基本原理，对统计假设：2,N:； ，试分析200101):H已 知 220010):,:H未 知其拒绝域.解 因为 ，当 时， ，)2,XN已 知 2nS，即 ，2210nSPH201P所以拒绝域为 .2001KSn因为 ，当 时， ，2)2,XN:未 知 211Sn:，即 ，2210nSPnH201P所以拒绝域为 .2001Kn14.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率 为%甲： ， 乙：24.3,08.7,213
12、.418.2,690.,17假定含灰率均服从正态分布且 .问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异 ？210.5解 设 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知： .,XY 221(,)(,)XNY:， .问甲、乙两煤矿的含灰率有无显5421.5,8nmxy2217.50,.93ss著差异，因此，可进行以下假设检验。 统计假设 ，012012:,:H 当 时， 临界值为.50.975.36tnmt22112 Sctn 47.503.9.365.687拒绝域为 0.68.Kxyc由于 所以，接受 ，即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显021.53K0H著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件
13、制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为 ：2/kgcm单 位 ：甲： 乙：8,7920,189,04,8假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且 .问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的21高 ？.5解设 分别表示甲乙两种零件的抗拉强度 .由题意知：,XY2/kgcm单 位 ：， ， .问甲221(,)(,)N:5,89.6,nxy214.3,5s种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此，可进行以下假设检验。 统计假设 ，01212H:,: 当 时， 临界值为.50.581.6tnmt2212Sctn14.3586.60458拒绝域为 02.Kxyc由于 所以，接受 ，即认为甲种零件的抗拉强
14、度比乙种09.61K0H的高.16.甲、乙两车床生产同一种零件.现从这两车床产生的产品中分别抽取 个和 个，测得89其外径 为：单 位 ： m甲： 15.0,4.2,154.8,15.2,48乙： 0.假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高 ？0.5解 设 分别表示乙甲两种车床加工零件的外径 .由题意知：,XY单 位 ： m， ，221(,)(,)N:8,915.02,4.98nxy.问乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行2127.906.03761ss以下假设检验。 统计假设 ，22011H:,: 当 时 .50.5,7,8.4cFnmF拒绝域为210.12.
15、SKc由于 所以，接受 ，即认为乙车床的加工精度是21 07.96.4893K0H比甲车床的高.17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取 个，各取一个组成一对，8现再随机地选取 架飞机，将 对轮胎磨损量 数据列表如下：8单 位 ： mgix甲4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870iy乙4930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异 ？假定甲、乙两种轮胎的磨损量分别0.5满足 ， ，且两个样本相互独立.21,XN:2,Y:解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为 ， .由题意知：
16、 ，X单 位 ： mg21(,)XN， .此题2(,)Y221645,8,6734.,1048.5,8xyssnm假设检验问题是比较两总体的均值与方差.首先对两总体的方差进行检验：1统计假设 ，22011:,:H由于未知总体的均值 ，所以当 时，拒绝域为20.52100.250.9751(,).24(,).9sKcF 210.975(,)4.s ，落在接受域内，所以接受原假设，即 无明21 0863.1FK21,显差异.再对两种体的均值进行检验2 设立统计假设 ，01212:,:H 由于 ，所以当 时，21.520.97512 786314.7208.5()(4).1, 137.4tmnts
17、临界值 ，12().59. .927wctnm拒绝域为 .01420.93Kxyc由于 ，所以接受 ，可以接受这两种轮胎磨损量无658K0H显著差异的结论.18.设总体 ，总体 ，由两总体分别抽取样本21,XN:2,YN:； :4.,0.86.013.4能否认为 ？ 能否认为 ？1)12.52)210.5解 由题意知 ， ，1,XN,Y:223.8,.6,.467,.4367,4xyssnm设立统计假设 ，1)01212:H当 时0.5，20.97512 31.54673.467()(6).4, 3.916tmnts 临界值 ，12()9.wctnm拒绝域为 ，03.917Kxyc由于 ，所以
18、接受 ，可以接受 .0.865K0H12统计假设 ，2)22011:,:H由于未知总体的均值 ，所以当 时，拒绝域为2.52100.250.975(3,)0.6478(,3)1.sKcF 210.975(,).4s ，落在接受域内，所以接受原假设，即 .21 0.46.23FK2119.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有 的治愈率.一个主张化2%学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈 个癌症病人，其中有 个治好了，这个医生断言这种样本中的 治愈063率足够证实他的看法.试用假设检验方法检验这个医生的看法； 如果该医生实际得
19、到了 治愈率，问检1) 2)4.5验将证实化学法比外科方法更有效的概率是多少？解 设采用化学疗法的治愈率为 .p设立统计假设检验 .)0010:%,:Hp 由于 是大样本，所以当 时，拒绝域为2n.5000(1)2(.)6.1634.pKxun由题意知 ， 落入接受域 中，所06/23,.10.xpcx0K以接受原假设，即在显著性水平为 5%下，认为采用化学疗法比采用外科方法更有效.由于 是大样本，所以 ，由题意知2)0n0(,1)()XUnN:，(1)0.2784nsx00PXpcPXpc11snsn.0.634086527820.在某公路上， 之间，观察每 内通过的汽车辆数，得下表：5mi
20、n1s通过的汽车数量（辆） 0 1 2 3 4 5数量 f92 68 28 11 1 0问能否认为通过的汽车数量服从 分布 ？Poisn0.解 设 表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为 ，统计假设是X()Fx.01:(),:()HFxPFx选择检验统计量 ；221miiinp将 的取值划分为若干区间，X；123450,2,3,4AAXAX 在 成立的条件下，计算参数 的最大似然估计值 ，通过计算得 ；H0.85 在 成立的条件下， 的概率理论估计值为0(1,5)i， ，1().4932pPX2(1)0.35946pPX， ，37848；5()0. 拒绝域为 ；2.9(36.25 计算的样本
21、值 ，计算过程见表 3.3.4.iiAiipinp2()iinp1 0X92 0.449329 89.8658 0.05068452 168 0.359463 71.8926 0.21076343 228 0.143785 28.77 0.02060824 3X11 0.038343 7.6686 1.44722965 41 0.00908 1.816 0.3666607200 1.0000 200 2.0959由于 样本值为 落在接受域内，因而接受 ，所以通过的汽车数量服从2.0950H分布.085P21.对某厂生产的汽缸螺栓口径进行 次抽样检验，测得 数据分组列表如下：101组限 10.9
22、3.5:.9.7:0.9.:10.9.:频数 5 8 20 34组限 357频数 17 6 6 4试检验螺栓口径的检验值 的分布是否为正态分布 .X0解 设 表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为 ，统计假设是X()Fx.01:(),:()xxHFHF选择检验统计量 ；221miiinp将 的取值划分为若干区间，X，1 2 30.93.7,0.91.9,0.1.0AAXAX；4 5 613559 在 成立的条件下，计算参数 的最大似然估计值 ，通过计算得0H2,:2,， ；:1.2:.018 在 成立的条件下， 的概率理论估计值为0(,2345,6)iA1(0.971.24)/0.31976)
23、(0.931.24)/0.31976)p5358.42()/.)(.7.)/.)0861032.193(4)/.76)(024)/0.31976)p278.454(1.0.2)/0.319)(1)/.)8697.25(4)/.6)(.03.24)/0.31976)p140789.1596(.9.2)/0.37)(.1.)/.)2514.6 拒绝域为 ；20.95().8 计算的样本值 ，计算过程见表 3.3.4.iiAiipinp2()iinp1 13 0.1446 14.46 0.14741352 0X20 0.1921 19.21 0.03248823 134 0.2465 24.65 3
24、.54655174 217 0.2113 21.13 0.80723615 3X6 0.1259 12.59 3.44941226 410 0.0796 7.96 0.522814100 1.0000 100 8.5059157由于 样本值为 落在拒绝域内，因而拒绝 ，所以螺栓口径的检验值 的28.509170HX分布不为正态分布.22.检查产品质量时，每次抽取 个产品检验，共抽取 次，得下表：1次品数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10频数 35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0问次品数是否服从二项分布 ？0.解 设 表示每次检查产品时的次品数，分布函数为 ，统计假设是X
25、()Fx.01:()0,):(),HFxBpHFxBp选择检验统计量 ；221miiin将 的取值划分为若干区间，X；12340,2,3AAX 在 成立的条件下，计算参数 的最大似然估计值 ，通过计算得 ；Hp:p:0.1p 在 成立的条件下， 的概率理论估计值为0(1,)i， ，1().34867pPX2(1)0.38742PX， ；3290491p 拒绝域为 ；0.5(). 计算的样本值 ，计算过程见表 3.3.4.2iiAiipinp2()iinp1 0X35 0.3486783 34.86783 0.0005012 140 0.3874204 38.74204 0.04084613 2
26、18 0.1937102 19.37102 0.097036494 3X7 0.0701911 7.01911 0.000052100 1.0000 100 0.1384355由于 样本值为 落在接受域内，因而接受 ，所以每次检查时次品数服从20.18450H.(10,)B23.请 人比较 两种型号电视机的画面好坏，认为 好的有 人，认为 好的有7AB、 A23B人，拿不定主意的有 人，是否可以认为 的画面比 的好 ？453B0.1解 设 表示 型号电视机的画面， 表示 型号电视机的画面 .用符号检验法：XY由题意知 ，0124568nn., ，01XYXYHFxHFx:():()当 时，拒绝
27、域为 ，0168s. 02Ksn() ，落入拒绝域内，故拒绝 ，即认为 的画面比 的好.23nmi(,) 0HBA24.为比较两车间（生产同一种产品）的产品某项指标的波动情况，各依次抽取 件产品12进行测量，得下表：甲 1.13 1.26 1.16 1.41 0.86 1.39 1.21 1.22 1.20 0.62 1.18 1.34乙 1.21 1.31 0.99 1.59 1.41 1.48 1.31 1.12 1.60 1.38 1.60 1.84问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同 ？0.5解 设 表示甲车间生产的产品的某项指标的波动， 表示乙车间生产的产品的某项指标XY的波
28、动.用符号检验法：由题意知 ，0521012nn., ，0XYXYHFxHFx:():()当 时，拒绝域为 ，051s. 0Ksn() ，落入拒绝域内，故拒绝 ，即认为两车间所生产的产品的该2nmi(,) 0H项指标分布显著不同.25.观察两班组的劳动生产率（单位：件/小时） ，得下表：第 1 班组 28 33 39 40 41 42 45 46 47第 2 班组 34 40 41 42 43 44 46 48 49问两班组劳动生产率是否相同 ？0.5解 设 表示第 1 班组的劳动生产率， 表示第 2 班组的劳动生产率.XY1)用符号检验法：由题意知 ，0599nn., ，01XYXYHFxH
29、Fx:():()当 时， ，05s. 01Ks() ，落入拒绝域内，故拒绝 ，即认为两组劳动生产率不同.01snmi(,) 0H2)用秩和检验法：由题意知 ，数据的秩见下表 .59nm.,秩 1 2 4 5.5 7.5 9.5 13 14.5 16 731 组数据 28 33 39 40 41 42 45 46 47秩 3 5.5 7.5 9.5 11 12 14.5 17 18 982 组数据 34 40 41 42 43 44 46 48 49 ，01XYXYHFxHFx:(),:()当 时， ，1296905tt,)0126105KTtt ，落入接受域内，故接受 ，即认为两组劳动生产率相
30、同.073TK26.观察两样本值如下： 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54问这两样本是否来自同一总体 ？0.5解 设 表示第组样本值， 表示第组样本值.XY用秩和检验法：由题意知 ，数据的秩见下表.86nm,秩 1 3 14 5 2 8 10 13 56数据 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41秩 7 6 10 4 12 10 49数据 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54 ，01XYXYHFxHFx:(),:()当 时， ，1
31、268358tt,)012358KTtt ，落入接受域内，故接受 ，即认为这两样本是否来自同一总体.049TK27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类，各类的数目是： 按照某种遗传10,346模型其比率之比应为： ，问数据与模型是否相符 ？22:1:pp.5解 设 表示某种动物配偶后代体格的属性，分布函数为 ，由题意知X ()Fx109,.5n，统计假设是 .01:()2,):()2,1HFxBpHFxBp选择检验统计量 ；221()miiinp将 的取值划分为若干区间，X；1230,2AAX 在 成立的条件下，计算参数 的最大似然估计值 ，通过计算得 ；Hp:p:0.349p 在 成立的
32、条件下， 的概率理论估计值为0(1,)i， ，1().259pPX2(1)0.45839PX， 3438 拒绝域为 ；20.95(1). 计算的样本值 ，计算过程见表 3.3.4.iiAiipinp2()iinp1 0X10 0.112159 12.225331 0.40506862 153 0.4454839 48.557745 0.4063953 246 0.442358 48.217022 0.1019388109 1.0000 109 0.9134024由于 样本值为 落在接受域内，因而接受 ，所以数据与模型相符.20.913480H28.在某地区的人口调查中发现： 个男人中有 个是聋
33、哑人， 个572943497167903女人中有 个是聋哑人.试检验 “聋哑人与性别无关”的假设 .7 5解 设 表示某地区人口的聋哑情况， 表示某地区人口的性别情况.如下表：XY男 女 合计聋哑 3497 3072 6569正常 15725748 16795959 32521707合计 15729245 16799031 32528276由题意知 ，205rs,. ，0 1XYXYHFxyxHFyx:()(),:(,)()当 时， ，295138420384K. 2122135876491753021574820946nn 2():，落入拒绝域 内，不能认为“聋哑人与性别无关”.209564
34、4().H29.下表为某药治疗感冒效果的联列表：年龄疗效 儿童 成年 老年 in一般 58 38 32 128较差 28 44 45 117显著 23 18 14 55jn109 100 91 300是问该疗效是否与年龄有关 ？0.5解 设 表示某感冒药的疗效， 表示调查人口的年龄.如下表：XY年龄疗效 儿童 成年 老年 in一般 58 38 32 128较差 28 44 45 117显著 23 18 14 55jn109 100 91 300由题意知 ，305rs,. ，0 1XYXYHFxyxHFyx:()(),:(,)()当 时， ，29542049K. ，落入拒绝域 内，即认为药的22 211()3.5().ijsrijnjiijn 0H疗效与年龄有关.30.某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂生产的一批产品的不合格率不超过时以高于 的概率接收，当不合格率超过 时，将以不低于 的概率接受。3%952%1试问验收者制定验收抽样方案.解 由题意知 代入下式得到01.3,0.2,.5,0.1p，0011 0.95.1dnpLpnp解得 .因此，抽样方案是：抽取 件产品，如果抽得的不合格品 ，则接受64d64X这批产品，否则拒绝这批产品.
